淺談中考數(shù)學(xué)疑難問(wèn)題訓(xùn)練解決的方法

張?zhí)@東

反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角形等的綜合題是中考的重點(diǎn)之一，出現(xiàn)在廣東中考解答題（三）的第23題，難度較大，但學(xué)生能否在該大題得到理想的分?jǐn)?shù)，將影響學(xué)生在整份中考試卷的考試心理和得分，亦是拉開(kāi)考生之間分?jǐn)?shù)差距的題之一。在平時(shí)的復(fù)習(xí)備考中已復(fù)習(xí)函數(shù)等的相關(guān)知識(shí)，但計(jì)算準(zhǔn)確性、答題速度和規(guī)范性需要加強(qiáng)。通過(guò)培養(yǎng)并形成將壓軸題化難為易的能力與意識(shí)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、方程思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的作用，增強(qiáng)解決函數(shù)綜合題的自信心。在解決問(wèn)題中能用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，能根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，把求圖形最小周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求線段長(zhǎng)問(wèn)題，要掌握直角坐標(biāo)系中求圖形面積的常用方法。

一、教師用PPT課件的幻燈片展示下列問(wèn)題

1.拋物線y=-x2+bx+c交y軸于點(diǎn)C（0，3），交x軸正半軸于D，并且與直線y=kx+b交于點(diǎn)A（2，3）和B（1，4），求一次函數(shù)表達(dá)式和拋物線y=-x2+bx+c的表達(dá)式。

2.兩點(diǎn)之間? ? ? ? 最短。

3.將軍飲馬問(wèn)題。

4.二次函數(shù)取得最大值或最小值，與y=ax2+bx+c中的哪個(gè)量有關(guān)？

二、解決疑難問(wèn)題的思路與方法

教師讓學(xué)生獨(dú)立思考，動(dòng)筆做題，然后回答問(wèn)題，從而總結(jié)出以下思路與方法：

1.因?yàn)辄c(diǎn)A、點(diǎn)B在直線上，所以把點(diǎn)A（2，3），B（1，4）代入y=kx+b得：k=-1，b=5故一次函數(shù)表達(dá)式為 y=-x+5，再把 A（2，3）、B（1，4）或C（0，3）代入y=-x2+bx+c得b= 2， c=3.所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-x2+2x+3.

2.線段。

3.教師出示關(guān)于將軍飲馬的問(wèn)題解決方法：（1）如下左圖，直線L的兩側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線L上求作一點(diǎn)P，使PA +PB 最小。

（2）如上右圖，直線L的同側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線L上求作一點(diǎn)P，使PA+PB 最小。

（3）如下左圖，點(diǎn)P 是∠MON 內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM，ON 上作點(diǎn)A、B，使△PAB 的周長(zhǎng)最小。

（4）如上右圖，點(diǎn)P，Q 為∠MON 內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OM，ON 上作點(diǎn)A，B。使四邊形PABQ的周長(zhǎng)最小。

4.與a值有關(guān)。通過(guò)上面的學(xué)習(xí)之后，教師自編一些相關(guān)聯(lián)的題目，檢查學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解題的情況，同時(shí)，也便于教師很好地了解學(xué)生已有的函數(shù)綜合的基礎(chǔ)、答題規(guī)范等。學(xué)生“動(dòng)手做”是“感悟”的基礎(chǔ)。

5.教師出示自編題練習(xí)。如圖，拋物線y=-x2+bx+c交y軸于點(diǎn)C（0，3），交x軸正半軸于D，并且與直線y=kx+b交于點(diǎn)A（2，3）和B（1，4）。

（1） 在y軸上，是否存在一點(diǎn)E，使得ED+EB最小，若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（2）連接BC，BD，CD，求△BCD的面積。

6.教師請(qǐng)學(xué)生思考并討論以下問(wèn)題

①解決本題的第（1）問(wèn)的關(guān)鍵是什么？如何才可以找到點(diǎn)E呢？

②你能說(shuō)說(shuō)第（2）問(wèn)的解題思路嗎？你能用多少種方法？

教師先重點(diǎn)分析以下方法：（1）采用豎割法分割成兩個(gè)三角形進(jìn)行計(jì)算

過(guò)點(diǎn)B作BF∥y軸，交CD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CF∥x軸，交BD于點(diǎn)F。

