創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境 有效測(cè)評(píng)素養(yǎng)

【摘 要】 呈現(xiàn)一道PISA試題的命制過(guò)程：抽象簡(jiǎn)化，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境——觀察調(diào)整，修正問(wèn)題情境——追根溯源，還原真實(shí)情境.提出應(yīng)還原現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的真實(shí)結(jié)構(gòu)，才能命制出有效的PISA試題.

【關(guān)鍵字】 PISA試題;問(wèn)題情境;命題

PISA2021數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)框架將數(shù)學(xué)素養(yǎng)定義為：個(gè)體在真實(shí)世界的不同情境下進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，并表達(dá)、應(yīng)用和闡釋數(shù)學(xué)以解決問(wèn)題的能力，它包括使用數(shù)學(xué)概念、過(guò)程、事實(shí)和工具來(lái)描述、解釋和預(yù)測(cè)現(xiàn)象的能力，它有助于個(gè)體作為一個(gè)關(guān)心社會(huì)、善于思考的21世紀(jì)建設(shè)性公民，了解數(shù)學(xué)在世界中所起的作用以及做出有根據(jù)的數(shù)學(xué)判斷和決定[1].數(shù)學(xué)素養(yǎng)的定義要求PISA試題是真實(shí)的，盡可能地呈現(xiàn)給學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)時(shí)遇到的挑戰(zhàn)，就像在現(xiàn)實(shí)世界中遇到的一樣.本文通過(guò)呈現(xiàn)一道PISA試題的命制過(guò)程，與同行們分享如何從現(xiàn)實(shí)世界情境出發(fā)，研制一道真實(shí)有效的PISA試題.

1 抽象簡(jiǎn)化，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

命制PISA試題，首先要找到與真實(shí)情境相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，讓參加測(cè)試的學(xué)生都容易理解和參與.重要的是簡(jiǎn)化現(xiàn)實(shí)世界背景，相關(guān)的情境和其內(nèi)在的數(shù)學(xué)信息，使其容易接近，同時(shí)也保持它真實(shí)的一面[2].

手機(jī)三腳架是現(xiàn)實(shí)生活中的常見(jiàn)物品，將它作為素材編制PISA試題，能讓學(xué)生產(chǎn)生熟悉感，有利于數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)的公平性.首先觀察手機(jī)三腳架的結(jié)構(gòu)如圖1，它主要通過(guò)改變中間鎖扣在主軸上的位置來(lái)調(diào)節(jié)三腳架的高度.再慢慢滑動(dòng)鎖扣的位置，主軸和支架的長(zhǎng)度都無(wú)變化，因不考慮支架的立體結(jié)構(gòu)，可將其簡(jiǎn)化抽象成數(shù)學(xué)線段如圖2，即線段AB，CD，CE，ED和BE的長(zhǎng)度都不變.收攏三腳架后，主軸AB與支架CD重合，支架BE與支架DE重合，得出AB=CD，BE=DE.用米尺測(cè)得AB=50cm，DE=20cm，CE=30cm，可得點(diǎn)E是CD上的固定點(diǎn)且CE=1.5DE.將點(diǎn)C的位置從A點(diǎn)出發(fā)往B點(diǎn)滑動(dòng)，變化的量有：①線段AC的長(zhǎng)度增大，BC的長(zhǎng)度減小;②∠BCE和∠CEB的角度逐漸減小，∠CBE的角度逐漸增大;③△BCE的形狀發(fā)生改變.充分挖掘素材中的變量和不變量后，選定△BCE作為研究對(duì)象，因其形狀變成特殊圖形時(shí)，便可編制出幾何問(wèn)題.滑動(dòng)點(diǎn)C的位置尋找支架的特殊結(jié)構(gòu)，首先考慮當(dāng)點(diǎn)B跟點(diǎn)D都觸及地面的狀態(tài)如圖3，畫(huà)出圖形后發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生了科學(xué)性錯(cuò)誤：已知△CBD是直角三角形，DE=BE，則∠D=∠DBE，推理可得∠BCE=∠CBE，所以CE=BE，因此點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，這與條件CE=1.5DE矛盾.CE=1.5DE是由測(cè)量得出，應(yīng)該無(wú)誤，所以問(wèn)題肯定出在點(diǎn)B處：①重新測(cè)量BE和DE發(fā)現(xiàn)，BE的長(zhǎng)比DE多1cm;②仔細(xì)觀察三腳架結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)支架BE并不是直接連在主軸上，而是有個(gè)底座連結(jié)著.根據(jù)BE和DE收攏時(shí)能重合，判斷問(wèn)題不在條件BE=DE，而是底座的原因，因此進(jìn)行了第二次修正.

