追問(wèn)，讓數(shù)學(xué)思維向更深處漫溯

蔣亞燕

[摘要]問(wèn)題是思維發(fā)展的砥礪石，更是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)不斷積累的關(guān)鍵點(diǎn)。為此，在日常教學(xué)中教師應(yīng)利用追問(wèn)誘發(fā)學(xué)生聯(lián)想，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更加開(kāi)闊，并設(shè)計(jì)合適的體驗(yàn)情境，促使學(xué)生的學(xué)習(xí)理解更加深刻，從而實(shí)現(xiàn)思維的飛躍，促進(jìn)他們綜合素養(yǎng)的不斷提升。

[關(guān)鍵詞]追問(wèn);數(shù)學(xué)思維;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

[中圖分類號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)] 1007—9068（2019）32—0035—02

數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)不僅是基本知識(shí)、基本技能的傳授，更重要的是促進(jìn)學(xué)生積累豐厚的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從而使其具有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、研究問(wèn)題的能力。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)富有創(chuàng)造性的過(guò)程，所以通過(guò)追問(wèn)引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)和反思，勢(shì)必會(huì)使動(dòng)手實(shí)踐、自主探索和合作交流等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)更具活力，也會(huì)促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考有效發(fā)散，向縱深處漫溯，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿情趣，閃爍著智慧的光芒。

一、誘發(fā)聯(lián)想，追問(wèn)使思維開(kāi)闊

積極的聯(lián)想是有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的利器之一。當(dāng)學(xué)生能夠依據(jù)眼前的學(xué)習(xí)內(nèi)容聯(lián)想到相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)或?qū)W習(xí)活動(dòng)過(guò)程，那么他們的思維也會(huì)隨著聯(lián)想而靈活開(kāi)闊起來(lái)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要找準(zhǔn)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的來(lái)龍去脈，科學(xué)地進(jìn)行預(yù)設(shè)，并設(shè)計(jì)有序的知識(shí)階梯，促使學(xué)生能夠感受到知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，從而進(jìn)行合情的、有效的聯(lián)想，使既有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、技能、思維方法等成為有效學(xué)習(xí)的敲門(mén)磚，成為終身學(xué)習(xí)的基本積累。

如在“圓柱的表面積和體積”練習(xí)課中，教師出示書(shū)中的習(xí)題：

師：你能根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)去解決問(wèn)題嗎？（學(xué)生自主練習(xí)，并進(jìn)行交流）

生₁：搭建大棚需要的薄膜面積就是大棚的表面積，對(duì)應(yīng)圓柱表面積的一半。

生₂：對(duì)！前后的半圓相當(dāng)于圓柱上下底的一半，頂棚的薄膜相當(dāng)于圓柱側(cè)面積的一半。

生₃：體積也是圓柱體積的一半。

生₄：我看到過(guò)這樣的一道習(xí)題（如圖2）：（1）給這個(gè)積木表面涂油漆，要涂的面積是多少平方厘米？（2）這個(gè)積木的體積是多少立方厘米？它和剛才的大棚的計(jì)算方法一樣嗎？

（看到學(xué)生的問(wèn)題，教師首先引導(dǎo)學(xué)生自主思考，再引導(dǎo)小組進(jìn)行辨析。）

生₅：計(jì)算體積的方法一樣，都是計(jì)算圓柱體積的一半。涂油漆要求表面積，這里的長(zhǎng)方形面積是要計(jì)算的，而大棚的地面是種蔬菜的，不需要鋪薄膜，所以兩者的表面積計(jì)算方法不一樣。

師：你的分析很到位，很準(zhǔn)確。對(duì)于這個(gè)積木的體積，你有其他的思考嗎？

生₆：可以橫向?qū)Φ惹虚_(kāi)，再拼起來(lái)，就是一個(gè)底面直徑為10厘米、高為10厘米的圓柱體了。

有效追問(wèn)，能夠誘發(fā)學(xué)生展開(kāi)聯(lián)想，使其數(shù)學(xué)思維向更廣闊處延伸。案例中教師的追問(wèn)，使得大棚的體積與所用薄膜的面積的特征愈加明顯，不僅能促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的回顧、運(yùn)用和積累，同時(shí)還豐富了學(xué)習(xí)的內(nèi)容，開(kāi)闊了學(xué)生的認(rèn)知視野，讓學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)知識(shí)的異同，在研究中獲得更豐富的感知，有效地幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知。

