高中生數學運算素養(yǎng)培養(yǎng)途徑探微

巫瑤 湯強

【摘要】在高中數學新課標的背景下，新提出了數學的六大學科核心素養(yǎng)，數學運算就是其中之一 .而數學運算素養(yǎng)主要體現在理解運算對象、掌握運算法則、探索運算思路以及分析運算結果這四個方面，這四個方面是高中生數學運算素養(yǎng)培養(yǎng)的有效途徑.

【關鍵詞】 高中生;數學運算素養(yǎng);培養(yǎng)

《普通高中數學課程標準（2017年版）》中新提出的六大數學學科核心素養(yǎng)分別是數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析[1].其中數學運算反映的是數學學科的基本特征，也是解決數學與其他學科問題的基本手段.數學運算是學習數學的奠基石，它是數學思維的過程，培養(yǎng)學生運算的核心素養(yǎng)是學好數學的關鍵.

學生數學運算能力的培養(yǎng)體現在數學學習的每一個階段，學生的運算能力直接關系著學生數學的整體水平.在新課程標準中，將數學運算作為數學核心素養(yǎng)之一，并明確數學運算素養(yǎng)是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養(yǎng)，而它主要表現在理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路以及求得運算結果[1].數學運算是數學活動的基本形式，其中蘊含著“演繹推理”的重要數學思想.

數學運算是不受個人的主觀意識控制的，它是由公式、定理本身的客觀規(guī)律推動前行的.數學運算不僅能使學生具有更加條理化、清晰化的思維，比如對于解決一個問題，學生能清晰明確地知道先算什么，再算什么，最后算什么.除此之外，運算還能夠培養(yǎng)學生的耐心、意志力與創(chuàng)新思維能力，特別是遇到比較復雜的運算，比如，在高中學習的解析幾何中，是用代數的方法來解決幾何問題，這樣雖然讓運算思路得到簡單化，但是其中的運算過程卻更加復雜，這時就特別考查學生運算的耐心以及創(chuàng)新思維.學生的數學運算能力不單單是對數學這一個學科有影響，在物理、化學乃至生物的學習中也會涉及數學運算方面的問題，可以看出數學運算素養(yǎng)可以充分體現一名學生的整體素養(yǎng).因此教師在課堂教學中如何培養(yǎng)學生的運算素養(yǎng)以及從哪些方面培養(yǎng)成為一線教師以及教學研究者們非常關注的話題，而我將從數學運算素養(yǎng)的四大主要表現來淺談教師應如何在教學中培養(yǎng)學生的運算能力.

一、理解運算對象：運算素養(yǎng)培養(yǎng)的起始點

要想解決一個運算問題，不管采用何種運算方法，前提都是正確地理解問題的運算對象.而理解運算對象的一個重要標準是：能否準確地用自己的語言對運算對象進行表述，從不同的側面多角度地進行表征運算對象，從而得到不同的運算思路[2].因此教師要去開拓學生的思維方式，讓學生深刻理解問題的本質，最終探索出不同的運算思路與方法技巧.

例如，在數列中求an 時，若題中已知Sn ，大部分學生都知道用an=Sn-Sn-1 ，但對于部分學困生來講，可能知道這個式子的大概形式，而在實際運用時可能就會用成an=Sn+1-Sn，或者根本不會去考慮運用an=Sn-Sn-1時需要滿足條件n≥2 且n∈N，這部分學生就是對式子的本質沒有理解透徹，不知道這個式子是如何得來的，為什么是an=Sn-Sn-1，而不是an-1=Sn-Sn-1，部分新任教師在教學中容易忽略這方面的講解，可能認為這是個顯而易見的事實，學生能夠直接理解，根本不需要給學生過多地解釋式子的由來，但針對部分學困生而言卻真的會出現上述問題，因此這就要求教師在教學中注意講解該式的由來，讓學生理解該式中的數學本質，正確理解運算過程中的運算對象，而非讓學生死記硬背.

再如，在△ABC 中，a，b，c 分別為角A，B，C 所對的邊，若a=2bcos C，請判斷此三角形的形狀.

