彈性地基上柱下條形基礎計算的有限元法

楊建暉，戴自航

(福州大學 土木工程學院， 福建 福州 350108)

柱下條形基礎是世界各國大學本科土木類專業(yè)《基礎工程》課程必須介紹的一種淺基礎[1-3]。其現(xiàn)行常用的設計計算方法有3種：(1) 倒梁法；(2) 文克爾地基梁法；(3) 鏈桿法。其中，后兩者屬于考慮基礎與地基共同作用的方法。理論上，倒梁法較為粗糙，計算結果偏差最大，文克爾地基梁法次之，鏈桿法最為合理，而且三種方法均將條形基礎梁視為線彈性體，后兩者同時還將支承基礎梁的地基視為線彈性體。然而，在假設地基土為線彈性體的前提下，文克爾法和鏈桿法均是在做進一步簡化假設基礎上的解析法，不能完全的反映連續(xù)的地基土對柱荷載作用下基礎梁的支承作用和響應，因而，它們的計算結果與理論上的值必定存在一定差距[1,4]。

隨著有限元等數(shù)值計算技術的發(fā)展，作者認為采用連續(xù)體有限元方法來進行彈性地基上柱下條形基礎的內(nèi)力(彎矩和剪力)和沉降是一種更為準確和便捷的方法。下文即以文獻[1]中的例3-1至3-3柱下T形截面基礎梁為例來探討該方法。研究中利用對于梁、柱等結構可按實體單元劃分一并獲得其內(nèi)力和變形的ABAQUS有限元程序，并將有限元法計算結果與算例中常用3種方法的計算結果進行對比驗證。同時，考慮到有限元方法常有許多單元類型可供選擇，且不同單元類型、相同單元類型但不同網(wǎng)格密度下的計算結果可能存在一定差異，對此將進行大量計算對比分析，以供讀者在相同或相似問題的有限元計算中正確選擇單元類型和網(wǎng)格劃分大小提供有價值的參考。

1 有限元法計算

1.1 模型建立

例3-1，T型基礎梁，梁長24 m，承受柱下集中荷載作用，柱距6 m，F(xiàn)=800 kN，基礎梁混凝土強度等級為C20，如圖1所示。

有限元模型及網(wǎng)格劃分如圖2所示。為消除邊界效應，數(shù)值模擬時地基模型取44 m×10 m×10 m(長×寬×高)。模型的位移邊界條件為：限制地基左右兩側x向位移、前后兩側y向位移及底面xyz三向位移，頂面自由。地基及基礎梁均按三維實體單元模擬，基礎梁與地基土間設置接觸面，按粗糙(Rough)接觸考慮，即不考慮二者的相對滑移?？紤]到二階單元比一階在每條邊上多增加一個節(jié)點，為便于對比分析，一階單元網(wǎng)格劃分密度為二階單元的2倍，同時采用種子節(jié)點布設的Bias功能將基礎梁附近土體網(wǎng)格加密，以提高計算結果的精度。為便于與算例方法對比研究，計算時亦不考慮基礎梁及地基土體的自重，并將800 kN集中力換算成作用在柱底，即與T型梁交界0.5 m×0.5 m=0.25 m2的均布荷載(3 200 kPa)，更符合基礎梁實際受力情形。

圖1 基礎梁示意圖(單位：m)

圖2 有限元模型及網(wǎng)格劃分

1.2 基礎梁和地基土彈性參數(shù)的確定

基礎梁常為鋼筋混凝土結構，其彈性模量和泊松比可按設計混凝土強度等級從相應規(guī)范表格中查取。將地基土視為線彈性體時，其彈性模量與變形模量量值上是相等的，當有在現(xiàn)場進行平板載荷試驗時，土的變形模量E可由載荷試驗的荷載-沉降曲線(p-s曲線)的直線段按下式[1,5-6]確定:

(1)

式中:p為線p-s曲線直線段對應于沉降s(m)時的板底壓強，kPa；b為載荷板寬度或直徑，m；v為土的泊松比(常介于0.25～0.50，飽和土為0.50)；I反映載荷板形狀的剛度系數(shù)，對剛性方形板，可取0.886；圓形板取0.785。

當無載荷試驗時，常根據(jù)工程勘察報告提供的土的側限壓縮模量Es按以下理論公式[1,7]

(2)

換算得到。文獻[1]算例3-2即是按式(2)確定地基土的變形模量的，并進而由變形模量確定文克爾法地基抗力系數(shù)k。本文有限元分析中基礎梁和地基土的彈性參數(shù)完全與例3-2和例3-3相同，見表1。

表1 材料參數(shù)

