教學(xué)，讓增值發(fā)生

周衛(wèi)東

摘要：增值，不僅可以體現(xiàn)在教育的宏觀層，同樣也適用于中觀層與微觀層;“增值”一詞不僅適用于本來(lái)屬于的教育評(píng)價(jià)層，也適用于各門(mén)學(xué)科的教學(xué)策略層。就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，教學(xué)增值還沒(méi)有引起太多的關(guān)注，尚存在許多可以深入研究、有所作為的空間。具體而言，可通過(guò)延展，讓未來(lái)知識(shí)之光“透”進(jìn)來(lái);通過(guò)接納，使?jié)撛谛畔⒅辍帮@”出來(lái);通過(guò)追溯，把當(dāng)下內(nèi)容之源“掘”出來(lái)。

關(guān)鍵詞：增值延展知識(shí)接納信息追溯內(nèi)容增值，即價(jià)格上漲或價(jià)值增長(zhǎng)，屬于經(jīng)濟(jì)學(xué)概念，是指經(jīng)濟(jì)投入與產(chǎn)出之間的量。

在教育領(lǐng)域，學(xué)者對(duì)增值的概念尚未有統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，現(xiàn)主要有兩種觀點(diǎn)。一是“成績(jī)說(shuō)”：增值是指學(xué)生成績(jī)的提高，如學(xué)者特克維提出，增值測(cè)量單個(gè)學(xué)生連年知識(shí)的進(jìn)步，并據(jù)此作為效能評(píng)價(jià)系統(tǒng)的基礎(chǔ);二是“全面說(shuō)”：增值是指學(xué)生多元智能發(fā)展，若僅考慮成績(jī)提高則窄化了教育效能的覆蓋面，如學(xué)者張亮認(rèn)為，教育效能指學(xué)生在學(xué)力、生活與職業(yè)、情感、社會(huì)性發(fā)展等方面進(jìn)步發(fā)展和成長(zhǎng)轉(zhuǎn)化的幅度。

在我看來(lái)，“全面說(shuō)”更能表達(dá)教育的核心追求，是對(duì)教育投入與產(chǎn)出期望值之間關(guān)系的“完整”理解。增值，不僅可以體現(xiàn)在教育的宏觀層，同樣也適用于中觀層與微觀層;“增值”一詞不僅適用于本來(lái)屬于的教育評(píng)價(jià)層，也適用于各學(xué)科的教學(xué)策略層。

就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，教學(xué)增值還沒(méi)有引起太多的關(guān)注，尚存在許多可以深入研究、有所作為的空間。

比如，“重淺表，輕深究”。只滿足基礎(chǔ)性目標(biāo)的達(dá)成，無(wú)視兒童學(xué)習(xí)的可能性，教學(xué)缺乏發(fā)展性和未來(lái)觀。

比如，“重硬件，輕軟件”。在重視知識(shí)、技能等知識(shí)“硬件”的同時(shí)，對(duì)隱含在知識(shí)內(nèi)部的“軟件”（思想、策略、著眼點(diǎn)等）無(wú)知無(wú)覺(jué)，使數(shù)學(xué)教學(xué)呈現(xiàn)出“癱”著而“立”不起來(lái)的狀態(tài)。

比如，“重當(dāng)下，輕過(guò)往”。最突出的表現(xiàn)就是“掐頭去尾燒中段”，只對(duì)眼前的教學(xué)負(fù)責(zé)，對(duì)知識(shí)“從哪里來(lái)”“往何處去”很少有人去關(guān)注和思考。

……

基于以上認(rèn)知，我認(rèn)為，追求增值，是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然追求。

一、延展：讓未來(lái)知識(shí)之光“透”進(jìn)來(lái)

這是一節(jié)我執(zhí)教過(guò)的公開(kāi)課《平行四邊形的面積》——

“平行四邊形的面積”是一個(gè)經(jīng)典的教學(xué)內(nèi)容，很多同行喜歡研究它，展示它。但通過(guò)大量對(duì)比發(fā)現(xiàn)，這些課例，對(duì)于學(xué)生因負(fù)遷移所帶來(lái)的“用相鄰的兩條邊相乘”的“前概念”，要么“視而不見(jiàn)”，要么“蜻蜓點(diǎn)水”，因而也錯(cuò)失了引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展的寶貴資源與可貴機(jī)會(huì)。其實(shí)，這一內(nèi)容包含著極佳的教學(xué)延展機(jī)會(huì)。善教者，應(yīng)該抓住契機(jī)，順勢(shì)而為，引領(lǐng)學(xué)生步入知識(shí)的縱深地帶。

