邊界非完整約束懸臂裂紋梁的靜力參數(shù)識別

楊 驍, 孟 哲, 黃 瑾

(上海大學土木工程系, 上海200444)

由于梁中的裂紋和梁柔性邊界的剛度對梁的動靜力學行為有顯著影響[1-4], 因此梁邊界條件和裂紋損傷程度的正確描述是合理分析梁動靜力響應的前提. 同時, 梁邊界條件及其裂紋的識別也是檢測梁結構損傷的主要內容之一[5-11], 通常梁構件的邊界和裂紋損傷識別可分為基于振動的動力識別方法[5-6,8-9,12-18]和基于靜態(tài)變形的靜力識別方法[7,10-11,19-25]. 雖然基于振動的動力識別方法已具有完備的理論基礎, 并獲得了豐富的研究成果和應用成果, 但是相關研究表明, 在某些情況下動力識別方法并不能提供精確的損傷信息[26]. 對于簡單結構而言, 靜力損傷識別不僅方便易行, 而且還可以有效地避免慣性和阻尼的不確定性對損傷識別結果的影響, 故建立可靠便捷的基于靜力響應的梁損傷識別方法成為近年來的研究熱點.

目前, 已有學者將梁裂紋等效為線性扭轉彈簧實現(xiàn)裂紋的靜力損傷識別. Buda等[20]建立了基于裂紋梁測量撓度與其顯式閉合通解之差最小的優(yōu)化算法, 給出了Euler-Bernoulli 梁裂紋位置及其損傷程度的識別方法, 并考察了撓度測量噪聲對裂紋損傷識別的影響; Caddemi等[19,21]利用梁裂紋誘導撓度函數(shù), 通過非線性方程求解, 給出了在已知裂紋大致位置及數(shù)量情況下單(多)裂紋的損傷識別方法; Yazdanpanah等[22]利用有限元法給出了梁裂紋定位的計算方法, 但該方法未涉及裂紋損傷程度的確定. 另外, 類似于裂紋誘導撓度函數(shù), Sun等[27]基于基線修正建立了懸臂型結構的損傷識別方法; Koo等[10]利用梁裂紋誘導弦撓度函數(shù), 建立了在正彎矩檢測載荷條件下裂紋位置的確定方法; 而汪德江等[23]給出了Timoshenko 梁開閉裂紋位置及損傷的識別方法. 近年來, Wang等[7]給出了基于靜力撓度的楔形懸臂梁邊界豎向和扭轉支承剛度的3 種識別方法, 并研究了識別剛度對測量撓度的敏感性; Wang等[11]進一步將該方法推廣至具有內部豎向支承楔形懸臂梁支承剛度的識別. 然而,由于識別方法中涉及病態(tài)矩陣方程的求解, 故其應用范圍受到一定的限制; 同時, 作者尚未見到相關的能同時確定梁構件邊界彈性支承剛度和裂紋損傷程度的靜力識別方法.

本工作給出了邊界非完整約束懸臂裂紋梁的參數(shù)識別方法, 其步驟如下: 首先, 將懸臂梁中開裂紋等效為內部扭轉彈簧, 而其邊界非完整豎向和扭轉約束分別等效為豎向彈簧和扭轉彈簧, 并利用Delta 函數(shù)和Heaviside 函數(shù)得到了邊界彈性支承懸臂Euler-Bernoulli 裂紋梁靜力彎曲的顯式閉合通解; 其次, 利用損傷誘導撓度函數(shù)給出了邊界支承柔度的計算公式, 證明了其損傷誘導撓度函數(shù)和裂紋誘導弦撓度函數(shù)是分段線性函數(shù), 其斜率在裂紋處發(fā)生突變, 且斜率改變量依賴于該處裂紋的等效扭轉彈簧柔度, 從而建立了裂紋等效扭轉彈簧柔度的計算公式, 避免了通常損傷識別方法中易出現(xiàn)的非線性方程組求解較難和解的非唯一性問題; 最后, 通過具有1 條和2 條裂紋的邊界非完整約束懸臂裂紋梁的參數(shù)識別, 數(shù)值驗證了本方法的適用性和可靠性, 并對撓度測量噪聲和裂紋深度等對識別結果的影響進行了考察.

