數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中的應(yīng)用

■江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)仙女鎮(zhèn)中心小學(xué) 薛 群

“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，它包括“圖形的認(rèn)識(shí)”“圖形的測量”“圖形的運(yùn)動(dòng)”與“圖形的位置”四個(gè)方面的內(nèi)容。對于“圖形與幾何”這個(gè)領(lǐng)域的版塊知識(shí)教學(xué)，如果僅僅通過教師的“講”、學(xué)生的“聽”是很難理解、掌握知識(shí)的內(nèi)涵的。如果在“圖形與幾何”教學(xué)中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不僅能讓學(xué)生理解圖形與幾何知識(shí)，而且能幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展空間觀念、空間想象力等。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是“圖形與幾何”版塊知識(shí)教學(xué)的“腳手架”，有助于學(xué)生主動(dòng)探索圖形與幾何概念，幫助學(xué)生直觀感知圖形與幾何的數(shù)學(xué)本質(zhì)，動(dòng)態(tài)建構(gòu)圖形與幾何的意義。

一、“理解型”實(shí)驗(yàn)：深化“圖形與幾何”知識(shí)理解

“圖形與幾何”中的概念是相關(guān)的“圖形與幾何”的知識(shí)基礎(chǔ)。在“圖形與幾何”概念教學(xué)中，通常的教法就是，給概念層層下定義，讓學(xué)生理解概念的種屬關(guān)系。這種“下定義”的教學(xué)方式，能讓學(xué)生“知其然”，而不能讓學(xué)生“知其所以然”。而如果我們運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，變學(xué)生靜態(tài)的“看”“聽”為動(dòng)態(tài)的“做”，就能讓學(xué)生感悟圖形與幾何中的相關(guān)概念的本質(zhì)。正如荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所堅(jiān)持認(rèn)為的，“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法就是‘再創(chuàng)造’，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西，自己去發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)造出來”。

比如教學(xué)《三角形的認(rèn)識(shí)》（蘇教版四下），教材的思路是“觀察物體中的三角形，認(rèn)識(shí)三角形的特征，在方格紙上畫三角8形，結(jié)合三角形的特征說出三角形的概念”，遵循這樣的教學(xué)思路的教學(xué)是一種“描述性教學(xué)”。描述性教學(xué)不能讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟圖形與幾何的概念本質(zhì)。我在教學(xué)中，實(shí)施“發(fā)生式教學(xué)”，具體而言就是讓學(xué)生通過“做三角形”，深化對三角形概念的認(rèn)知。教學(xué)中，我用“主問題”導(dǎo)引學(xué)生實(shí)驗(yàn)。

1.什么樣的圖形叫作三角形？

2.有3個(gè)角、3條邊的圖形就是三角形嗎？

3.怎樣的圖形才能叫三角形？

三個(gè)問題層層深入，逐步指向三角形概念的本質(zhì)。學(xué)生彼此之間相互對話、相互質(zhì)疑，從而暴露出學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)中的認(rèn)知不足。為了讓學(xué)生形成“形概念”，理解“形特征”，體驗(yàn)圖形的多方面的性質(zhì)（比如組合性質(zhì)、穩(wěn)定性質(zhì)、度量性質(zhì)等），教師應(yīng)當(dāng)站在發(fā)生學(xué)的視角上，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷幾何概念的生成過程。只有經(jīng)歷了幾何概念的生成過程，學(xué)生才能理解圖形的特征，感受、體驗(yàn)到圖形的多方面性質(zhì)，從而洞悉幾何知識(shí)的本質(zhì)屬性。

二、“探究型”實(shí)驗(yàn)：深入“圖形與幾何”知識(shí)探究

“圖形與幾何”板塊的內(nèi)容，不僅包括圖形與幾何的“概念”，而且包括圖形與幾何的定理、公式等?！疤骄啃汀睂?shí)驗(yàn)，能助推學(xué)生深入“圖形與幾何”公式的認(rèn)知。所謂“探究型”實(shí)驗(yàn)，是指“學(xué)生不知道結(jié)論，借助一定的學(xué)具、實(shí)踐活動(dòng)等而展開的有目的、有方向、有針對性的探索”。通過“探究型”實(shí)驗(yàn)，學(xué)生能找尋到探索解決問題的思路。在“探究型”實(shí)驗(yàn)中，教師要從“控權(quán)”轉(zhuǎn)為“放權(quán)”，助推學(xué)生從“操作”走向“內(nèi)化”，讓學(xué)生從“現(xiàn)象”認(rèn)識(shí)到“本質(zhì)”。

比如教學(xué)《釘子板上多邊形》（蘇教版五上）時(shí)，一位教師這樣引導(dǎo)學(xué)生探究：多邊形的面積與什么有關(guān)？學(xué)生通過觀察，有的認(rèn)為與多邊形內(nèi)的釘子數(shù)有關(guān)，有的認(rèn)為與多邊形外的釘子數(shù)有關(guān)，還有的認(rèn)為既與圖形內(nèi)的釘子數(shù)有關(guān)，又與圖形外的釘子數(shù)有關(guān)。在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生探究“圖形內(nèi)的釘子數(shù)為0”的圖形，探究“圖形內(nèi)釘子數(shù)為1”的圖形，探究“圖形內(nèi)釘子數(shù)為2”的圖形，等等。這樣的教學(xué)，學(xué)生完全被教師所控制，他們沒有自主思考、探究的權(quán)力。

