從2020年高考江蘇卷第12題談求最值的方法

俞新龍

真題：已知5x2y2+y4=1（x， y∈R），則x2 +y2的最小值是_________.

本題是應(yīng)用基本不等式求最值類問(wèn)題，其做法可以是：（解法1）因?yàn)椋?x2+y2）y2=1，所以（5x2+y2）4y2=4，因此4=（5x2+y2）4y2 ≤[■]2 =■（x2+y2）2，故x2+y2≥■，于是得x2+y2的最小值是■. 但我們知道，本題不能直接使用基本不等式解題，還是需要進(jìn)行一定的配湊技巧，而配湊是學(xué)生的弱項(xiàng)，因此，學(xué)生比較懼怕需要進(jìn)行類似處理的不等式最值問(wèn)題. 那么，能否從其他途徑來(lái)破解呢？我們認(rèn)為三角換元法、消元法和等差（等比）中項(xiàng)法是不錯(cuò)的選擇.

一、三角換元法

當(dāng)考題的條件或所求目標(biāo)式中有平方和結(jié)構(gòu)特征時(shí)，一般就可以從三角換元法考慮解題，用三角換元法解題時(shí)只需要一步一步地計(jì)算而不需要解題技巧了. 例如本高考題可以有以下兩種做法：

三角換元法1（解法2）：注意到條件式5x2y2+y4=1，則可設(shè)5x2y2=cos2θ，y2=sinθ>0，所以x2+y2=■+sinθ=■+sinθ=■sinθ+■≥■.

三角換元法2（解法3）：注意到目標(biāo)式x2+y2是平方結(jié)構(gòu)，不妨設(shè)x2+y2=t2，于是可設(shè)x=tcosθ，y=tsinθ，代入條件式得1=5t4cos2θ·sin2θ+t4·sin4θ=■t4sin22θ+t4（■）2=-■t4（2cos22θ+cos2θ）+■t4≤-■t4·（-■）+■t4=■t4，解得t2≥■，即x2+y2≥■.

為便于熟練掌握該方法，下面我們?cè)購(gòu)囊韵赂鞣N例子來(lái)體驗(yàn).

例1.已知實(shí)數(shù)x≥0，y≥0，滿足x2+■=1，則x■的最大值是_________.

解析：可設(shè)x=cosθ，y=■sinθ，且θ∈[0，■]，則x■=cosθ■=■=■=■≥■.

例2.若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是_________.

解析：因?yàn)閤2+y2+xy=（x+■）2+■y2=1，所以可設(shè)x+■=cosθ，■y=sinθ，解得x=cosθ-■sinθ，y=■=sinθ，故x+y=cosθ+■sinθ=■sin（θ+■）≤■.

例3.若實(shí)數(shù)x，y滿足2x+2y=1，則x+y的最大值是_________.

解析：可設(shè)2x=cos2θ，2y=sin2θ，即x=2log2cosθ，y=2log2sinθ，且θ∈[0，■]，則x+y=2log2cosθ+2log2sinθ=2log2（sinθcosθ）=2log2（■sin2θ）≤2log2■=-2.

例4.函數(shù)y=■+■（■

解析：因?yàn)椋ā觯?+（■）2=4，所以可設(shè)■=2cosθ，■=2sinθ，且θ∈（0，■），于是y=2cosθ+2sinθ=2■sin（θ+■）≤2■.

評(píng)注：三角換元法的實(shí)施是依據(jù)恒等式（rcosx）2+（rsinx）2=r2，這個(gè)恒等式的結(jié)構(gòu)題干中可能直接有也可能需要去發(fā)現(xiàn)（如例4），當(dāng)然根據(jù)問(wèn)題的具體情況可以限定角度x的范圍. 三角換元法的實(shí)施還需要學(xué)生掌握扎實(shí)的三角函數(shù)運(yùn)算的基本功.

二、消元法

消元法顧名思義就是通過(guò)想辦法減少變量的個(gè)數(shù)來(lái)解題.如本高考題我們可以如下求解：

（解法4）設(shè)x2+y2=t>0，將x2=t-y2代入條件式并化簡(jiǎn)得4y4-5ty2+1=0，因?yàn)閥有解，所以△=25t2-16≥0，解得t≥■，即x2+y2≥■. 同樣地，為更有效掌握好消元法求最值，我們?cè)購(gòu)囊韵聦?shí)例來(lái)體驗(yàn).

例5.已知x， y>0，則■的最小值為_(kāi)_________.

解析：（思路1）因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)非零實(shí)數(shù)必定具有正比例關(guān)系，所以不妨設(shè)y=kx（k>0），則■=■≥■=2■·■=2■·■=2■·■，當(dāng)k-1≤0時(shí)不符合，故考慮k-1>0時(shí)，■=2■·■≥■，當(dāng)且僅當(dāng)（2+k+k2）x2=3，k-1=■，即k=3、x=■時(shí)等號(hào)成立，則■的最小值為■.