2 觀察調(diào)整，修正問(wèn)題情境

將底座抽象成線段BF，中空部分由原來(lái)的三角形變成了四邊形，四邊形仍可轉(zhuǎn)化成三角形解決.滑動(dòng)點(diǎn)C的位置，畫(huà)出三腳架的特殊狀態(tài)：①當(dāng)點(diǎn)B觸及地面時(shí)，即點(diǎn)D，F(xiàn)，B在同一直線上，如圖4，此時(shí)△DEF是等腰三角形;②當(dāng)EF⊥CD時(shí)，如圖5，根據(jù)∠CEF=90°可構(gòu)造K型全等圖形;③當(dāng)點(diǎn)B，F(xiàn)，E在同一直線上時(shí)，如圖6，可構(gòu)造A型相似圖形;④可設(shè)置特殊角如∠BCE=45°，如圖7，構(gòu)造出特殊直角三角形.試卷細(xì)目表對(duì)這道題的定位是考查三角函數(shù)和勾股定理，因此選用圖5和圖6作為兩個(gè)特殊狀態(tài)命制問(wèn)題.圖4圖5圖6圖7

本題的命制思路是抓住情境中的不變量，即支架的長(zhǎng)度不變，來(lái)考查學(xué)生變中尋找不變的思想方法.將圖5和圖6作為兩個(gè)變化的特殊狀態(tài)，讓不同支架的長(zhǎng)度之間形成數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系.當(dāng)EF⊥CD時(shí)，增設(shè)tan∠BCE=34的條件，讓各個(gè)線段都產(chǎn)生數(shù)量關(guān)系，將其中一條線段的長(zhǎng)度用字母表示后，其它線段長(zhǎng)度都可用這個(gè)字母表示出來(lái).當(dāng)點(diǎn)B，F(xiàn)，E在同一條直線上時(shí)，△BCE會(huì)變成直角三角形，根據(jù)勾股定理，將代數(shù)式建立等量關(guān)系可解出字母的值.為考查A型相似三角形，并考慮到改變點(diǎn)C位置的目的是調(diào)節(jié)三腳架的高度，因此最后設(shè)問(wèn)點(diǎn)A離地面的高度.

問(wèn)題呈現(xiàn) 圖1是一種手機(jī)三腳架，它通過(guò)改變點(diǎn)C在主軸AB上的位置調(diào)節(jié)三腳架的高度.已知支腳CD=AB，底座BF⊥BC且BF=3厘米，點(diǎn)E是CD上的固定點(diǎn)且拉桿EF=DE（DE>3）.當(dāng)EF⊥CD時(shí)，如圖2，tan∠BCE=34;若將點(diǎn)C向下移14厘米，則點(diǎn)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一條直線上如圖3，此時(shí)點(diǎn)A離地面的高度是厘米.

命題反思 試題考查了相似三角形和勾股定理，且蘊(yùn)含的基本圖形豐富，有K型相似圖形和A型相似圖形，考查了將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形的化歸思想，方程思想和變中不變的思想.研究的問(wèn)題指向現(xiàn)實(shí)用途，具有一定的研究?jī)r(jià)值.存在的問(wèn)題有：一是表述不清，學(xué)生很難從題意中理解線段的關(guān)系;二是結(jié)果的方程數(shù)據(jù)較為復(fù)雜，勾股定理列出的方程是75a2-305a+126=0，雖然結(jié)果的數(shù)據(jù)不錯(cuò)，但是很難用十字相乘法湊出來(lái).