我在教學(xué)中充分賦予學(xué)生思考的時(shí)空：多邊形的面積與圖形內(nèi)、圖形上的釘子數(shù)有怎樣的關(guān)系呢？你們準(zhǔn)備怎樣研究？這樣經(jīng)過交流，學(xué)生認(rèn)為可以借用科學(xué)中的“對比實(shí)驗(yàn)”的方法，即控制一個(gè)變量，研究這個(gè)變量的變化會(huì)導(dǎo)致怎樣的變化。于是，學(xué)生小組間展開研討，經(jīng)過商議，漸漸達(dá)成共識(shí)，即先讓圖形內(nèi)的釘子數(shù)為0，探究多邊形的面積與圖形上的釘子數(shù)的關(guān)系。

再固定圖形內(nèi)的釘子數(shù)比如1 個(gè)，研究多邊形的面積與圖形上的釘子數(shù)之間的關(guān)系，如此等等。最好探尋多邊形的面積與圖形內(nèi)的釘子數(shù)以及圖形上的釘子數(shù)之間的關(guān)系。這樣的實(shí)驗(yàn)計(jì)劃，是學(xué)生自主商議的結(jié)果，因而對學(xué)生更具召喚力。在這個(gè)過程中，學(xué)生主動(dòng)地確定主題、制定方案、實(shí)施方案、調(diào)整方案，并且通過收集、整理、分析數(shù)據(jù)，自主探究出“皮克定理”。在圖形與幾何的探究型實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生一開始的探究可能比較盲目、茫然，作為教師要主動(dòng)、適當(dāng)、適時(shí)地介入，助推學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建構(gòu)圖形與幾何的公式。只有讓學(xué)生自主思考、探究，學(xué)生才能深刻理解幾何對象的內(nèi)在屬性，從而提升學(xué)生的幾何思維水平。在這個(gè)過程中，學(xué)生自然會(huì)從圖形與幾何對象的外在的、表面的、直觀的現(xiàn)象，深入深層的內(nèi)核、本質(zhì)。

三、“驗(yàn)證型”實(shí)驗(yàn)：深刻“圖形與幾何”的知識(shí)猜想

在圖形與幾何定理教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極猜想，尤其是一些合情性的推理等。有些圖形與幾何的定理是一些超驗(yàn)性的定理，學(xué)生通過經(jīng)驗(yàn)性操作，只能逼近這種超驗(yàn)性知識(shí)，觸摸到其本質(zhì)。因此，對于這一類很難通過學(xué)生探究獲得的知識(shí)，教師可以先讓學(xué)生猜想，然后組織學(xué)生驗(yàn)證。通過驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”“再建構(gòu)”。

以《圓的面積》（蘇教版五下）教學(xué)為例，《圓的面積》的教學(xué)這節(jié)課常常讓教師十分糾結(jié)，究其根本，一方面是因?yàn)椤皥A的面積”的推導(dǎo)不同于其他直線圖形面積的推導(dǎo)，其他的圖形都可以用“剪拼法”或“倍拼法”嚴(yán)格地進(jìn)行推導(dǎo)；另一方面，圓的面積公式的推導(dǎo)與圓的周長的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)銜接不夠。許多教師往往以“拼成的圖形近似于長方形，而且對圓平均分的份數(shù)越多，圓就越接近長方形，最后就是一個(gè)長方形”的姑息性引導(dǎo)不信任，于是總是有部分學(xué)生質(zhì)疑：近似于長方形不等于長方形啊？”課堂教學(xué)總讓人有所唏噓。我認(rèn)為，對于這一蘊(yùn)含“極限思想”的圖形與幾何知識(shí)，應(yīng)當(dāng)采用“驗(yàn)證型”的實(shí)驗(yàn)，充分發(fā)揮學(xué)生直覺思維、直覺推理的作用。

教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合情猜想：圓的面積與什么有關(guān)？圓的面積與直徑、半徑之間有怎樣的關(guān)系呢？在此基礎(chǔ)上，教師可以將大小不同的圓放置到方格圖之中，運(yùn)用數(shù)方格的方法初步探究圓的面積與半徑、直徑的比值是否是一個(gè)固定的數(shù)？圓的面積與半徑的平方也就是正方形的面積是否是一個(gè)固定的數(shù)？這一探究過程類似于圓周率實(shí)驗(yàn)探究過程。在學(xué)生通過粗線條的探究對圓的面積與半徑的平方的關(guān)系形成基本認(rèn)識(shí)后，教師可以再次組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，驗(yàn)證圓的面積與半徑的平方之間的關(guān)系。通過驗(yàn)證，學(xué)生就能自主建構(gòu)圓面積的計(jì)算公式。

“驗(yàn)證型”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，是學(xué)生在對結(jié)論已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)的前提下，通過實(shí)驗(yàn)操作，對結(jié)論的正確性予以確證的過程。通過這一“確證”過程，能深化學(xué)生對圖形與幾何知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)知。“驗(yàn)證型”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不僅有助于發(fā)展學(xué)生的合情推理、合情猜測等的能力，更能積累學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)探究力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

著名數(shù)學(xué)家歐拉說：“數(shù)學(xué)這門學(xué)科，需要觀察也需要實(shí)驗(yàn)?！弊鳛榫哂兄庇^性、探索性和創(chuàng)造性的“圖形與幾何”版塊內(nèi)容的教學(xué)，不是通過教師的機(jī)械講解所能奏效的，而是需要學(xué)生展開探索性、驗(yàn)證性的學(xué)習(xí)。作為教師，要找準(zhǔn)“圖形與幾何”教學(xué)內(nèi)容與“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”連接點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生有的放矢地開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，從而不斷地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。