數(shù)學(xué)類課程的融合教學(xué)

張東

[摘? ? ? ? ? ?要]? 高校各數(shù)學(xué)類課程知識點之間存在緊密的聯(lián)系，相互關(guān)聯(lián)構(gòu)成一個完整的知識體系。但在傳統(tǒng)的教學(xué)模式中沒有強調(diào)這種聯(lián)系。隨著慕課網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺的廣泛應(yīng)用，教師在不斷嘗試創(chuàng)新教學(xué)方式方法，跨課程融合教學(xué)就是其中一種行之有效的教學(xué)模式。這種教學(xué)模式可以充分利用網(wǎng)絡(luò)平臺資源，將各數(shù)學(xué)課程融會貫通，幫助學(xué)生更高效、更深刻、更全面地掌握所需數(shù)學(xué)知識，構(gòu)建一個立體的數(shù)學(xué)體系。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 高校數(shù)學(xué);跨課程;融合教學(xué)

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A ? ? ? ? ? ? ?[文章編號]? 2096-0603（2020）09-0094-02

高校數(shù)學(xué)課程是針對理、工、經(jīng)、管類學(xué)生開設(shè)的十分重要的公共基礎(chǔ)課程。各大高校都應(yīng)重視數(shù)學(xué)課程的教學(xué)工作，大膽地創(chuàng)新和嘗試，以期提高數(shù)學(xué)課程的教學(xué)效率，提高學(xué)生的基礎(chǔ)素質(zhì)。而隨著信息技術(shù)的發(fā)展及其在教學(xué)過程中的應(yīng)用，對傳統(tǒng)的教學(xué)模式形成不斷的沖擊。在慕課等教學(xué)模式被廣泛推廣和普及的大背景下，我們提出了“跨課程融合教學(xué)”的教學(xué)理念。

一、融合教學(xué)的提出

包含高等數(shù)學(xué)在內(nèi)的這些數(shù)學(xué)類課程，也是所有課程中比較難學(xué)的課程。同時，有很多學(xué)生在完成了這些數(shù)學(xué)類課程的學(xué)習(xí)以后，仍不知道學(xué)到的這些數(shù)學(xué)知識在往后的工作學(xué)習(xí)中能起到什么作用。造成這種局面的原因很多，其中一個就是課程設(shè)置。

在傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，以教師的灌輸式教學(xué)為主，老師會按照固定的教學(xué)方案和進(jìn)度來進(jìn)行教學(xué)。比如說理工科學(xué)生在大學(xué)學(xué)習(xí)過程中，至少需要學(xué)習(xí)3門以上的數(shù)學(xué)類課程。這些課程在講授環(huán)節(jié)中都是相互獨立的，且往往由不同的教師授課，每位老師負(fù)責(zé)講好自己的課程就好，不會去花費本就緊張的課時去講解其他課程的內(nèi)容。這樣就導(dǎo)致了各門課程之間不能很好銜接，這樣更加增大了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度[1]。學(xué)生學(xué)完后難以融會貫通，不能對數(shù)學(xué)體系形成一個整體概念。

而事實上，所有這些數(shù)學(xué)課程之間，乃至于與其他課程之間，都存在著大量的知識點關(guān)聯(lián)，甚至在部分課程中，存在著相似程度極高的重復(fù)知識點。這些知識點構(gòu)成了一個完整的體系。雖然我們將這個體系分解為一些獨立的課程來進(jìn)行學(xué)習(xí)，但不可能完全切斷它們之間的聯(lián)系。忽視這些聯(lián)系，我們的學(xué)習(xí)過程就如同管中窺豹。所以我們需要改變這種形式，重新強化不同課程知識點之間的關(guān)聯(lián)性，將它們?nèi)诤显谝黄鹬v授，這就是“跨課程融合教學(xué)”的理念。

二、可行性分析

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展過程，其實是一個“分”的過程。且不說數(shù)學(xué)各個分支的產(chǎn)生，就說同濟(jì)版線性代數(shù)其實就是在1978年從高等數(shù)學(xué)課程中分解出來后（原為高數(shù)第13章），發(fā)展為一門獨立的課程。這個過程反映出兩個事實：其一是這些課程之間存在著緊密的聯(lián)系;其二是課程內(nèi)容在的不斷擴充與細(xì)化。第一個事實為“課程融合教學(xué)”提供了理論依據(jù)，這些課程原本就是一個整體。第二個事實則是課程不斷“分”的主要原因之一，也是我們對課程進(jìn)行“合”時，需要面對的困難——隨著知識點的增加，在有限的課時內(nèi)講清楚本課程的知識點已經(jīng)不容易了，如何能兼顧到其他課程的內(nèi)容？