1 邊界非完整約束懸臂裂紋梁彎曲的誘導撓度

圖1 為邊界非完整約束懸臂裂紋梁示意圖. 圖中, 設橫截面長和高分別為L 和h 的矩形截面邊界非完整約束懸臂Euler-Bernoulli 梁在x = xi(i = 1,2,···,N)處存在深度為di的開裂紋, 且其抗彎剛度為(E I)0. 將邊界非完整約束等效為剛度分別為Kd和Kr的豎向彈簧和扭轉彈簧, 且將裂紋i(i=1,2,···,N)等效為剛度為Ki的扭轉彈簧[28], 其中

于是, 裂紋梁的等效抗彎剛度(E I)e可表示為[29-31]

式中, δ(x)=H′(x)為Delta 函數(shù), H(x)為Heaviside 函數(shù)[23,29].

圖1 邊界非完整約束懸臂裂紋梁Fig.1 Cantilever cracked beam with nonholonomic constraint boundary

在橫向載荷q(x)的作用下, 邊界彈性支承懸臂裂紋梁靜力彎曲的邊值問題為

式中, w(x)為裂紋梁的撓度, M 和FS分別為裂紋梁的彎矩和剪力, 且

引入如下無量綱量和參數(shù)

那么邊值問題(式(3))的無量綱形式為

利用Delta 函數(shù)δ(ξ)和Heaviside 函數(shù)H(ξ)的性質, 可得邊值問題式(7)的解為

而無量綱彎矩m(ξ)和剪力fS(ξ)分別為

對于邊界完整固定約束的無裂紋懸臂梁, 即fr= fS= 0, fi= 0(i = 1,2,···,N), 其無量綱撓度為

邊界非完整約束以及裂紋引起的損傷誘導撓度函數(shù)WD(ξ)定義為

式中, fS0和m0分別為梁支承邊界處的無量綱彎矩和剪力, 而mi為裂紋i(i = 1,2,···,N)處的無量綱彎矩, 且

為了依次識別裂紋損傷, 定義區(qū)間[ξa, ξb]上的裂紋誘導弦撓度函數(shù)

于是, 如果梁在區(qū)間[ξa, ξb]中存在l 條裂紋, 分別位于ξ =ξi(i=i0+1, i0+2,··· ,i0+l)處,則由式(12)可得

可見, 損傷誘導撓度函數(shù)WD(ξ)和裂紋誘導弦撓度函數(shù)WC(ξ)是分段線性函數(shù), 即為折直線. 當區(qū)間[ξa, ξb]中不存在裂紋時, 損傷誘導撓度WD(ξ)為直線, 而裂紋誘導弦撓度函數(shù)WC(ξ)≡0; 當區(qū)間[ξa, ξb]中存在l 條裂紋, 且mi0 (i=i0+1, i0+2,··· ,i0+l)時, 裂紋誘導弦撓度函數(shù)WC(ξ)由l+1 條直線段組成.

2 邊界非完整約束柔度及裂紋損傷程度的識別

在邊界非完整約束端ξ = 0 附近選取2 個位置ξe1和ξe2, 滿足0 < ξe1< ξe2< ξ1< ξ2<··· < ξN< 1, 即區(qū)間[0, ξe2]中不存在裂紋. 如果ξ = ξe1和ξ = ξe2處撓度測量值分別為和則有

這樣, 完成了邊界非完整約束懸臂裂紋梁邊界支承柔度fr和ft的識別.

對于裂紋的損傷識別, 選取區(qū)間[ξa, ξb], 使得區(qū)間[ξa, ξb]中只存在一條裂紋i = j0,此時選取β > 0, 且令= ξa+ β,= ξb?β, 使得如果和處的撓度測量值分別為和, 則式(12)和(14)可得

則由式(18)可得

至此, 完成了區(qū)間[ξa, ξb]中裂紋j0的位置ξj0和裂紋損傷程度fj0的識別.