經過分析，此題是一個關于解三角形的問題，其中涉及正弦定理與余弦定理的應用，但在具體問題中學生卻很難抉擇出到底該應用哪一個定理來解決該問題.事實上，針對不同的運算對象有著不同的運算思路，以下分別以角和邊作為不同的運算對象來分析問題.

（1）若從角入手，解題思路就是將三角形中的邊全都轉化為對應的角來表示，即sin A=2sin Bcos C ，再利用A+B+C=π， 有sin A=sin（π-B-C） ，再由三角函數誘導公式以及兩角和（差）的正弦公式，得到sin（B-C）=0，以此判斷出該三角形是等腰三角形;

（2）若從邊入手，則需將其中所涉及的角全都轉化成用邊來表示，即a2b=a2+b2-c22ab，經過化簡，得到b2-c2=0 ，以此判斷出該三角形是等腰三角形.

數學運算的切入點是要正確地理解運算的對象，數學的運算對象可以是數、字母、角度、向量、集合、函數等，這些運算對象的來源一方面是其他學科與現實生活的抽象，另一方面是對數學運算對象的概念、定義以及表示的理解，而此題的運算對象可以視為字母（邊長）或者角，雖選擇的運算對象不同，解題思路也不同，但都可以成功地解決此題.然而有部分題針對理解的運算對象不同，就會使其運算過程難易程度不同，準確深刻地理解運算對象，從而把握問題運算的本質.因此正確地理解運算對象是培養(yǎng)學生數學運算素養(yǎng)的起始點.

二、掌握運算法則：運算素養(yǎng)培養(yǎng)的著力點

運算法則是確保運算結果具有唯一性的重要保障，掌握各種運算的運算法則，是培養(yǎng)學生數學運算素養(yǎng)的著力點.然而這就要求學生要熟練掌握數學中的基本概念、法則、公式、定理等，使之成為運算過程中的重要依據.數學中的基本概念、法則、公式、定理都是我們所謂的基礎知識.俗話說“根基穩(wěn)，修建的房屋才不會塌”.擁有扎實的數學基礎，是學好數學的必要條件.因此，掌握好這些數學的基本知識可為后續(xù)數學的學習奠定一定的基礎，也能使學生更好地去分析、解決問題.

例如，在△ABC中，a，b，c 分別為角A，B，C 所對的邊，C=π4，a=2，S△ABC=2，求3a-b+2c3sin A-sin B+2sin C的值.

基礎較差的學生可能會直接將其中的“a，b，c”換成“sin A，sin B，sin C ”，答案直接得出為“1”，究其原因就是這部分學生沒有正確把握三角函數運算的法則，這也符合俄國心理學家巴普洛夫的條件反射理論，在以往解三角函數的問題中，都是直接將“a ”變?yōu)椤皊in A ”，從而直接解決問題，因此學生在解決此題時甚至都沒看清楚題意就直接將“a ”用 “sin A ”替代，這是因為在以往做題時極大部分都是將其直接進行替換，因此在學生心中就形成了一種慣性思維，認為“a=sin A ”，根本沒有想過原來做題的過程中為何可以直接將“a ”用 “sin A ”替換，這就是對正弦定理的變換掌握不透徹，從而導致運算出錯.因此教師在此部分的教學中就要通過多種途徑來讓學生充分地理解各種運算法則，掌握數學的基本理論知識，從而讓學生進一步加深對算法以及算理的理解.

三、探索運算思路：運算素養(yǎng)培養(yǎng)的突破點

運算思路是成功解決問題的途徑，只有正確的思路才能成功地解決相關問題.但運算的思路不只是單就一個題而言，更多的是針對一種類型的題.不同的運算思路涉及不同的運算量，有部分學生可能對問題有一定的認識，有一點思路，但并不是最佳的思路，導致運算量極大，最終運算無果.因此只有在平時練習時不斷地思考，并從多方面去探索解題的運算思路，最終才能尋求到最佳的解題途徑.

例如，求y=x-5+24-3x的值域.

