基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直觀想象下的正方體截面圖形問(wèn)題

賈立平

【摘要】正方體是大家比較熟悉的幾何圖形，其截面（用一個(gè)平面去截幾何體表面，此平面被幾何體所截的部分）都有哪些圖形呢？過(guò)已知不共線(xiàn)三點(diǎn)作幾何體的截面問(wèn)題比較抽象，把空間問(wèn)題平面化是解決此類(lèi)問(wèn)題的常用手段.本文將詳細(xì)地闡述確定截面圖形的兩種常用方法，希望對(duì)同學(xué)們了解截面圖形、解決與截面有關(guān)的問(wèn)題有所幫助.

【關(guān)鍵詞】直觀想象;正方體;截面;空間問(wèn)題平面化

下面我們來(lái)看一道與截面有關(guān)的試題：

引例 正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，現(xiàn)有下列結(jié)論：（1）△EFG為正三角形;（2）異面直線(xiàn)A1G與C1F所成的角為60°;（3）AC∥面EFG.其中正確的結(jié)論的編號(hào)是（ ）

A.（1） B.（2）（3） C.（1）（2） D.（1）（3）

想要解答本題，我先來(lái)介紹一種學(xué)生較容易掌握的找截面的方法——交線(xiàn)法，僅供大家參考.

下面我們來(lái)了解一下做截面圖形涉及的定理與性質(zhì)：

1.兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，三個(gè)不共線(xiàn)的點(diǎn)組成一個(gè)平面.

2.只有在同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)才可能相交.

3.如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).

4.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面的交線(xiàn)必定經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn).

交線(xiàn)法

運(yùn)用該方法作圖的關(guān)鍵在于確定截點(diǎn)（平面與幾何體棱的交點(diǎn)），有了位于多面體同一表面上的兩個(gè)截點(diǎn)即可連接成截線(xiàn)，從而得到截面.常見(jiàn)類(lèi)型如下：

類(lèi)型一：截面經(jīng)過(guò)的三個(gè)點(diǎn)分別在多面體的棱上，且其中有兩個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)面的棱上.

例1 正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，DD1上，求經(jīng)過(guò)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的截面.

作法 （1）在底面AC內(nèi)連接EF并延長(zhǎng)，分別交DA，DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)L，M;（2）在側(cè)面DA1內(nèi)連接GL，交AA1于K;（3）在側(cè)面D1C內(nèi)連接GM，交C1C于H;（4）連接KE，F(xiàn)H，則五邊形KEFHG即為所求（如下圖）.

類(lèi)型二：截面經(jīng)過(guò)的三個(gè)已知點(diǎn)兩兩不在同一面的棱上.

例2 P，Q，R三點(diǎn)分別在直四棱柱AC1的棱CC1，A1D1，AB上，試畫(huà)出過(guò)P，Q，R三點(diǎn)的截面.

作法 （1）先過(guò)P，R兩點(diǎn)作輔助平面，過(guò)點(diǎn)R作R1R∥BB1，交A1B1于R1，則平面CRR1C1為所求輔助平面;

（2）在平面CRR1C1內(nèi)延長(zhǎng)R1C1，交RP的延長(zhǎng)線(xiàn)于M;

（3）在平面A1B1C1D1內(nèi)，連接MQ，交C1D1于點(diǎn)S，延長(zhǎng)MQ交B1A1的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)T;

（4）連接TR，交AA1于點(diǎn)N，延長(zhǎng)TR交B1B的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)K，再連接KP交BC于點(diǎn)L;

（5）連接RL，PS，QN，則多邊形QNRLPS即為所求（如下圖）.

下面回到引例.

引例中（1）與（2）較容易判斷，其中（1）正確，（2）錯(cuò)誤.

（3）為難點(diǎn)，面EFG截正方體的截面圖形為六邊形EIFKGJ ，如下圖所示.作出這個(gè)截面圖形并不是很容易，其截面類(lèi)型同類(lèi)型二，具體作法如下：

（1）取邊A1B1 的中點(diǎn)R，連接GR，RB，CG ，得到矩形GRBC;

（2）在矩形GRBC內(nèi)延長(zhǎng)GF，與RB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)W，則W∈面ABB1A1;

（3）連接EW，EW∩AB=I，WE的延長(zhǎng)線(xiàn)交B1A1的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H;

（4）連接HG，HG∩A1D1=J，HG的延長(zhǎng)線(xiàn)與B1C1的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)S;

（5）連接FS，F(xiàn)S∩CC1=K;

（6）連接GK，EJ，IF，則六邊形JEIFKG即為所求的截面圖形.

故（3）正確，本題答案為D.

除了以上常見(jiàn)的截面類(lèi)型，還有截面經(jīng)過(guò)的三個(gè)點(diǎn)中有一點(diǎn)或多點(diǎn)在多面體的面上的類(lèi)型，方法同類(lèi)型二，同學(xué)們可以自行研究，此處不再加以贅述.

練一練1 （2013年安徽省理科數(shù)學(xué)試題第15題）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線(xiàn)段CC1上的動(dòng)點(diǎn).過(guò)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）.

（1）當(dāng)0

（2）當(dāng)CQ=12時(shí)，S為等腰梯形;

（3）當(dāng)CQ=34時(shí)，S與C1D1的交點(diǎn)R滿(mǎn)足C1R=13;

（4）當(dāng)34

（5）當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為62.

解析 如下圖所示.

答案 （1）（2）（3）（5）.

練一練2 一個(gè)透明密閉的正方體容器中恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正方體，則水面在容器中的形狀可以是：（1）三角形;（2）四邊形;（3）五邊形;（4）六邊形.其中正確的結(jié)論是（ ）

A.（1）（3） B.（2）（4）

C.（2）（3）（4）D.（1）（2）（3）（4）

解析 正方體容器中盛有容器一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正方體，其水面總是過(guò)正方體的中心，所以這個(gè)題的本質(zhì)就是過(guò)正方體中心的截面都可以是什么形狀的.三角形、五邊形的截面不過(guò)正方體的中心，故（1）（3）不正確;過(guò)正方體的一對(duì)相對(duì)的棱和中心可以做一截面，截面形狀為長(zhǎng)方形，故（2）正確;過(guò)正方體一面上相鄰兩邊的中點(diǎn)和中心的截面為正六邊形，故（4）正確.所以選擇B.

練一練3 （2018年全國(guó)Ⅰ卷）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線(xiàn)與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）

A.334 B.233

C.324 D.32

已知正方體ABCD-A1B1C1D1 的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)K在棱A1B1上運(yùn)動(dòng)，過(guò)A，C，K三點(diǎn)作正方體的截面，若K為A1B1的中點(diǎn)，則截面的面積為;若截面將正方體分成體積比為2∶1的兩部分，則A1KKB1=.

解析 正方體下底面對(duì)角線(xiàn)AC與上底面對(duì)角線(xiàn)A1C1平行，K為A1B1的中點(diǎn)，取B1C1的中點(diǎn)K1，連接KK1，則KK1∥AC，連接K1C，則梯形ACK1K即為截面圖形.根據(jù)正方體的棱長(zhǎng)為1 ，易求得截面面積為98.易知當(dāng)點(diǎn)K在棱A1B1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，截面圖形仍為梯形ACK1K，截面將正方體分成體積比為2∶1的兩部分，則幾何體KB1K1-ABC （棱臺(tái)）的體積為正方體體積的13，設(shè)KB1=a，