教學(xué)的最后一個(gè)板塊，我圍繞“怎么理解鄰邊相乘這一種算法？”這一大問(wèn)題，將學(xué)生的學(xué)習(xí)引入深處。步驟如下：

（1）引疑。通過(guò)剛剛的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道了平行四邊形的面積是用底和高相乘，用相鄰的兩條邊相乘是不對(duì)的。那用相鄰的兩條邊相乘算的是什么呢？學(xué)生思考、想象后明白：是因?yàn)槭荛L(zhǎng)方形面積公式的負(fù)遷移，算得的不是平行四邊形的面積，而是以底為長(zhǎng)、鄰邊為寬的長(zhǎng)方形的面積（如圖1所示）。

（2）引思。這時(shí)的平行四邊形的面積與長(zhǎng)方形的面積一樣大嗎？如果不一樣大，誰(shuí)更大一些呢？學(xué)生通過(guò)割補(bǔ)、平移等方法得出結(jié)論：長(zhǎng)方形的面積更大一些。

（3）支持。隨后，通過(guò)“幾何畫(huà)板”軟件，把長(zhǎng)方形再拉伸為平行四邊形，動(dòng)態(tài)展示變化過(guò)程，讓學(xué)生充分感受其中的變化，明晰其中的原理：在逐漸拉伸時(shí)，面積之所以逐漸變小，是因?yàn)樵诘撞蛔兊那疤嵯?，高在不斷變短，高之所以逐漸變短，是因?yàn)楦咚鶎?duì)應(yīng)的夾角在不斷變小;在底不變的前提下，面積的變化，不僅跟高的變化有關(guān)，也與高所對(duì)應(yīng)的夾角有關(guān)（如圖2所示）。

（4）滲透。未學(xué)過(guò)平行四邊形面積計(jì)算方法之前，部分同學(xué)想到用相鄰的兩條邊相乘，現(xiàn)在知道這種算法是不對(duì)的。我與大家分享，以前的想法沒(méi)有全錯(cuò)，只不過(guò)在相鄰兩條邊相乘時(shí)還要考慮第三個(gè)因素，即再乘以一個(gè)系數(shù)。中學(xué)數(shù)學(xué)里，這是用一個(gè)計(jì)算公式S=absin θ表達(dá)的。

德國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家克萊因在《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)（二）》里寫(xiě)道：“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角來(lái)審視、理解初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，只有觀點(diǎn)高了，事物才能顯得明了簡(jiǎn)單;一個(gè)稱(chēng)職的教師應(yīng)當(dāng)掌握或了解數(shù)學(xué)的各種概念、方法及其發(fā)展與完善的過(guò)程以及數(shù)學(xué)演化的經(jīng)過(guò)?！薄坝性S多初等數(shù)學(xué)的現(xiàn)象只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)內(nèi)才能深刻地理解?！遍L(zhǎng)期以來(lái)，在學(xué)段設(shè)定上，小學(xué)與中學(xué)各自為政，彼此分割;在教學(xué)目標(biāo)上，習(xí)慣于把教學(xué)內(nèi)容分成若干小塊，每一課時(shí)都有既定的、類(lèi)似于“網(wǎng)格”的目標(biāo);在教學(xué)過(guò)程中，師生“小步子慢慢走”，亦步亦趨，不敢越雷池半步。這樣的教學(xué)，固然有著相對(duì)固定的教學(xué)內(nèi)容、可以測(cè)評(píng)的教學(xué)目標(biāo)，也取得了明顯的教學(xué)成效;但置身于學(xué)習(xí)場(chǎng)域中的個(gè)體，其學(xué)習(xí)是一個(gè)完整的、動(dòng)態(tài)的、鮮活的連續(xù)過(guò)程，過(guò)度拘囿于學(xué)段、拘泥于目標(biāo)以及拘謹(jǐn)于教學(xué)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的長(zhǎng)效發(fā)展、長(zhǎng)程發(fā)展和長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展都是頗為不利的。