思路1 高中階段的學生學完導數后，都是直接對函數f（x）求導，利用函數單調性與極值，最后求出函數的值域.這種方法也是大部分學生能想到的唯一解題方法，學生在解這一類型的題時被定勢思維所影響，只想著用當下學到的知識去解決問題.此題用函數求導法求解，其中對含有根號的函數求導計算量相對來講比較大，很多基礎不太好的學生在求導中很容易出錯，最終導致解題無果.但此法可以更好地培養(yǎng)學生利用函數思想解決問題，并且正因為根號的參與，能夠更好地培養(yǎng)學生的運算能力.

思路2 設法利用換元思想來消去式子中的根號，令u=x-5 ，v=24-3x，這樣將求函數值域問題轉化成求y=u+v 這條直線與橢圓u23+v29=1（u≥0， v≥0） 在第一象限有交點時，y 的取值范圍，如圖.用數形結合的方法，簡化了其中的運算過程，使計算量大大減少.雖然這種思路比第一種思路的運算量少，并且也好理解，基礎較差的學生也能很好地掌握，但是學生自己做時卻很難直接想到，這就需要教師在平時的教學中去有意識地引導，與學生多交流溝通，啟發(fā)學生多角度思考問題，從而找到不同的解題途徑，最終選擇最佳方案.

探求不同的運算思路能夠優(yōu)化運算過程，從而尋求到最佳的解題途徑.成功地探索并且理解到解決問題的思路，最終才能掌握一類問題的通法.有了最佳的運算思路，就可以合理地選擇適當的運算方法，設計恰當的運算程序，從而得到正確的運算結果，探索運算思路是培養(yǎng)學生數學運算素養(yǎng)的突破點.

四、分析運算結果：運算素養(yǎng)培養(yǎng)的固化點

在求得運算結果后，要分析其算出的結果是否符合事實，最終的結果不能違背客觀事實，特別是在求解實際應用題時，就一定要分析所解得的運算結果是否符合實際情況，這是學生非常容易忽略的一點.部分學生一味地只顧著算，算出結果就不管了，根本沒去考慮運算結果是否符合實際，這就缺乏對數學的嚴謹性.我們的數學學習更多的是要運用到生活中去，因此對運算結果進行分析是培養(yǎng)學生運算素養(yǎng)的固化點.

很多學生在高中階段的運算能力都比較薄弱，因此這就需要教師在教學過程中重視培養(yǎng)學生的運算能力，特別是在解析幾何的教學中，解析幾何是用代數方法來研究幾何問題，雖然表面上將幾何問題簡單化，但其中卻增加了學生的運算量.這就要求教師在教學中要注意引導學生在代數運算中的計算技巧以及讓學生知道哪些是需要注意的地方，讓學生感受到解析幾何問題是可以輕松解決的，否則將會出現學生解題思路清晰，但在實際運算時卻出現許多問題.

新課標下的數學運算素養(yǎng)是反映數學學科的基礎特征，教師必須對如何培養(yǎng)學生的運算素養(yǎng)引起重視，將此作為目標滲透到每一個課堂教學中，尤其是高中階段.學生可能掌握了理論知識，但在實際運算時常出現問題.因此這就要求教師需要關注學生自身的發(fā)展，并結合實際情況來設計教學活動，為高中學生營造一種良好的學習氛圍，提升每位學生的數學運算能力，培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng).

【參考文獻】

[1]史寧中，王尚志.普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.5

[2]石明榮.“核心素養(yǎng)”中“數學運算”素養(yǎng)的內涵與實踐研究[J].中學數學，2017（05）：26-27.

[3]王強國.數學運算能力的內涵、要求及提升路徑[J].中小學教師培訓，2018（11）：48-53.

[4]剛道明.高中數學運算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)[J].科技經濟導刊，2018，26（30）：175.

[5]徐健.關注運算能力 培養(yǎng)核心素養(yǎng)[J].中學數學教學參考，2018（23）：64-66.

[6]陳建葉.淺議數學運算能力的培養(yǎng)[J].高中數學教與學，2018（16）：1-4.