要回答這個問題我們可以從兩個方面討論：

1.講授其他課程內(nèi)容真的會降低效率嗎？我們進(jìn)行了兩年的教學(xué)實踐，比如說將線性代數(shù)中“向量組的線性相關(guān)性”和高等數(shù)學(xué)中“向量及線性運算”的內(nèi)容整合到一起講授，或是將離散數(shù)學(xué)中一階邏輯部分的換名規(guī)則引入高等數(shù)學(xué)中講解“微分形式不變性”“換元積分法”等知識點。我們甚至將高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)概念與計算機編程里面的函數(shù)概念進(jìn)行對比。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，初始部分章節(jié)內(nèi)容的課時會變得更加緊張。但在這個過程中，學(xué)生對知識點理解的深度和廣度都大大增加，可以非常靈活地運用這些知識點。而且學(xué)生可以將各知識點聯(lián)系起來，對整個課程體系有一個非常全面的了解，構(gòu)造出一個知識體系。然后在后續(xù)學(xué)習(xí)中不斷自發(fā)地將新的知識點與已經(jīng)掌握的知識點進(jìn)行比較，自動合并類似知識點，關(guān)聯(lián)相關(guān)知識點，不斷完善自己的知識體系，從而極大地提高了課程的后半段以及后續(xù)課程的學(xué)習(xí)效率。因此，從總體來看，課程融合會提高而不是降低教學(xué)效率，它可以有效避免不同課程間存在的類似知識點的重復(fù)講解。

2.2018年我國教育部發(fā)布了《教育信息化2.0行動計劃》，提出“堅持信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合的核心理念，堅持應(yīng)用驅(qū)動和機制創(chuàng)新的基本方針，建立健全教育信息化可持續(xù)發(fā)展機制，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)化、數(shù)字化、智能化、個性化、終身化的教育體系。”[2]隨著MOOC和SPOC等線上教學(xué)或線上線下混合式教學(xué)模式的出現(xiàn)和普及，以及“超新泛雅”等網(wǎng)絡(luò)課程平臺功能的不斷完善，教學(xué)模式正在發(fā)生巨大的變化。教學(xué)的時間、地點甚至內(nèi)容都不再局限于以往的傳統(tǒng)課堂。在這些新的技術(shù)和教學(xué)模式下，教與學(xué)的關(guān)系已經(jīng)發(fā)生了改變。教學(xué)的主體是學(xué)生，他們可以通過課程平臺去主動檢索，吸收他們需要的知識，老師起的作用是引導(dǎo)和解惑。借助網(wǎng)絡(luò)課程平臺，我們可以輕易地突破以往不同課程之間的壁壘，改變不同課程間界限分明、互不聯(lián)通的弊端。讓不同課程的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法橫向交叉滲透，優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)課程教學(xué)活動，支持學(xué)生跨課程的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科跨課程教學(xué)內(nèi)容的互相補充[3]。目前很多高校都在建設(shè)“自然科學(xué)導(dǎo)引”“社會科學(xué)導(dǎo)引”等網(wǎng)絡(luò)課程體系，就是利用課程平臺強化相關(guān)課程之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生構(gòu)造完整的知識結(jié)構(gòu)。在這樣的情況下，實現(xiàn)“跨課程融合教學(xué)”是完全可行且有必要的。

三、教學(xué)實例

線性代數(shù)第四章“向量組的線性相關(guān)性”，主要講解向量的運算及相互關(guān)系，進(jìn)而拓展到向量組、線性方程組求解和限量空間。這里，向量的定義和向量的運算是基礎(chǔ)概念，但在線性代數(shù)課程中，所有問題都由公式來進(jìn)行定義和推導(dǎo)，沒有圖形。因此可以在這里引導(dǎo)學(xué)生在網(wǎng)課平臺上學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)第八章第一節(jié)“向量及其線性運算”的內(nèi)容，作為“形”的補充，從而達(dá)到“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)效果，幫助學(xué)生快速、深刻地理解線性相關(guān)等概念。

線性代數(shù)中對向量的定義為“n個有次序的數(shù)a1，a2，…，an所組成的數(shù)組稱為n維向量”[4]。高等數(shù)學(xué)中對向量的定義為“有大小，有方向的量”[5]。同時也通過空間直角坐標(biāo)系定義了“有序數(shù)x，y，z稱為向量的坐標(biāo)，記作=（x，y，z）”[6]，這樣就達(dá)到了形與數(shù)的統(tǒng)一。有序數(shù)的個數(shù)，對應(yīng)著向量所在空間的維度，這個概念可以從二元向量擴展到三元再進(jìn)一步擴展到n元向量。

然后在討論課中，利用高等數(shù)學(xué)中對向量運算的幾何解釋（如圖），指導(dǎo)學(xué)生分組依次討論如下概念。

1.兩向量、線性相關(guān)，在線性代數(shù)中意味著向量能由向量線性表示，=k。而這個等式在高等數(shù)學(xué)中表示兩向量平行，按向量可任意平移的特點，也可理解為兩向量是共線的。