為了實(shí)現(xiàn)增值，我們不妨開(kāi)闊視野，在一段相對(duì)較長(zhǎng)的時(shí)間軸上設(shè)定更為彈性的教學(xué)目標(biāo)，敢于“捅破”阻擋在學(xué)生面前那一層薄薄的“窗戶(hù)紙”，讓未來(lái)的知識(shí)之光“透”進(jìn)來(lái)，讓他們?cè)谀呐率切切屈c(diǎn)點(diǎn)的光亮中建立起相對(duì)完整的知識(shí)體系，更清晰地感受到數(shù)學(xué)世界的美好。

二、接納：使?jié)撛谛畔⒅辍帮@”出來(lái)

這是我觀摩到的一節(jié)公開(kāi)課《組合圖形的面積》——教師先放手讓學(xué)生獨(dú)立完成任務(wù)，然后全班交流。再給黑板上呈現(xiàn)出的學(xué)生作品分類(lèi)：一類(lèi)是用加法思路的，另一類(lèi)是用減法思路的。就在教師引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入下一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)，A同學(xué)舉手發(fā)言，說(shuō)還有一種方法。他把作品放在實(shí)物展臺(tái)上，給大家介紹：“（指圖3）我先在中間橫著畫(huà)一條線，把組合圖形分成兩部分，然后在這條線上任意打一個(gè)點(diǎn)，把這個(gè)點(diǎn)與圖形的右上與右下兩個(gè)頂點(diǎn)連起來(lái)。這時(shí)整個(gè)圖形便被分成了三部分，兩個(gè)梯形和一個(gè)三角形，最后再把三個(gè)圖形的面積加起來(lái)?！边@位學(xué)生發(fā)言后本以為可以得到同學(xué)們的贊揚(yáng)，沒(méi)想到許多學(xué)生不耐煩地說(shuō)：“你這個(gè)方法不就是剛剛我們總結(jié)出的加法思路嗎？你應(yīng)該注意傾聽(tīng)?！薄斑€有，你在橫著的這條線上任意打一個(gè)點(diǎn)，這條線上有無(wú)數(shù)個(gè)這樣的點(diǎn)，如果我們都像你這樣研究，什么時(shí)候才能研究完呢？”在同伴們不留情面的評(píng)價(jià)中，學(xué)生沮喪地回到了自己的座位上。

A同學(xué)的方法（三分法）顯然“笨”了些，但執(zhí)教教師顯然洞察到這種“笨”方法中蘊(yùn)含著難得的思想之光。她這樣引導(dǎo)：孩子，你的方法雖然有些麻煩，但這種方法的背后有我們不容易看出的閃光點(diǎn)，讓我們一起來(lái)感受。在全班學(xué)生完全認(rèn)同后，把“任意打的那個(gè)點(diǎn)”稍稍往后挪一點(diǎn)，這樣還可以嗎？再往后挪，想象一下，這樣還可以嗎？……當(dāng)學(xué)生意識(shí)到這條線上的每個(gè)點(diǎn)都能解決問(wèn)題時(shí)，教師慢慢再把這個(gè)點(diǎn)挪到梯形的腰上（左邊或右邊都可以），進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生感悟：如果挪到這里，這種方法就變成了前面已經(jīng)出現(xiàn)過(guò)的“兩分法”，“兩分法”實(shí)際上就是“三分法”的一種特例，是特殊與一般的關(guān)系。用特殊的“兩分法”代替煩瑣的“三分法”，運(yùn)用的是一種常用的數(shù)學(xué)思維方法——極端思考。

捕捉生成點(diǎn)，進(jìn)而放大成一種難得的教學(xué)資源，讓學(xué)生擁有更多的“獲得感”，是實(shí)現(xiàn)教學(xué)增值的有效途徑之一。