（2）采用橫割法分割成兩個(gè)三角形進(jìn)行計(jì)算。

讓學(xué)生5人一小組，分組討論，學(xué)生代表來(lái)說(shuō)題，師生齊歸納：

①解決本題第1問(wèn)的關(guān)鍵是：找點(diǎn)E。那如何找點(diǎn)E呢？只需要作點(diǎn)B或D關(guān)于直線（x軸或y軸）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一點(diǎn)的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)E，也就是將軍飲馬問(wèn)題。

②第（2）問(wèn)的解題思路及做法如下圖所示：

三、學(xué)生書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程

解：（1）存在。把B（1，4）和C（0，3）分別代入y=-x2+bx+c得

解得

所以?huà)佄锞€的解析式為y=-x2+2x+3.令y=0，即-x2+2x+3= 0，解得x1=3，x2=-1故D（3，0）.

作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)B'（-1，4），連接DB'交y軸于點(diǎn)E，即點(diǎn)E為所求。設(shè)直線 D B'的解析式為：y=k1x+b，把 B'（-1，4）、D（3，0）分別代入上式解得：k1=-1，b=3，故直線DB'的解析式為：y=-x+3.當(dāng)x=0時(shí)， y=3.所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)E與點(diǎn)C重合。所以ED+EB=ED+EB'=DB'=.

（2）（豎割法）過(guò)點(diǎn)B作BF∥于y軸，交直線CD于點(diǎn)M，則S△BCD=S△BCM+ S△BDM，因?yàn)镺D=3，又因?yàn)镃（0，3），所以設(shè)直線CD的解析式為：y=mx+n，把C（0，3）、D（3，0）分別代入上式解得：m=-1，n=3，故直線CD的解析式為：y=-x+3.把x=1代入上式得：y=-1+3=2，點(diǎn)M（1，2）故BM=4-2=2， 所以S△BCD=S△BCM+ S△BDM= BM（1+2）=×2×3=3.

通過(guò)一題多變，目的是培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題的能力、辯別圖形的能力、推理能力、計(jì)算能力、舉一反三的能力。

四、教師出示變式訓(xùn)練一

如圖，拋物線y=-x2+bx+c交y軸于點(diǎn)C（0，3），交x軸正半軸于D，并且與與直線y=kx+b交于點(diǎn)A（2，3）和B（1，4）。

（1）求證：點(diǎn)B是拋物線y=-x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

（2）在y軸上，是否存在一點(diǎn)E，使得以D、B、E三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)最小，若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（3）在直線CD上方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)B1，使得△B1CD的面積最大。

2.教師設(shè)計(jì)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考、分析：

①本題的第（1）問(wèn)有什么特點(diǎn)？

②本題的第（2）問(wèn)與第5題的第（1）問(wèn)有什么不同？

③如果用豎割法解決本題，點(diǎn)M的坐標(biāo)隨著哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)變化而變化呢？

④點(diǎn)M的坐標(biāo)和點(diǎn)B1的坐標(biāo)應(yīng)該怎樣設(shè)置呢？

五、變式訓(xùn)練二：（改編）

如圖，拋物線y=-x2+bx+c交y軸于點(diǎn)C（0，3），交x軸正半軸于D，并且與與直線y=kx+b交于點(diǎn)A（2，3）和B（1，4），若點(diǎn) P是y軸的一動(dòng)點(diǎn)，則在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使A、B、P、Q四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小。若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)P、Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

隨著題目的難度逐漸增加，目的是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力以及知識(shí)遷移的能力。通過(guò)解決一道題以及其變式題來(lái)理解同一類(lèi)問(wèn)題的方法，以求達(dá)到做一道而通一類(lèi)的效果。總結(jié)、反思和提煉函數(shù)綜合題的主要類(lèi)型、解決問(wèn)題的策略和主要數(shù)學(xué)思想方法。通過(guò)這樣的練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)能力，讓學(xué)生更好地掌握解決此類(lèi)問(wèn)題的方法與技巧，形成將壓軸題化難為易的能力與意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。