由一道簡(jiǎn)算題想到的

金志軍

[摘要]計(jì)算教學(xué)考驗(yàn)著數(shù)學(xué)教師的基本功，也反映出數(shù)學(xué)教師的教育理念。讓學(xué)生掌握知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)很關(guān)鍵，但是單純?yōu)榱藢W(xué)生能夠應(yīng)用知識(shí)而進(jìn)行計(jì)算教學(xué)會(huì)弄巧成拙。透過一道簡(jiǎn)算題，發(fā)現(xiàn)為簡(jiǎn)便而進(jìn)行計(jì)算會(huì)復(fù)雜化，找到實(shí)用方法才是真的簡(jiǎn)便，教師在計(jì)算教學(xué)中應(yīng)尋找科學(xué)教法。

[關(guān)鍵詞]簡(jiǎn)便計(jì)算;實(shí)用;簡(jiǎn)便;科學(xué)

[中圖分類號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)] 1007—9068（2019）32—0024—02

一位五年級(jí)學(xué)生在解答一道小數(shù)除法計(jì)算題“15÷2.5+15÷7.5”時(shí)，能輕而易舉地采用常規(guī)方法解答問題，即分別求出15÷2.5和15÷7.5的商，最后再將兩者加起來，但她對(duì)于題目中的要求“盡量使用簡(jiǎn)便計(jì)算方法計(jì)算”感到困惑。明明可以直接解決問題，為什么還要用簡(jiǎn)便算法呢？這位學(xué)生熟練掌握整數(shù)除以小數(shù)的除法計(jì)算法則，這是她首先就能想到的算法，而要繞彎子去想簡(jiǎn)便算法，反而成為她的思想負(fù)擔(dān)，迫使她不得不放棄唾手可得的方法去絞盡腦汁想別的算法。那么，這道題的簡(jiǎn)便算法是什么？該如何去思考？下面就讓我們站在小學(xué)生的角度來審視這個(gè)問題，并進(jìn)行答疑解惑。

一、為簡(jiǎn)便而進(jìn)行的計(jì)算反而復(fù)雜化

能否簡(jiǎn)便計(jì)算，首先要考慮是否能運(yùn)用運(yùn)算律。初步審題，發(fā)現(xiàn)上述計(jì)算題的兩個(gè)除法式子的被除數(shù)都是15，中間用加號(hào)連接，讓人想到利用分配律來解題，即15÷（2.5+7.5）=15÷10=1.5。當(dāng)然這樣的結(jié)果是經(jīng)不起推敲的，學(xué)生很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣解題的結(jié)果是錯(cuò)誤的。也許，這就是命題者故布疑陣。對(duì)小學(xué)五年級(jí)學(xué)生來講，乘法分配律是簡(jiǎn)便計(jì)算中的常用運(yùn)算律，但是卻無法類推至“除法分配律”。這個(gè)“陷阱”會(huì)讓很多學(xué)生中招。

如果“除法分配律”行不通，不妨改弦易轍，轉(zhuǎn)換思路。對(duì)于五年級(jí)學(xué)生來說，解決問題當(dāng)然要用現(xiàn)成的定理和公式，這樣，分?jǐn)?shù)知識(shí)便成了首選，沿著這個(gè)思路，把有關(guān)除法式子轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)形式，讓分子和分母同時(shí)擴(kuò)大10倍，然后對(duì)分母進(jìn)行通分，約分化簡(jiǎn)之后即可求解。如15÷2.5+15÷7.5=15/2.5+15/7.5=15×10/2.5×10+15×10/7.5×10=150/25+150/75=6+2=8，即15÷2.5+15÷7.5=8。五年級(jí)學(xué)生早在一年前就學(xué)過分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，這其實(shí)就是把陌生問題轉(zhuǎn)化成熟悉問題，用已掌握的知識(shí)巧妙解決問題，是學(xué)生能夠理解，也能夠接納的方法。但這樣處理簡(jiǎn)化計(jì)算步驟了嗎？不難看出，這種方法反而略顯煩瑣了。

也有教師提出不同看法，鑒于小數(shù)0.5作為除數(shù)的特別之處，其實(shí)也可以另辟蹊徑，將2.5化成5×0.5，將7.5化成3×5×0.5，原題也就轉(zhuǎn)換為：15÷（5×0.5）+15÷（3×5×0.5）=15÷5÷0.5+15÷3÷5÷0.5=6+2=8。這種方法也能求出正確得數(shù)，但不適合推廣。原因有二：一是將2.5化成5×0.5和將7.5化成3×5×0.5的形式，對(duì)剛剛接觸整數(shù)除以小數(shù)的五年級(jí)學(xué)生而言，是很難想到的;二是這樣一來簡(jiǎn)單的兩商之和的算式結(jié)構(gòu)被破壞了，變得無比復(fù)雜。這種方法在除法之外增加乘法運(yùn)算，還運(yùn)用到了拓展公式a÷（b×c）=a÷b÷c。把算式形態(tài)復(fù)雜化，更容易使學(xué)生出錯(cuò)，最終造成“滿盤皆輸”。

