同根同源，一脈相承
——橢圓、拋物線一個等角性質(zhì)的考題綜述

福建省莆田第五中學(xué) (351100) 陳益周

2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ理科試題題19、文科試題題20，又一次涉及橢圓、拋物線的一個等角性質(zhì).至此，已有一系列試題在近年來的高考中出現(xiàn).真是同根同源，一脈相承！

一、性質(zhì)：同根同源

這一系列高考試題，盡管形式有所變化，但都是源自如下的橢圓或拋物線的“等角”性質(zhì)：

性質(zhì)2 (1)設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)，點M(m,0)，N(n,0)(n>0)，過點N不與坐標(biāo)軸平行的直線l與拋物線C交于A、B兩點.則∠NMA=∠NMB的充要條件是m+n=0.

(2)設(shè)拋物線C：x2=2py(p>0)，點M(0,m)，N(0,n)(n>0)，過點N不與坐標(biāo)軸平行的直線l與拋物線C交于A、B兩點.則∠NMA=∠NMB的充要條件是m+n=0.

(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+n(k≠0).代入橢圓C的方程得b2x2+a2(kx+n)2-a2b2=0,整理得(a2k2+b2)x2+2a2knx+a2(n2-b2)=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),據(jù)韋達(dá)定理得x1+x2=

二、試題：一脈相承

以上述橢圓或拋物線的“等角”性質(zhì)為理論依據(jù)，在近年來一系列的高考試題中頻頻出現(xiàn)，有的直接引用，有的稍加改造變形，可謂一脈相承，萬變不離其宗.

圖1 圖2

例3 (2018年高考全國卷Ⅰ文科試題題20(Ⅱ))設(shè)拋物線C：y2=2x，點A(2,0)、B(-2,0)，過點A的直線l與C交于M,N兩點.(Ⅰ)略；(Ⅱ)證明：∠ABM=∠ABN.

評注：(1)當(dāng)l與y軸平行時，AB為線段MN的垂直平分線，有∠ABM=∠ABN;(2)當(dāng)p=1,m=-2,n=2時，m+n=0.由性質(zhì)2(1)的充分性即得此題.

例4 (2013年全國高考陜西卷理20(Ⅱ))已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8,，(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡C的方程；(Ⅱ)已知點B(-1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同兩點P,Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點.

評注:(1)答案：(Ⅰ)y2=8x；(Ⅱ)直線l過定點(1,0);(2)當(dāng)p=4,m=-1時，由性質(zhì)2(1)的必要性得n=1,進(jìn)而得定點(1,0).

例5 (2010年高考全國卷Ⅰ理科試題題21(Ⅰ))已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點K(-1,0)的直線l與拋物線C相交于A、B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為D.(Ⅰ)證明點F在直線BD上；(Ⅱ)略.

評注:在性質(zhì)2(1)中，當(dāng)p=2,m=-1時，由性質(zhì)2(1)的必要性得n=-m=1.進(jìn)而得點(1,0),即直線AB點過點(1,0).

評注:(1)答案：(Ⅱ)存在定點P(0,-a)滿足條件)(注：當(dāng)l與x軸平行時，點P(0,-a)也滿足條件;(2)當(dāng)p=2,n=a時，由性質(zhì)2(2)的必要性得m=-a,進(jìn)而得點(0,-a).

另外,經(jīng)適當(dāng)改造變形的有：

在性質(zhì)1(1)中，可以證明：∠NMA=∠NMB(A、B同在過點N的直線l上)?點A在橢圓C上，則點B必在橢圓C上.特別地，當(dāng)a2=4,b2=3,n=c=1,m=4時，mn=4×1=a2.性質(zhì)1(1)的充分性即為2008年全國高考福建卷文科試題題22(Ⅱ)(1)的結(jié)論：

在性質(zhì)2(1)中，∠NMA=∠NMB?點N到直線MA的距離=點N到直線MB的距離?以點N為圓心且與直線MA相切的圓必與直線MB相切.特別地，當(dāng)p=2,m=-1,n=1時，m+n=0.性質(zhì)2(1)的充分性即為2015年全國高考福建卷文科試題題19(Ⅱ)的結(jié)論：

如圖2，已知點F為拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點，點A(2,m)在拋物線E上，且|AF|=3．(Ⅰ)求拋物線E的方程(答案：y2=4x)；(Ⅱ)已知點G(-1,0)，延長AF交拋物線E于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．

三、啟示：追根溯源

以上一系列的高考試題均以橢圓或拋物線的這個等角性質(zhì)為理論依據(jù)，尤其在2018年高考全國卷Ⅰ的文、理科試題中聯(lián)袂登場！足見命題者對其情有獨鐘偏愛有加.正如著名數(shù)學(xué)教育家陳振宣先生所言：“圓錐曲線是一個十分古典的研究對象，人類已經(jīng)探索了兩千多年，今天仍有迷人的性質(zhì)被人發(fā)現(xiàn)，真是令人感到興趣盎然.”上述現(xiàn)象留給我們的啟示是：面對一個個數(shù)學(xué)問題，不應(yīng)僅滿足于會解和孤立的就題論題，要透過現(xiàn)象揭示本質(zhì)，要縱橫聯(lián)系追根溯源，使知識和方法成線成片，形成一個有機整體.只有這樣，才能在解題時做到左右逢源，得心應(yīng)手，駕馭自如.