1.3 計算結果分析

1.3.1 不同單元類型計算的彎矩比較

計算分析中采用了人們通常可能選擇的7種一階或二階磚形或四面體單元類型，見表2。表中還列出了采用各種單元計算的最大彎矩及在普通微機上耗費的機時。

表2 對比分析

從表2可見：完全積分的一階8節(jié)點單元C3D8和減縮積分的一階8節(jié)點單元C3D8R計算的最大彎矩基本一致，其結果最小；完全積分的二階20節(jié)點單元C3D20和減縮積分的二階20節(jié)點單元C3D20R基本一致，其結果最大；完全積分的二階10節(jié)點單元C3D10和ABAQUS專為接觸問題高精度分析提供的二階10節(jié)點修正四面體單元C3D10M差異較大；值得注意的是一階非協(xié)調(diào)單元C3D8I的計算結果與C3D10M的基本一致；C3D20R單元的計算機時最短，C3D8I的最長，C3D10M的也較長，其它的介于中間。

各單元計算的基礎梁彎矩圖如圖3所示。

圖3 不同單元計算的基礎梁彎矩圖

可見：不同單元類型彎矩圖的形狀和規(guī)律基本一致，且在兩邊跨中央位置，即基礎梁長度方向上的3 m和21 m截面處有最大彎矩值，兩中跨的彎矩相對較??；梁端彎矩均不為零，C3D8的最大，將近100 kN·m，C3D20和C3D20R的最小且為負值；C3D8和C3D8R單元計算的彎矩顯著小于其它單元的。根據(jù)ABAQUS的程序的說明，由于接觸算法的問題，建議在涉及接觸問題的分析時采用一階單元，避免采用二階單元，若要采用二階單元建議采用專為接觸問題設計的C3D10M單元。根據(jù)這樣的規(guī)定，筆者認為，在上述單元的計算結果中以該類型C3D10M單元計算結果最為準確，雖然C3D20和C3D20R是二階單元，但它們的結果不是最準確的，從圖3可見二者算出的基礎梁兩端的彎矩甚至為負，這應該是與實際不符的，且正是由于這兩種二階單元接觸算法存在的問題造成的。而且從圖3可見，C3D8I單元計算的彎矩圖與C3D10M的幾乎是重疊的，因此，筆者認為，在涉及諸如地基梁等結構內(nèi)力計算的接觸問題分析中，雖然采用一階的C3D8I單元可能消耗更多的機時，但其計算精度完全與ABAQUS程序建議的二階C3D10M單元的基本一致，故若采用一階單元，建議采用C3D8I單元。

1.3.2 同單元類型不同網(wǎng)格密度彎矩比較

以一階單元C3D8I為例，將圖2網(wǎng)格密度降低一倍進行對比分析。兩種不同網(wǎng)格密度計算的基礎梁彎矩如圖4所示?？梢?，二者彎矩圖基本上是重疊的，網(wǎng)格降低后最大彎矩為799.5 kN·m，比原來的808.4 kN·m小約1.1%，表明圖2所示網(wǎng)格密度已具有足夠的計算精度。由于網(wǎng)格密度降低后計算模型單元數(shù)量減半，計算時間顯著減少，為70 s，耗時約為圖2所示網(wǎng)格密度的44%。

圖4 不同單元密度計算的基礎梁彎矩圖

1.3.3 基礎梁沉降對比分析

各單元類型計算的基礎梁沉降曲線如圖5所示。

可見：各單元計算的基礎梁的沉降曲線形狀基本一致，整體呈拱形，梁端沉降最大，中央最小，且在各中間柱荷載作用處呈現(xiàn)微彎曲沉降。

圖5 不同單元計算的基礎梁沉降

1.3.4 與現(xiàn)行理論方法計算彎矩對比分析

以C3D8I有限單元計算的彎矩為例與前述3種方法的對比，如圖6所示。

圖6 不同方法計算的基礎梁彎矩圖

可見：各種方法計算的彎矩圖雖然形式相同，但對應各彎矩極值大小有明顯差異；文克爾法、鏈桿法在邊跨中央有最大彎矩，且量值接近，但在中間跨的極值差異變大，甚至倒梁法在基礎梁中間出現(xiàn)了較大的負彎矩；倒梁法計算的彎矩與其他幾種方法的差異最顯著，正彎矩偏小，且在基礎梁上出現(xiàn)多個較大負彎矩段；倒梁法彎矩最小；有限元法彎矩峰值比文克爾法小393.1 kN·m，比鏈桿法小334.9 kN·m，且有限元法梁端彎矩不為零。

文克爾法、鏈桿法因條件假設可造成較大誤差。據(jù)陳小亮等[8]分析文克爾法可造成地基梁變形、內(nèi)力達10%～30 %的相對誤差。楊明等[9]也證實了這點，他們在現(xiàn)場試驗測得單根格構梁的彎矩僅為文克爾法的48%。朱大鵬等[10]、張?zhí)h[11]和陳開友等[12]也得出了類似的結論。由于有限元法摒棄了文克法和鏈桿法的簡化假設，完全遵循了彈性地基和彈性基礎梁的理論假設，因而，筆者認為，其結果在理論上是最為準確的。