二、找到最實(shí)用的方法才是真簡(jiǎn)便

如果非要按照上述方法解題，倒不如對(duì)算式進(jìn)行分解，看起來思路更清晰。

方法一：15÷2.5+15÷7.5=3×5÷2.5+2×7.5÷7.5=3×（5÷2.5）+2×（7.5÷7.5）=6+2=8。

方法二：15÷2.5+15÷7.5=（3×5）÷2.5+（3×5）÷（2.5×3）=3×（5÷2.5）+5÷2.5=6+2=8。

這兩種運(yùn)算思路，比前面的運(yùn)算思路更容易理解。

以上幾種方法運(yùn)用起來簡(jiǎn)單省事，但是卻不容易想到。因此，上述方法還不夠?qū)嵱?，需要找到一種既簡(jiǎn)便又容易讓人接受的方法。于是，筆者繼續(xù)探索新方法，不斷嘗試創(chuàng)新。題目是求15÷2.5和15÷7.5的和，宏觀來看，只要用簡(jiǎn)單易懂的方法算出兩個(gè)商數(shù)就行?！?5÷2.5”這樣的算式學(xué)生生疏，根據(jù)除法的商不變定律，學(xué)生對(duì)于5÷2.5=2和100÷25=4的運(yùn)算輕車熟路，有著十分豐富的經(jīng)驗(yàn)，因此只要把100和25同步縮小10倍，也就是把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位數(shù)字，100÷25的結(jié)果就和10÷2.5相等。因此，不妨把15分成10+5，讓它們分別除以2.5，所求的兩個(gè)商之和就是15÷2.5的商，即15÷2.5=（10+5）÷2.5=4+2=6。前半部分解決了，后半部分以此類推。同理，尋找7.5的一些常見倍數(shù)，而7.5+7.5恰好等于15，于是聯(lián)想到把15÷7.5化為15÷7.5=（7.5+7.5）÷7.5=1+1=2。采用這種方法，其實(shí)是緣于2.5是特殊除數(shù)，對(duì)比前面的方法，五年級(jí)學(xué)生可能更好接受，但這種方法也不是最簡(jiǎn)便的。

三、尋找科學(xué)的計(jì)算教學(xué)方法

過程重于結(jié)論。通過探索研究，基本可以確定，本題沒有更簡(jiǎn)便的方法。然而這一艱辛的探索沒有白費(fèi)，一是明確了分配律對(duì)除法失效;二是認(rèn)識(shí)到具體計(jì)算時(shí)，可以適度地放縮分子和分母，或進(jìn)行數(shù)據(jù)的拆分，使計(jì)算方式更具選擇空間。

數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)禁錮學(xué)生的思維，只給學(xué)生一條路走。多一條思路，可能對(duì)數(shù)學(xué)的理解就會(huì)多一份深刻。本題一個(gè)勁地追求簡(jiǎn)潔高效，反而適得其反、弄巧成拙，越搞越復(fù)雜。有些計(jì)算題，采用一般方法也會(huì)得出準(zhǔn)確值。教師只有引導(dǎo)學(xué)生多方面思考，多維度探索，才能真正豐富學(xué)生的想象能力和遷移類比能力。

當(dāng)學(xué)生簡(jiǎn)算達(dá)到一定熟練程度，對(duì)所有常規(guī)的運(yùn)算律有一個(gè)全局把握后，教師應(yīng)引導(dǎo)他們舉一反三、觸類旁通，在深入理解運(yùn)算性質(zhì)的基礎(chǔ)上，隨機(jī)應(yīng)變，靈活處理各種運(yùn)算。如根據(jù)加減法去括號(hào)衍生出乘除法去括號(hào)。例如，計(jì)算“321-79-21”，就可以根據(jù)加減法的性質(zhì)來變通處理達(dá)到簡(jiǎn)算目的，如321-（79+21），因?yàn)檫B續(xù)減去兩個(gè)數(shù)，可以看作一次性減去兩個(gè)數(shù)的和。當(dāng)然，能不能簡(jiǎn)算，和去括號(hào)和添括號(hào)沒有必然聯(lián)系，這不是絕對(duì)的，需根據(jù)實(shí)際情況而定，如果是321-（21+50），這時(shí)，去括號(hào)就能簡(jiǎn)算。同理，可以推斷出乘除法的去括號(hào)，如1000÷25÷5=1000÷（25×4），這樣添括號(hào)后，后面兩個(gè)除數(shù)就構(gòu)成相乘關(guān)系，這同樣是通過類比加減法去括號(hào)原理得出的，連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)，相當(dāng)于一次性除以這兩個(gè)數(shù)的乘積，當(dāng)然這也不是絕對(duì)的，算式如果是100÷（25×5），那么去括號(hào)就會(huì)更簡(jiǎn)便。值得注意的是，這種類比變通要防范“想當(dāng)然”，預(yù)防形式上的“冒充”。如根據(jù)乘法分配律5×（8+6）=5×8+5×6想當(dāng)然地類推出100÷（3+7）=100÷3+100÷7這顯然是錯(cuò)誤的。但是，反過來卻是行得通的，如（30+70）÷20=30÷20+70÷20。這其中的奧妙就要教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本算理進(jìn)行深入理解。

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不能只在意學(xué)生會(huì)不會(huì)做，更應(yīng)在意學(xué)生會(huì)不會(huì)想，要充分替學(xué)生考慮，了解他們的想法，以及探究他們產(chǎn)生這些想法的根源，即站在學(xué)生的視角去思考問題。一道題會(huì)有多種解法，在做題時(shí)，應(yīng)選擇最契合學(xué)生思維特點(diǎn)的方法來教學(xué)。

一道簡(jiǎn)算題，看似簡(jiǎn)單，但是，在簡(jiǎn)算和常規(guī)算法的取舍之間，我們應(yīng)該再三斟酌，再三嘗試，在不斷嘗試中總結(jié)提升，不斷優(yōu)化算法，實(shí)現(xiàn)真正的簡(jiǎn)算。