2.類似的，三個向量線性相關(guān)，即向量可以由向量、線性表示為=k1+k2（k1，k2≠0），在高等數(shù)學(xué)中意味著三個向量共面，也就是向量含在向量、所構(gòu)成的平面（二維空間）內(nèi)。

3.線性代數(shù)中向量組A的秩R（A）為A的一個最大線性無關(guān)組所包含向量的個數(shù)r。結(jié)合前兩個討論的結(jié)果，我們可以知道最大無關(guān)組中任何一個向量i都不在其余（r-1）個向量構(gòu)成的空間內(nèi)，因此r這個向量可以構(gòu)成一個r維的空間。那么我們就理解了向量組的秩R（A）表示了向量組所有向量所能構(gòu)成的最大空間維度。

4.線性代數(shù)中的“向量空間”就和高等舒徐中的n維空間結(jié)合對應(yīng)上了，而空間直角坐標(biāo)系就是一個典型的正交向量組，也是向量空間的一個基。我們也可以討論除了直角坐標(biāo)系外，是否還有其他的坐標(biāo)系——坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換。

5.這樣一來，線性方程組的解的結(jié)構(gòu)也可以用高等數(shù)學(xué)中平面的概念來幫助理解。先看三元方程組，方程組中每個方程ai1x1+ai2x2+ai3x3=di對應(yīng)到平面方程Ax+By+Cz+D=0，從而線性方程組求解從圖像上就可以理解為求幾個平面的交集。交集可能是一個點、一條線、一個面或是不存在，分別對應(yīng)線性方程組的解空間是零維、一維、二維或是無界，這樣也可以解釋通解中向量的個數(shù)。然后拓展到n維空間，超平面相交的情況。

如此，線性代數(shù)中諸多抽象的概念變成解析幾何中可見的圖形，讓學(xué)生有了直觀的感受。高等數(shù)學(xué)中的幾何內(nèi)容部分，也有了更多的算法支持。通過兩年的教學(xué)測試，這樣的教學(xué)方式由于做到了“數(shù)形結(jié)合”，便于學(xué)生理解并加深了印象，總體教學(xué)效果、效率得以提升。同時還幫助學(xué)生將線性代數(shù)和高等數(shù)學(xué)兩門課程有機結(jié)合起來，形成了一個完整的知識體系，使學(xué)生對知識的運用更加靈活自如。

四、后記

“兼容并包，萬物并育”是中華民族在幾千年的文明歷程中總結(jié)出來的智慧。隨著人們對世界的不斷探索，掌握知識的不斷累積，我們需要學(xué)習(xí)的東西也會越來越多。單單依靠“分”是不能解決問題的，我們要更多地思考“通”的問題，要對這些知識進(jìn)行融合，找到它們共同的、最本質(zhì)的那些東西。只有這樣，我們才能在不斷改革中提高教學(xué)的效率、效果，形成完整的、鞏固的知識體系，才能真正學(xué)以致用。

這個過程對老師也提出了更多的要求。比如需要老師進(jìn)一步增加自己的知識儲備，除了“?！币酝猓€需要足夠的“博”;需要隨時掌握新的信息、多媒體及網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，做到與時俱進(jìn);需要不斷探索，改進(jìn)教學(xué)設(shè)計，進(jìn)行大量的調(diào)研和實踐;需要打造一個分工有序，穩(wěn)定的教學(xué)團(tuán)隊，以實現(xiàn)更復(fù)雜多樣的教學(xué)方案等。

習(xí)近平總書記指出，“當(dāng)今世界正經(jīng)歷百年未有之大變局”，這是挑戰(zhàn)也是機遇。傳統(tǒng)教學(xué)模式已經(jīng)不再適應(yīng)正在快速發(fā)展的社會經(jīng)濟(jì)形勢，我們需要給學(xué)生打造一種更開放、更自由、更高效、更系統(tǒng)的學(xué)習(xí)模式。而課程融合教學(xué)，將會是實現(xiàn)這些需求的一種有效方式。

參考文獻(xiàn)：

[1]蒲曉妮.高職院校軟件技術(shù)專業(yè)跨課程教學(xué)項目研究與探討[J].蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2018（3）.

[2]教育部.教育信息化2.0行動計劃[EB/OL].2018-04-18[2019-05-02].http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A16/s3342/201804/

t2018425_334188.html.

[3]吳霞，巴寅穎，王星，等.基于BB平臺的中藥化學(xué)網(wǎng)絡(luò)課程建設(shè)與跨課程學(xué)習(xí)的促進(jìn)[J].繼續(xù)醫(yī)學(xué)教育，2017（1）.

[4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].6版.高等教育出版社，2014：81.

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M].7版.高等教育出版社，2014：1.

[6]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M].7版.高等教育出版社，2014：7.

◎編輯 馬燕萍