立足函數(shù)性質(zhì)背景 確定數(shù)列問題求解方向

江蘇省海門中學(xué) (226100) 徐巧石

在高三的復(fù)習(xí)教學(xué)中教師如果能夠剖析命題者出題的本源，有利于學(xué)生理清解題的方向，提升學(xué)生的思維品質(zhì).數(shù)列作為特殊的函數(shù)，數(shù)列的函數(shù)背景常常作為命題者的出發(fā)點.本文從具體實例出發(fā)，談一談如何從函數(shù)性質(zhì)背景中確定數(shù)列問題的思考方向.

一、單調(diào)性與新定義數(shù)列

反思：該題有兩個關(guān)鍵點:(1)利用單調(diào)性確定an+|an+1-an+2|項數(shù)，進而確定等差數(shù)列；(2)是利用等差數(shù)列是關(guān)于n的一次函數(shù)形式，An(A≠0)不可能恒在兩個確定的數(shù)之間，因為An(A≠0)不存在上界或下界，要成立只能A=0.

二、單調(diào)性與分段子數(shù)列

1.分段子列為等差數(shù)列

例2 (2018南通一模節(jié)選)若數(shù)列{an}同時滿足：①對于任意的正整數(shù)n，an+1≥an恒成立；②對于給定的正整數(shù)k，an-k+an+k=2an對于任意的正整數(shù)n(n>k)恒成立，則稱數(shù)列{an}是“R(k)數(shù)列”.若數(shù)列{bn}是“R(3)數(shù)列”，且存在整數(shù)p(p>1)，使得b3p-3，b3p-1，b3p+1，b3p+3成等差數(shù)列，證明：{bn}是等差數(shù)列.

分析：由已知bn-3+bn+3=2bn可知子數(shù)列{b3n-2},{b3n-1},{b3n},n∈N*分別為等差數(shù)列，再由單調(diào)遞增可得b3n+1≤b3n+2≤b3n+4恒成立，又可轉(zhuǎn)化為B2

解：由題意可得bn-3+bn+3=2bn，則數(shù)列b1，b4，b7，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d1，數(shù)列b2，b3，b8，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d2，數(shù)列b3，b6，b9，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d3.因為bn≤bn+1，所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4，所以b1+nd1≤b2+nd2≤b1+(n+1)d1，所以n(d2-d1)≥b1-b2①，n(d2-d1)≤b1-b2+d1②.

若d2-d1=0，則①和②都成立，所以d1=d2.同理得：d1=d3，所以d1=d2=d3，記d1=d2=d3=d.設(shè)b3p-1-b3p-3=b3p+1-b3p-1=b3p+3-b3p+1=λ，則b3n-1-b3n-2=b3p-1+(n-p)d-(b3p+1+(n-p-1)d)=b3p-1-b3p+1+d=d-λ.同理可得b3n-b3n-1=b3n+1-b3n=d-λ，所以bn+1-bn=d-λ.所以{bn}是等差數(shù)列.

反思：解決此題兩個關(guān)鍵：(1)根據(jù)新定義確定子數(shù)列；(2)由單調(diào)性確定B2

2.分段子列為等比數(shù)列

例3 (2019海安期末)已知數(shù)列{bn}滿足：

(ⅰ)對任意的n∈N*，0

分析：由新定義確定子數(shù)列{b4k-2},{b4k-3},k∈N*為等比數(shù)列，再由單調(diào)性得b4k-3≤b4k-2≤b4k+1恒成立，轉(zhuǎn)化為B1

反思：此題第一考查的是數(shù)列中的兩項乘積成等比數(shù)列，則存在相應(yīng)的子列為等比數(shù)列，運用等比數(shù)列的定義可證明；第二考查的是形如B1B2或B1>Aqn指數(shù)型不等式，找到不滿足條件的n.

3.分段子列為等差與等比

分析:等差數(shù)列與等比數(shù)列相鄰排列，由指數(shù)函數(shù)增長的速度大于一次函數(shù)可知必存在等比數(shù)列的某一項超過等差數(shù)列相應(yīng)的項，所以m有最大值,確定m的最大值只需確定何時公比q不存在，涉及到比較無理數(shù)的大小，構(gòu)造函數(shù)證明.

變式(2011江蘇)設(shè)1≤a1≤a2≤…≤a7，其中a1,a3,a5,a7成公比為q的等比數(shù)列，a2,a4,a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是.

反思：將等差與等比的每一項交錯排列，由于等差與等比數(shù)列均遞增，又等比數(shù)列的增長呈指數(shù)型增長，等差數(shù)列呈直線型增長，所以必然存在某一項不滿足條件，命題立意點就在此.

三、最值與新定義數(shù)列

1.最大項與最小項構(gòu)造等差數(shù)列

分析：由定義可分析出Mn≥Mn-1，mn≤mn-1，且兩個不等式中至少有一個取等號，從數(shù)列{bn}的公差正負(fù)確定{bn}的單調(diào)性，利用Mn≥Mn-1，mn≤mn-1，確定數(shù)列{an}的單調(diào)性，得出Mn,mn與an的關(guān)系.

2.最大項與最小項構(gòu)造等比數(shù)列

分析：同例5可知，kn≥kn-1，rn≤rn-1，且兩個不等式中至少有一個取等號，從數(shù)列{bn}的公比與1的大小確定數(shù)列{bn}的單調(diào)性，利用kn≥kn-1，rn≤rn-1，確定{an}的單調(diào)性，得出kn,rn與an的關(guān)系.

反思：上述兩例最重要的是結(jié)合最值的定義與數(shù)列的特殊性得出Mn≥Mn-1，mn≤mn-1，且兩個不等式中至少有一個取等號這一重要性質(zhì)，進而確定從{bn}的單調(diào)性上突破，即考慮公比與公差，得到解題方向.

四、單調(diào)性與最值確定數(shù)列

反思：各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的通項公式呈指數(shù)型，結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象，若數(shù)列遞增則無上界，若數(shù)列遞減則無非零下界.

結(jié)語：在高三的教學(xué)中，作為教師在講解壓軸題時不能簡單的照著答案講解.教師應(yīng)該關(guān)注命題的背景，以及解題思路如何獲得.唯有如此，講解壓軸題才有價值，學(xué)生的邏輯推理等核心素養(yǎng)才得到提升.