因此，以圖6中有限元法計算結果為參照，雖然倒梁法是最便于手算的一種方法，但其計算結果與有限元法的偏離最大，易導致柱下條形基礎梁在上側配筋偏于不安全而下側過于保守的設計結果，僅在上部結構、基礎梁剛度較大，地基反力較均勻時采用[13-14]；文克爾法計算的結果優(yōu)于倒梁法，但將導致梁的上下側配筋整體上均偏保守的結果，適用于硬地層上有一松軟土層的地質(zhì)條件，且基床系數(shù)不是常數(shù)[15]；鏈桿法計算的結果與有限元法的最靠近，特別是越靠近基礎梁的中間部位，但邊跨的最大彎矩顯著大于后者，將導致邊跨段偏保守的配筋結果。因此，對于常規(guī)柱下條形基礎的設計計算方法，建議盡量避免采用倒梁法，優(yōu)先采用鏈桿法，其次是文克爾法。而在基于彈性地基梁的假設前提下，應盡可能采用本文所述的有限元法。

1.3.5 基底反力對比分析

有限元法不僅可獲得基礎梁的內(nèi)力和沉降，而且可方便得到基底地基反力分布。圖7和圖8分別給出了基底下不同縱剖面上基底反力分布和三維分布。

圖7 不同縱剖面基底反力分布

圖8 基底反力的三維分布

從圖7—圖8可見：地基反力的空間非線性分布特征顯著，在基礎梁縱橫雙向上均呈拱形分布，基礎梁邊緣反力較大，且在其四角達到最大值，在中間柱荷載作用處(即6 m、12 m、18 m)附近基底反力也略有波動，尤以圖7中基礎梁邊的反力曲線反映稍明顯些。

文獻[1]圖3-27、3-21、3-33分別給出了倒梁法、文克爾法和鏈桿法的地基反力分布，為便于與有限元法進行對比，分別繪于圖9和圖10。

從圖8—圖10可見：各種方法的地基反力分布差異較大；倒梁法、鏈桿法地基反力分布較相似，為階梯形分布，但量值上有明顯區(qū)別；文克爾法與有限元法的地基反力分布有相似之處，均呈拱形分布，但有限元法地基反力分布更均勻，只是在基礎邊緣小范圍內(nèi)更集中，在柱荷載作用處附近基底反力也會有所波動。顯然，現(xiàn)行3種方法地基反力僅考慮了基礎梁基底縱向上的分布，不能像圖8所示反映基底反力在基礎梁寬度方向上的非線性分布特征。

圖9 文克爾地基梁法地基反力分布

圖10 倒梁法、鏈桿法地基反力分布

各種方法地基總反力對比如表3所示。

表3 地基總反力對比

從表3可看出：倒梁法、文克爾法的地基總反力與實際總的柱荷載存在較大差異；有限元法、鏈桿法的地基反力計算結果與實際相符，滿足豎直方向上的靜力平衡條件，可見有限元法在各方面的計算結果是經(jīng)得起理論推敲的。

1.3.6 基礎梁剪力對比

有限元法計算所得基礎梁剪力圖如圖11所示。

文獻[1]圖3-19(g)倒梁法的剪力圖如圖12所示。

可見：有限元法與倒梁法的剪力圖形狀和分布規(guī)律類似，均為鋸齒狀，符合集中荷載作用下梁的剪力圖理論上的分布特征。

圖11 有限元法基礎梁剪力圖

圖12 倒梁法基礎梁剪力示意圖

2 結 論

本文針對現(xiàn)行柱下條形基礎設計計算方法存在的問題，以一經(jīng)典算例探討了其有限元方法，包括該方法單元類型的選擇和網(wǎng)格密度的劃分，并將計算結果與現(xiàn)行3種計算方法進行了詳細的比較與分析，可得到以下結論：

(1) 理論上，有限元方法是這些方法中最為準確可靠的方法，但其計算結果受所選取的單元類型和網(wǎng)格劃分密度有關，為合理考慮基礎與地基土的相互作用，建議在ABAQUS中采用專為接觸問題分析設計的二階C3D10M四面體單元，若采用一階單元，強烈建議采用C3D8I磚形單元。

(2) 雖然倒梁法是手算最方便的方法，但其計算結果與實際結果偏差最大，易導致柱下條形基礎梁在上側配筋偏于不安全而下側過于保守的設計結果；文克爾法計算的結果優(yōu)于倒梁法，但會導致梁的上下側配筋整體上均偏保守的結果；鏈桿法計算的結果與有限元法的最接近，特別是越靠近基礎梁的中間部位，但邊跨的最大彎矩顯著大于后者的，將導致邊跨段偏保守的配筋結果。因此，對于常規(guī)柱下條形基礎的設計計算方法，建議盡量避免采用倒梁法，優(yōu)先采用鏈桿法，其次是文克爾法。

(3) 在基于彈性地基梁的假設前提下，本文所述有限元法不僅可方便快捷的獲得基礎梁的內(nèi)力和沉降變形等，還可得到基底反力的空間分布特征，有助于加深人們對基礎與地基梁相互作用的認識。因此，有條件時，建議設計人員應盡可能采用本文所述的有限元法進行柱下條形基礎的設計計算。