事實上, 如果區(qū)間[ξa, ξb]中存在多條裂紋, 則可以將區(qū)間[ξa, ξb]分為2 個子區(qū)間, 如等分為2 個子區(qū)間[ξa, (ξa+ξb)/2]和[(ξa+ξb)/2, ξb], 并根據裂紋誘導弦撓度函數(shù)(ξ)的性質判斷這2 個子區(qū)間中是否存在裂紋, 如此下去, 可得到若干子區(qū)間, 使每個子區(qū)間中只存在一條裂紋.

可見, 不同于通常同時確定所有參數(shù)的損傷識別方法[12,16-17,20-24], 本工作基于損傷誘導撓度和裂紋誘導弦撓度的參數(shù)識別方法, 通過不同區(qū)間的選取, 依次逐個識別待定參數(shù), 從而避免了非線性方程組的求解和參數(shù)識別反問題中解的非唯一性問題.

3 數(shù)值算例

假定邊界非完整約束懸臂裂紋梁承受均布載荷的作用, 即Q(ξ)=Q0, 則

作為數(shù)值試驗, 考慮測量噪聲的影響, ξ 處撓度的測量值可由精確撓度W(ξ)近似為

式中, e 為測量誤差, 而R()為[?1, 1]中的均勻分布隨機數(shù).

3.1 具有一條裂紋的邊界非完整約束懸臂梁參數(shù)識別

作為第一個數(shù)值例子, 首先假定邊界非完整約束懸臂裂紋梁在ξ1= 0.5 處存在深度為d1的裂紋, 并設ft= fr= 0.05, 取Q0= 1. 圖2 為在不同裂紋深度d1下, 邊界非完整約束懸臂裂紋梁的無量綱撓度W(ξ)和無量綱損傷誘導撓度WD(ξ)沿無量綱坐標ξ 的分布; 圖3 顯示了在區(qū)間[ξa, ξb]分別為[0, 1]和[0.3, 0.7]時, 無量綱裂紋誘導弦撓度WC(ξ)沿無量綱坐標ξ 的分布. 從圖中可見, 相比于損傷誘導撓度WD(ξ)和裂紋誘導弦撓度WC(ξ)函數(shù), 邊界非完整約束懸臂裂紋梁無量綱撓度W(ξ)的裂紋效應并不明顯. 對于無裂紋梁(d1= 0), 其無量綱損傷誘導撓度WD(ξ)為直線; 對于裂紋梁(d1?=0), 無量綱損傷誘導撓度WD(ξ)和裂紋誘導弦撓度WC(ξ)均為由2 條線段構成的分段線性函數(shù), 且2 條線段交點的橫坐標即為裂紋位置.另外, 隨著裂紋深度的增大, 裂紋位置處斜率的改變量也增大, 同時邊界支承附近無量綱損傷誘導撓度WD(ξ)的直線段斜率為m0fr, 與縱坐標軸的截距為ftfS0.

圖2 當ξ1 = 0.5 時, 不同裂紋深度d1/h 下邊界非完整約束裂紋梁撓度W(ξ)和損傷誘導撓度W D(ξ)的分布Fig.2 Distributions of the defections W(ξ) and damage-induced deflections W D(ξ) of the cantilever cracked beam with nonholonomic constraint boundary for different crack depths d1/h when ξ1 =0.5

取ξe1= 0.1 和ξe2= 0.3, 表1 給出了當無量綱柔度fr= ft分別為0.01, 0.03 以及0.05 時,不 同 測 量 誤 差e 下, 由 式(17)確 定 的 邊 界 近 似 柔 度分 別 與 其 精 確 值fr和ft的 誤差er和et, 其中誤差定義為