課程是在教師與學(xué)生的教育對(duì)話中誕生的，教師與學(xué)生聯(lián)合創(chuàng)造的教育經(jīng)驗(yàn)才是真正具有靈性的課程。我們強(qiáng)調(diào)教師注重課前教學(xué)的預(yù)設(shè)，但更期盼課堂上有價(jià)值的生成。關(guān)注教學(xué)增值的課堂必然珍視教學(xué)過(guò)程的不確定性和非預(yù)期性。倡導(dǎo)突破課堂教學(xué)的預(yù)期目標(biāo)和既定計(jì)劃的限制，不斷走向有價(jià)值的、生成的、開(kāi)放的天地，從而使教師的教育智慧和學(xué)生的創(chuàng)新人格趨向于充分表現(xiàn)。

捕捉并利用有價(jià)值的生成信息，讓教學(xué)增值，需要具備高超的教學(xué)智慧。教師要能迅速洞察到其價(jià)值所在，并盡“己”所能釋放出個(gè)人的創(chuàng)造精神和創(chuàng)造才能，將自己獨(dú)特的、不可為他人所取的教育智慧融入課堂教學(xué)資源之中，不斷捕捉、判斷、重組課堂教學(xué)中涌現(xiàn)出的學(xué)生信息，及時(shí)地將學(xué)生現(xiàn)實(shí)學(xué)習(xí)狀態(tài)中的困惑、疑問(wèn)和創(chuàng)新加以整合，形成新鮮的、連續(xù)的興奮點(diǎn)和教學(xué)生長(zhǎng)點(diǎn)，推動(dòng)教學(xué)過(guò)程在具體情境中的動(dòng)態(tài)生成，使結(jié)構(gòu)化后的以符號(hào)為主要載體的書(shū)本知識(shí)重新被“激活”，煥發(fā)出勃勃的生命力。

三、追溯：把當(dāng)下內(nèi)容之源“掘”出來(lái)

這是一節(jié)我近期執(zhí)教的公開(kāi)課《平均數(shù)的再認(rèn)識(shí)》——備課階段，我研讀了大量關(guān)于“平均數(shù)”教學(xué)的案例，發(fā)現(xiàn)這些案例大多囿于教材、流于淺表、止于概念。究其實(shí)質(zhì)，是對(duì)這一重要概念的深層意義及豐富的教學(xué)資源鮮有觸及。為了讓學(xué)生深入理解“平均數(shù)”的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，在練習(xí)階段，我精心設(shè)計(jì)了這樣一組練習(xí)題：想想辯辯。下列哪些事情與我們今天學(xué)習(xí)的“平均數(shù)”有關(guān)系呢？（1）體育老師在評(píng)定立定跳遠(yuǎn)的成績(jī)，小剛?cè)翁某煽?jī)是1.67米、1.72米、1.69米，請(qǐng)問(wèn)：小剛最后的成績(jī)是多少呢？（2）年級(jí)組長(zhǎng)正在統(tǒng)計(jì)四年級(jí)10個(gè)班級(jí)下學(xué)期大約要訂多少套校服。小范脫口而出：“大約400套?！保?）同學(xué)們正在進(jìn)行歌唱比賽，小勇是5個(gè)評(píng)委之一，給參加歌唱比賽的同學(xué)打分。

三個(gè)情境中，第三個(gè)是常見(jiàn)的與平均數(shù)有關(guān)的情境，全班沒(méi)有任何爭(zhēng)議;對(duì)于第一個(gè)情境，許多學(xué)生由于生活經(jīng)驗(yàn)不足，誤認(rèn)為立定跳遠(yuǎn)的最后成績(jī)就是算平均數(shù)，這道題有效地把課本知識(shí)與生活實(shí)際緊緊關(guān)聯(lián)起來(lái)，糾正了學(xué)生的認(rèn)識(shí)偏差，提高了他們對(duì)理論知識(shí)的辨識(shí)度。