二、以用促思，追問(wèn)使思維深刻

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的是積累知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，形成技能技巧，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，但最終目的是使學(xué)生能夠運(yùn)用知識(shí)技能去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題和解決問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)練習(xí)，使其在練習(xí)中學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)梳理總結(jié)，進(jìn)而獲得重要的數(shù)學(xué)思想方法，使數(shù)學(xué)思維在訓(xùn)練中變得愈加犀利、深刻。

如“找次品”的教學(xué)片段：

師：經(jīng)過(guò)上面的研究和學(xué)習(xí)，老師想了解大家的數(shù)感水平，看看誰(shuí)的反應(yīng)快、思考深。在27個(gè)同樣的零件中有一個(gè)次品是偏輕的。給你一個(gè)天平，至少稱幾次保證能找出次品呢？

（學(xué)生進(jìn)行小組討論）

生₁：要4次，27→（13、13、1）→（6、6、1）→（3、3）→（1、1、1）。

生₂：3次就可以了，27→（9、9、9）→（3、3、3）→（1、1、1）。

師：大家看看，誰(shuí)的思考更有道理？

（學(xué)生再次比較兩個(gè)同學(xué)的稱量過(guò)程，得出結(jié)論——至少3次）

師：27個(gè)零件只要3次。如果是81個(gè)這樣的零件中也有1個(gè)次品呢？

（學(xué)生運(yùn)用獲得的經(jīng)驗(yàn)去思考）

生3：4次就夠了，81→（27、27、27）→（9、9、9）→（3、3、3）→（1、1、1）。

師：這么少的次數(shù)??！還記得剛上課時(shí)，大家討論2187個(gè)零件中有1個(gè)次品需要稱幾次，有同學(xué)說(shuō)需要2185次?，F(xiàn)在，你是怎樣想的呢？

（學(xué)生討論，得出只要7次：2187→（729、729、729）→（249、249、249）→（81、81、81）→（27、27、27）→（9、9、9）→（3、3、3）→（1、1、1））

生₄：我發(fā)現(xiàn)要使得稱的次數(shù)最少，應(yīng)盡可能平均分成3份。

縱觀整個(gè)教學(xué)活動(dòng)，執(zhí)教者匠心獨(dú)運(yùn)。課前，以猜猜2187個(gè)零件來(lái)熱身，在繁雜的數(shù)據(jù)刺激下讓學(xué)生的思維預(yù)熱起來(lái);課始，通過(guò)3個(gè)零件的實(shí)踐稱量，得出（1、1、1）分法，再拓展到9個(gè)零件。面對(duì)9個(gè)零件，不同的學(xué)生會(huì)有不同的思考實(shí)踐，當(dāng)“9→（4、4、1）→（2、2）→（1、1），3次”和“9→（3、3、3）→（1、1、1），2次”等不同的思路呈現(xiàn)時(shí)，學(xué)生通過(guò)比較，深刻地體會(huì)到“至少稱幾次”的基本要義和優(yōu)化策略的價(jià)值。課中，教師引導(dǎo)學(xué)生解決上述案例中的幾組問(wèn)題，使得優(yōu)化策略深深烙印在學(xué)生的腦海中。

教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用在9個(gè)零件中找出次品的經(jīng)驗(yàn)和方法，去思索27個(gè)零件、81個(gè)零件的情況，最后照應(yīng)到上課前的熱身思考題的2187個(gè)零件，使數(shù)學(xué)思考呈現(xiàn)階梯性，讓學(xué)生在問(wèn)題突破中感受到思考的魅力。其間教師的不斷追問(wèn)極具活力，一個(gè)又一個(gè)富有思考性的問(wèn)題被拋出來(lái)時(shí)，學(xué)生的驚訝、感嘆與震撼之情也隨之而來(lái)，學(xué)生被數(shù)學(xué)的神奇魅力所感染，從而使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有了更強(qiáng)的挑戰(zhàn)性和趣味性，無(wú)形之中使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維獲得質(zhì)的飛躍。

三、以評(píng)激思，追問(wèn)使思維敏捷

發(fā)揮評(píng)價(jià)的激勵(lì)作用，以此促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，也是有效教學(xué)策略之一。適宜的、恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)，能夠改善課堂的質(zhì)態(tài)，有利于學(xué)生積極思考，提升學(xué)生思維的靈活性，使得學(xué)生數(shù)學(xué)思維向更深處漫溯有了基礎(chǔ)。