（思路2）設(shè)x+y=t，則■=■=■（x-■t）2+■t+■≥■t+■≥■，當(dāng)且僅當(dāng)x=■t，■t=■，即t=■、x=■時(shí)等號(hào)成立，則■的最小值為■.

例6.已知正實(shí)數(shù)a，b滿足■+■=1，則ab的最大值為_(kāi)____________.

解析：類似不等式應(yīng)用中1的代換，有ab=ab[■+■]=■+■，可設(shè)b=λa（λ>0），故ab=■+■=1+■，令t=λ-1>-1，于是ab=1+■，當(dāng)-1<t≤0時(shí)，ab≤1，t>0時(shí)ab=1+■≤1+■=2-■，當(dāng)且僅當(dāng)2t=■即t=■時(shí)取等號(hào)，所以ab的最大值為2-■.

例7.已知點(diǎn)P是直線y=x+1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線y=x2上的動(dòng)點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則|OM|的最小值為_(kāi)____________.

解析：設(shè)P（a， a+1），Q（b， b2），則M（■，■），故 |OM|2 =（■）2+（■）2，設(shè)a+b=t，于是|OM|2=■+（■）2=■=■（t+■）2+■（b2-b+1）2 =■（t+■）2+■[（b-■）2+■]2≥■·■，所以 |OM|≥■，則 |OM| 的最小值為■.

評(píng)注：用基本不等式求最值是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中著重強(qiáng)調(diào)的一個(gè)求最值問(wèn)題的方法，由此卻削弱了消元法思想在求最值中的應(yīng)用（尤其是在求雙變量最值問(wèn)題中情況更為嚴(yán)重），從而導(dǎo)致了一些雙變量最值問(wèn)題考生無(wú)法入手求解. 實(shí)際上，我們知道考生最熟悉的應(yīng)該是單變量，而消元法就是減元至一元的最有效的方法，因此，熟練掌握用消元法思想求雙變量最值是十分必要的. 當(dāng)我們進(jìn)行上述消元法思想解題時(shí)實(shí)際上還運(yùn)用了主元變換思想.

三、等差（等比）中項(xiàng)法

如果條件式中有和（或積）為常數(shù)，則我們可以利用等差（等比）中項(xiàng)的關(guān)系來(lái)進(jìn)行求解，如本高考題就可以這樣解決：

（解法5）因?yàn)?x2y2+y4=1，可設(shè)5x2y2=■-d，y4=■+d，則（x2+y2）2=x4+2x2y2+y4=■+■（1-y4）+y4=■+■（■+d）+■=■（■+d）+■+■≥■，所以x2+y2≥■.

也可以從目標(biāo)式入手靈活解決：（解法6）設(shè)x2=t-d，y2=t+d，代入條件式得5（t-d）（t+d）+（t+d）2=1，4d2-2td-6t2+1=0，因?yàn)閐有解，所以△= 4t2-16（1-6t2）≥0，解得t≥■，則x2+y2=2t≥■.

為便于掌握該方法求最值，同樣地請(qǐng)繼續(xù)體驗(yàn)以下例子.

例8.已知實(shí)數(shù)x≥0，y≥0，滿足x2+■=1，則x■的最大值是_________.

解析：設(shè)x2=■-d，■=■+d，-■≤d≤■，則x■=■=■=■≤■.

例9.若實(shí)數(shù)x，y滿足2x+2y=1，則x+y的最大值是_________.

解析：設(shè)2x=■-d，2y=■+d，-■

例10.已知a>0，b>0，ab=8，則a的值為_(kāi)_____時(shí)，log2 alog2 （2b）取到最大值.

解析：設(shè)a=■q，b=■，q>0，則log2alog2（2b）=（log2q+■）（-log2q+■）=-（log2q）2+log2q+■≤4.

例11.已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2-4xy-5y2=5，則x2+2y2的最小值是_________.

解析：因?yàn)閤2-4xy-5y2=（x-5y）（x+y）=5，設(shè)x-5y=■q，x+y=■，解得x=■（■+q），y=■（■-q），所以x2+2y2=■（■+q）2+■（■-q）2=■+■q2+■≥2■+■=■.

評(píng)注：能用等差（等比）中項(xiàng)法解題的問(wèn)題具有十分明顯的和（或積）為定值、或能通過(guò)因式分解的形式轉(zhuǎn)化出來(lái)和（或積）為定值的特點(diǎn)，當(dāng)然在后續(xù)計(jì)算過(guò)程中一定要注意仔細(xì).

綜上所述，最值問(wèn)題的計(jì)算方法除了基本不等式（■≤■≤■≤■）外還有其他一些諸如三角換元法、消元法、等差（等比）中項(xiàng)法等方法，真可謂“條條道路通羅馬”，在具體問(wèn)題的解決過(guò)程中我們可以有選擇的使用.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)