3 追根溯源，還原真實(shí)情境

為解決方程復(fù)雜的問(wèn)題，首先是修改數(shù)據(jù)，但無(wú)論改變tan∠BCE的大小，還是BF的長(zhǎng)度或是移動(dòng)的距離，方程都很復(fù)雜不易計(jì)算.百般無(wú)奈下，重新觀察三腳架并測(cè)量數(shù)據(jù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C處其實(shí)也有一個(gè)跟BF一樣的底座，也就是原先假設(shè)的結(jié)構(gòu)可能存在問(wèn)題，于是第一次創(chuàng)設(shè)情境產(chǎn)生的矛盾也找到了原因.中空的部分既不是三角形，也不是四邊形，而是五邊形，但因?yàn)閮蓚€(gè)底座平行且相等，還是可以將其轉(zhuǎn)化為三角形解決.重新畫(huà)出特殊狀態(tài)后，再次編制問(wèn)題.如果選FG⊥DE的狀態(tài)，可以連線構(gòu)造直角三角形，但解法與試卷中其它問(wèn)題的考點(diǎn)重復(fù).因此選用點(diǎn)B，G，E三點(diǎn)在同一直線上和點(diǎn)B，G，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上兩個(gè)時(shí)刻，作為特殊狀態(tài)來(lái)編制問(wèn)題.

試題呈現(xiàn) 如圖1是一種手機(jī)三腳架，它通過(guò)改變鎖扣C在主軸AB上的位置調(diào)節(jié)三腳架的高度，其他支架長(zhǎng)度固定不變.已知支腳DE=AB，底座CD⊥AB，BG⊥AB，且CD=BG，F(xiàn)是DE上的固定點(diǎn)，且EF∶DF=2∶3.當(dāng)點(diǎn)B，G，E三點(diǎn)在同一直線上（如圖2）時(shí)，測(cè)得tan∠BED=2;若將點(diǎn)C向下移動(dòng)24cm，則點(diǎn)B，G，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上（如圖3），此時(shí)點(diǎn)A離地面的高度是cm.

命題反思 修改后算得AB的長(zhǎng)度是15+153，跟實(shí)際數(shù)據(jù)50非常接近，計(jì)算過(guò)程也較為簡(jiǎn)單.不僅還原了手機(jī)三腳架的真實(shí)結(jié)構(gòu)，還讓試題更側(cè)重于考查學(xué)生的理解和分析問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，而不是把時(shí)間消耗在計(jì)算上.有效地達(dá)到了測(cè)評(píng)的目的，體現(xiàn)了PISA試題的真正意圖.

4 小結(jié)

命制試題應(yīng)盡最大可能體現(xiàn)真實(shí)情境中的問(wèn)題結(jié)構(gòu)，過(guò)度簡(jiǎn)化或不留心觀察都會(huì)造成數(shù)學(xué)推理上的矛盾，產(chǎn)生科學(xué)性錯(cuò)誤.試題的數(shù)據(jù)應(yīng)盡量貼近現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)，學(xué)生計(jì)算時(shí)才會(huì)感覺(jué)自己在用數(shù)學(xué)知識(shí)解決一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.

真實(shí)的，才是有效的.創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問(wèn)題情境，方能有效地測(cè)評(píng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，體現(xiàn)PISA試題的真正精神.

參考文獻(xiàn)

[1]曹一鳴，朱忠明.變與不變：PISA2000-2021數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)框架的沿革[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019（4）

[2]凱·斯泰西，羅斯·特納.數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測(cè)評(píng)——走進(jìn)PISA測(cè)試[M].北京：教育科學(xué)出版社，2017：155-156

作者簡(jiǎn)介 戴婷婷，瑞安市教壇新秀，溫州市優(yōu)質(zhì)課大賽一等獎(jiǎng)，溫州市單元試卷命題一等獎(jiǎng)，多次參與瑞安市期末試卷命制和中考適應(yīng)性試卷命題工作.