如“三角形的面積公式推導(dǎo)”教學(xué)片段：

師：剛才計(jì)算了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形的面積，那圖3的面積，你會(huì)求嗎？

（學(xué)生看到圖形，提出不同觀點(diǎn)）

生₁：這是個(gè)三角形，它的面積計(jì)算公式還沒(méi)有學(xué)過(guò)。

生₂：老師，三角形的面積計(jì)算是不是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容?。?/p>

師：是的！我們今天會(huì)研究三角形的面積計(jì)算。你能運(yùn)用長(zhǎng)方形、正方形或平行四邊形的面積計(jì)算方法先思考一下嗎？

（學(xué)生積極思考，動(dòng)手操作）

生₃：我把正方形沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到2個(gè)一樣的三角形，所以三角形的面積等于正方形面積的一半，即邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)除以2。

生₄：我把長(zhǎng)方形剪成兩個(gè)一樣的直角三角形，其中一個(gè)三角形的面積等于長(zhǎng)方形面積的一半，即長(zhǎng)乘寬除以2。

生₅：平行四邊形也可以剪成2個(gè)一樣的三角形，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e等于底乘高，所以我們先要找準(zhǔn)三角形的底和高，發(fā)現(xiàn)它們與平行四邊形的底和高重合。這樣一個(gè)三角形的面積就等于底乘高除以2。

師：老師發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象，大家得出的三角形的面積都要除以2，這是為什么呢？

生₆：我們都是把圖形一分為二，那么得到的三角形的面積只是原來(lái)圖形面積的一半。

師：對(duì)的。那能不能反過(guò)來(lái)進(jìn)行一種新的嘗試呢？

（學(xué)生在教師的追問(wèn)中，進(jìn)行嘗試性操作）

生₇：我們小組發(fā)現(xiàn)用2個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形、一個(gè)正方形或一個(gè)平行四邊形，可見(jiàn)一個(gè)三角形的面積就是拼成圖形面積的一半，所以三角形的面積等于底乘高除以2。

評(píng)價(jià)是學(xué)習(xí)的催化劑。如果教師能夠掌控好這一利器，就一定能開(kāi)啟學(xué)生的心扉，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，也會(huì)激活學(xué)生的學(xué)習(xí)思維，讓數(shù)學(xué)課堂洋溢著無(wú)盡的活力。案例中教師不惟教材的編排，而是順勢(shì)利導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生用既有的圖形面積計(jì)算過(guò)程去想象，以獲得最直接的感知。同時(shí)，利用恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)，激勵(lì)學(xué)生去思考，“老師發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象，大家得出的三角形的面積都要除以2，這是為什么呢？”這句話既肯定了學(xué)生的活動(dòng)成果，又給學(xué)生開(kāi)啟了一扇新的思考之門(mén)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)態(tài)，多站在學(xué)生的立場(chǎng)上去審視學(xué)生的活動(dòng)。長(zhǎng)此以往，學(xué)生就有信心去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，有勇氣去提出問(wèn)題，也會(huì)更加縝密地思考，精心組織語(yǔ)言來(lái)表達(dá)自己的所思所想，思維也會(huì)隨著學(xué)習(xí)的深入而不斷深刻。

綜上所述，用好課堂追問(wèn)這一利器，能夠促使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)更為關(guān)注，促進(jìn)其獨(dú)立思考的深入，誘使其學(xué)習(xí)靈感的萌發(fā)，更是改善課堂學(xué)習(xí)格局、激活學(xué)生思維，逼近知識(shí)本質(zhì)內(nèi)核的“導(dǎo)火線”。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)敏銳地發(fā)現(xiàn)、捕捉生成信息，善假“意外”因素巧追問(wèn)。同時(shí)，還要引發(fā)學(xué)生的有效追問(wèn)，讓他們?cè)谧穯?wèn)中學(xué)會(huì)思考，在思考中開(kāi)啟智慧、引發(fā)創(chuàng)新。長(zhǎng)此以往，學(xué)生的思維會(huì)在追問(wèn)中邁向更開(kāi)闊的“原野”！

（責(zé)編 羅艷）