圖3 當ξ1 =0.5 時, 不同裂紋深度d1/h 下邊界非完整約束裂紋梁裂紋誘導弦撓度W C(ξ)的分布Fig.3 Distributions of the crack-induced chord-wise deflections W C(ξ)of the cantilever cracked beam with nonholonomic constraint boundary for different crack depths d1/h when ξ1 =0.5

可見, 當測量誤差e 較小時, 式(17)可給出柔度fr和ft的較精確識別結果和而隨著測量誤差e 的增大, 柔度fr和ft的識別誤差迅速增大, 且誤差er大于誤差et. 同時, 計算發(fā)現(xiàn)誤差er和et隨著ξe2?ξe1的減小而增大, 其原因是由式(16)確定式(17)的系數(shù)矩陣病態(tài)[7,11],因此如要獲得柔度fr和ft的較精確識別結果, 應嚴格控制撓度和的測量誤差, 并盡可能地使ξe2?ξe1增大.

表1 不同測量誤差e 下邊界非完整約束柔度f r 和f t 的識別結果Table1 Identification results of the nonholonomic constraint compliances f r and f t for different measurement errors e

表2 給出了在不同裂紋深度d1和不同測量誤差e 下, 由式(20)確定的裂紋近似位置及其等效彈簧近似柔度分別與其精確值ξ1和f1的誤差eloc1和ef1(取ξa=0.3,ξb=0.7 和β =0.1), 其中誤差eloc1和ef1分別為

可見, 隨著測量誤差e 的增大, ξ1和f1的識別誤差總體增大, 但當測量誤差e ?5%時, 由式(20)可給出較精確的ξ1和f1的識別結果. 同時計算發(fā)現(xiàn), 參數(shù)β 的選取對識別結果幾乎沒有影響.

表2 不同裂紋深度d1/h 和測量誤差e 下裂紋位置ξ1 及裂紋等效彈性柔度f1 的識別結果Table2 Identification results of the crack locations ξ1 and compliances f1 of the crack equivalent spring with different crack depths d1/h and measurement errors e

3.2 具有2 條裂紋的邊界非完整約束懸臂梁參數(shù)識別

設邊界非完整約束懸臂裂紋梁在ξ1= 0.4 和ξ2= 0.7 處存在深度分別為d1和d2的裂紋,這時仍取Q0= 1, ft= fr= 0.05. 圖4 給出了在不同裂紋深度d = d1= d2下, 邊界非完整約束懸臂裂紋梁的無量綱撓度W(ξ)和無量綱損傷誘導撓度WD(ξ)沿無量綱坐標ξ 的分布.從圖中可以看出, 相比WD(ξ), W(ξ)的裂紋效應不明顯, 并且對于2 條裂紋梁而言, WD(ξ)為由3 條線段構成的分段線性函數(shù), 其交點即為裂紋位置, 分別為ξ1=0.4 和ξ2=0.7.

圖5 給出了區(qū)間[ξa, ξb]分別為[0.2, 0.6]和[0.5, 0.9]、無測量誤差e = 0 和測量誤差e = 1%時, 無量綱裂紋誘導弦撓度WC(ξ)沿無量綱坐標ξ 的分布. 從圖中可以看出, 當區(qū)間[ξa, ξb]只含1 條裂紋時, 其裂紋誘導弦撓度WC(ξ)為2 條線段組成的分段線性函數(shù), 且隨著裂紋深度的增大, 裂紋位置處斜率的改變量增大.