第二個(gè)情境的創(chuàng)設(shè)及習(xí)題的編擬，我花費(fèi)了更多心思?！捌骄鶖?shù)”這一概念是在什么時(shí)候被提出來(lái)的？是由什么人在什么背景下提出來(lái)的？帶著這樣的本源性追問(wèn)，我查閱資料，咨詢(xún)專(zhuān)家，終于找到了“平均數(shù)”的源頭。原來(lái)，平均數(shù)的誕生與一則典故有關(guān)。公元4世紀(jì)，古印度王在院子里散步，發(fā)現(xiàn)院子里長(zhǎng)著一棵高大的蘋(píng)果樹(shù)，上面結(jié)滿了蘋(píng)果。他想弄清楚樹(shù)上到底結(jié)了多少個(gè)蘋(píng)果，該用什么方法呢？想來(lái)想去終于找到了好辦法。他先數(shù)出蘋(píng)果樹(shù)上一共長(zhǎng)了多少根樹(shù)杈，找到中等程度的那根樹(shù)杈，數(shù)出上面蘋(píng)果的數(shù)量，然后再與樹(shù)杈數(shù)相乘得到蘋(píng)果的總數(shù)。原來(lái)，平均數(shù)最先是為了求總數(shù)而誕生的。受此啟發(fā)，我編擬了“訂校服”的習(xí)題（400套是用40×10得到的，10是班級(jí)數(shù)，40則是每個(gè)班級(jí)的平均人數(shù)）。這道練習(xí)題可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（反映一組數(shù)據(jù)的整體水平），強(qiáng)化平均數(shù)的計(jì)算方法，更為重要的是，把學(xué)生置于一個(gè)更廣闊的時(shí)空中，追溯知識(shí)的源頭來(lái)理解平均數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義與生活價(jià)值，促其感受到學(xué)習(xí)平均數(shù)知識(shí)的必要性。

原來(lái)，教學(xué)增值，還有另外一種“打開(kāi)”方式——融入背景，找到源頭，引來(lái)汩汩活水。

什么是學(xué)習(xí)？聯(lián)合國(guó)教科文組織在最新的報(bào)告中指出：“學(xué)習(xí)是由環(huán)境決定的多方面的現(xiàn)實(shí)存在。獲得何種知識(shí)以及為什么、在何時(shí)、如何使用這些知識(shí)，是個(gè)人成長(zhǎng)和社會(huì)發(fā)展的基本問(wèn)題?！边@一新的學(xué)習(xí)觀念確認(rèn)了學(xué)習(xí)與環(huán)境之間的關(guān)系，以及學(xué)習(xí)對(duì)個(gè)人成長(zhǎng)和社會(huì)發(fā)展的意義。知識(shí)存在于背景，依存于邏輯，也依存于經(jīng)驗(yàn)。離開(kāi)了知識(shí)的背景、知識(shí)的邏輯和個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)，知識(shí)本身作為抽象的符號(hào)是不具備可理解性的。這就是美國(guó)教育哲學(xué)家謝夫勒探討知識(shí)的條件與學(xué)習(xí)之間關(guān)系的根本原因。

行文至此，我仍在思考一個(gè)問(wèn)題：沒(méi)人會(huì)否認(rèn)教學(xué)增值的意義，但我們的教學(xué)為何難以實(shí)現(xiàn)增值呢？

美國(guó)學(xué)者薩拉·羅斯·卡瓦納在《蜂巢思維：群體意識(shí)如何影響你》一書(shū)中指出：“每個(gè)人都像身處一個(gè)巨大的蜂巢之中，共享一種思想、一種情緒、一種觀點(diǎn)。我們常常一起感動(dòng)、一起憤怒，我們會(huì)同時(shí)愛(ài)一個(gè)人，也會(huì)同時(shí)討厭一個(gè)人。我們是社會(huì)動(dòng)物，我們的思想、觀念、對(duì)現(xiàn)實(shí)的感知，都直接或間接地為社會(huì)所同步。這就是‘蜂巢思維。我們對(duì)世界的看法，是由我們所選擇的群體、所講述的故事塑造的。我們感知的內(nèi)容，絕不僅僅取決于自己的經(jīng)歷，還取決于我們的群體。我們會(huì)下意識(shí)地尋找和自己有共同的品位、信仰、文化背景或者興趣的群體，并樂(lè)于通過(guò)這些來(lái)定義自己?！比绱丝磥?lái)，追求教學(xué)增值的最大秘訣，不在于策略與方法，而在于思想——我們所處群體的思想。只有跳出“蜂巢思維”的束縛，解放思想，放寬視界，朝向兒童，才能讓增值真正發(fā)生。

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