圖4 當ξ1 =0.4, ξ2 =0.7 時, 不同裂紋深度d/h 下具有2 條裂紋邊界非完整約束梁撓度W(ξ)和損傷誘導撓度W D(ξ)的分布Fig.4 Distributions of the defections W(ξ) and damage-induced deflections W D(ξ) of the cantilever beam with nonholonomic constraint boundary and two cracks at ξ1 = 0.4 and ξ2 =0.7 for different crack depths d/h

取ξa= 0.2, ξb= 0.7 和β = 0.1, 表3 給出了在不同裂紋深度d = d1= d2和不同測量誤差e 下, 由式(20)確定的裂紋ξ1= 0.4 的近似位置及其等效彈簧近似柔度分別與其精確值ξ1和f1的誤差eloc1和ef1. 表4 給出了當ξa= 0.5, ξb= 0.9 和β = 0.1, 不同裂紋深度d = d1= d2和不同測量誤差e 下, 裂紋ξ2= 0.7 的近似位置及其等效彈簧近似柔度分別與其精確值ξ2和f2的誤差eloc2和ef2, 其中誤差eloci和efi(i = 1,2)的定義為eloci=?ξi)/ξi, efi=?fi)/fi(i = 1,2). 由表3 和4 可見, 隨著測量誤差e 的增大, 裂紋位置ξi和裂紋等效彈簧柔度fi(i = 1,2)的識別誤差總體增大. 但整體而言, 利用裂紋誘導弦撓度可給出較精確的裂紋位置和裂紋等效彈簧柔度的識別結果, 因此本工作建立的邊界非完整約束懸臂裂紋梁邊界彈性支承柔度和裂紋位置及其等效扭轉彈簧柔度識別方法具有一定的適用性和可靠性.

圖5 當ξ1 = 0.4, ξ2 = 0.7 時, 不同裂紋深度d/h 下具有2 條裂紋邊界非完整約束梁裂紋誘導弦撓度W C(ξ)的分布Fig.5 Distributions of the crack-induced chord-wise deflections W C(ξ) of the cantilever beam with nonholonomic constraint boundary and two cracks at ξ1 = 0.4 and ξ2 = 0.7 for different crack depths d/h

表3 不同裂紋深度d1/h 和測量誤差e 下裂紋位置ξ1 及裂紋等效彈性柔度f1 的識別結果Table3 Identification results of the crack locations ξ1 and compliances f1 of the crack equivalent spring with different crack depths d1/h and measurement errors e

表4 不同裂紋深度d2/h 和測量誤差e 下裂紋位置ξ2 及裂紋等效彈性柔度f2 的識別結果Table4 Identification results of the crack locations ξ2 and compliances f2 of the crack equivalent spring with different crack depths d2/h and measurement errors e

4 結 論

本工作對邊界非完整約束懸臂裂紋梁的邊界彈性支承柔度和裂紋損傷的靜力識別方法進行了研究. 首先, 給出了彈性支承懸臂Euler-Bernoulli 裂紋梁靜力彎曲的顯式閉合通解; 其次,基于損傷誘導撓度和裂紋誘導弦撓度的性質, 給出了邊界支承柔度和裂紋位置及其等效扭轉彈簧柔度的識別方法, 該方法可依次逐個識別待定參數(shù), 避免了通常損傷識別方法中由于同時識別若干參數(shù)所導致的算法復雜和解的非唯一性問題; 最后, 考慮撓度的測量噪聲, 數(shù)值驗證了本工作所建立的懸臂裂紋梁邊界支承柔度及裂紋損傷識別方法的適用性和可靠性, 考察了裂紋深度和位置等對識別結果的影響, 得到如下結論:

(1) 由于涉及到病態(tài)矩陣, 基于損傷誘導撓度的邊界支承柔度識別誤差較大, 故為獲得較精確的識別結果, 應嚴格控制撓度的測量誤差, 并且盡量使2 個撓度測量點相距較遠;

(2) 基于裂紋誘導弦撓度的裂紋位置和裂紋損傷程度識別方法具有可靠的精度, 且裂紋深度和位置對其識別結果影響較小;

(3) 隨著撓度測量誤差增大, 裂紋位置和裂紋等效扭轉彈簧柔度識別誤差總體增大, 但識別結果仍具有較高的精度;

(4) 對于靜定梁而言, 損傷誘導撓度和裂紋誘導弦撓度仍為分段線性函數(shù), 因此本方法亦適用于識別簡支梁彈性支承柔度和裂紋損傷程度.