如何在綜合與實(shí)踐課中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

仇海佳 田玉龍

摘 要：初中數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐課程緊密聯(lián)系生活，綜合實(shí)踐性強(qiáng)，為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供了很好的課程載體，教師可以聚焦綜合實(shí)踐課，探索學(xué)科核心素養(yǎng)在課堂落地的路徑和方法，循序漸進(jìn)地發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：綜合與實(shí)踐;核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)建模;邏輯推理

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）中指出，“要重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程?！币虼耍虒W(xué)中教師注重從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生充分運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、比較、分析、綜合、概括等過程，把生活中實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題模型，進(jìn)而求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。下面以北師大版教材八年級上冊“綜合與實(shí)踐”課中的《哪一款手機(jī)資費(fèi)套餐更合適》為例，談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識。

一、模型源于現(xiàn)實(shí)生活

教師課前布置了兩個學(xué)習(xí)任務(wù)。

1.了解手機(jī)資費(fèi)的相關(guān)術(shù)語及手機(jī)資費(fèi)套餐的種類。

2.收集數(shù)據(jù)：以你爸爸或媽媽的手機(jī)為樣本，調(diào)查連續(xù)五個月以來手機(jī)通話時間的情況。

通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，主要有2種情況：①大多數(shù)學(xué)生的調(diào)查結(jié)果是，手機(jī)的使用以本地通話為主，故忽略長途主叫情況進(jìn)行研究;②個別學(xué)生的調(diào)查結(jié)果是，手機(jī)的使用以長途通話為主，故忽略長途主叫情況進(jìn)行研究。

學(xué)生通過深入到移動、電信或聯(lián)通等營業(yè)廳向服務(wù)人員了解專業(yè)術(shù)語、套餐種類以及完成調(diào)查所需的數(shù)據(jù)這一活動，可以豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，同時感受數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)生活，為后續(xù)的數(shù)學(xué)建模提供生活原型。

二、模型的建立

教師提出問題：老師新買了一款手機(jī)，想為我的手機(jī)選一款套餐，移動營業(yè)廳現(xiàn)為老師提供了這樣的三種套餐，請你們幫老師選選看，哪一款套餐更合適？（三種手機(jī)套餐資費(fèi)如下表）

學(xué)生根據(jù)前面的調(diào)查，結(jié)合表格中不同的套餐內(nèi)容，通過自主學(xué)習(xí)、小組探究后，發(fā)現(xiàn)主要存在以下三種情況：

1.如果手機(jī)的使用以本地通話為主，故忽略長途主叫情況進(jìn)行研究。設(shè)本地通話時間為x分鐘，通話費(fèi)用為y元，則：

A套餐收費(fèi)情況：yA=0.2x+10（x≥■，即x≥200）

B套餐收費(fèi)情況：yB=0.18x（x≥■，即x≥389）

C套餐收費(fèi)情況：yC=0.15x+6（x≥■，即x≥440）

2.手機(jī)的使用以長途通話為主，對每月本地通話費(fèi)用取平均值代入;如果我們設(shè)本地通話平均費(fèi)用為m元（m是我們假設(shè)的一個常量），因?yàn)橐蚤L途通話為主，所以m較小，設(shè)長途通話時間為x分鐘，總通話費(fèi)用為y元，則：

A套餐收費(fèi)情況：yA=0.28x+10+40（0≤m≤40）

B套餐收費(fèi)情況：yB=0.3x+m（m≥60，x≥■，即x≥34）

C套餐收費(fèi)情況：yC=0.3x+6+m（0≤m≤66，x≥■）

3.關(guān)注到月平均通話時間，列表達(dá)式展開研究。

比如調(diào)查計算出月平均主叫時間為500分鐘，設(shè)其中本地主叫時間為x分鐘，則相應(yīng)的長途主叫時間為（500-x）分鐘，則三種套餐的收費(fèi)情況如下：

①當(dāng)x≥200時，yA=0.2x+0.28（500-x）+10，即yA=-0.08x+150

當(dāng)x<200時，yA=40+0.28（500-x）+10，即yA=-0.28x+190

②當(dāng)x≥■時，yB=0.18x+0.3（500-x），即yB=-0.12x+150

當(dāng)x<■時，yB=60+0.3（500-x），即yB=-0.3x+210

③yC=0.15x+0.3（500-x）+6，即yC=0.15x+156

從上面的表達(dá)式可以看出，這是一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0）的模型問題，這樣就將手機(jī)話費(fèi)的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的問題，而對于一次函數(shù)的問題，只要確定自變量的值，就可以確定因變量的值。同理，知道自變量的取值范圍，亦可確定因變量的取值范圍。

三、模型的分析與計算

教師通過兩個問題加深學(xué)生對一次函數(shù)模型的認(rèn)識。

問題1：所得的函數(shù)表達(dá)式中的“k”“b”對每月資費(fèi)有怎樣的影響？問題2：什么情況下選擇A套餐？說說你的理由。什么情況下選擇B套餐呢？C套餐呢？

根據(jù)下面圖像可知：

當(dāng)x≤300時，選擇套餐A最劃算;

當(dāng)300

當(dāng)x>400時，選擇套餐C最劃算。

對于一次函數(shù)的問題我們可以借助函數(shù)圖像來解決問題。利用幾何畫板工具在同一坐標(biāo)系中繪制函數(shù)的圖像，圖像可以幫助我們直觀地分析三種套餐。結(jié)合圖像，根據(jù)本地通話時間和長途通話時間的多少來選擇不同的套餐。

四、模型的拓展

問題1：生活中有很多與“手機(jī)資費(fèi)”類似的問題情境，其中變量之間的關(guān)系可以用一次函數(shù)來近似地表述，請你找出一些這樣的問題。問題2：在假期實(shí)踐活動中，選一個你感興趣的問題進(jìn)行分析解決。

學(xué)生經(jīng)過討論，他們認(rèn)為出租車價與里程數(shù)之間的關(guān)系、家庭水費(fèi)與用水量之間的關(guān)系、家庭電費(fèi)與用電量之間的關(guān)系、購買商品時的銷售價與商品數(shù)量之間的關(guān)系等問題都是一次函數(shù)模型的問題。再通過假期實(shí)踐作業(yè)，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識來源于現(xiàn)實(shí)生活，又服務(wù)于現(xiàn)實(shí)生活，讓學(xué)生在更多的背景問題中感知一次函數(shù)模型的應(yīng)用，以更好地實(shí)現(xiàn)由意義理解到自主建構(gòu)的飛躍，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，形成用數(shù)學(xué)的眼光看待世界。

本節(jié)課主要從生活中的問題情景引入，將“哪一款手機(jī)套餐資費(fèi)更合適”的實(shí)際問題抽象成一次函數(shù)的問題，引導(dǎo)學(xué)生建立一次函數(shù)模型、分析計算一次函數(shù)模型、再將這一模型拓展應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中，這樣讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用一次函數(shù)的知識和方法分析問題、解決問題的過程，幫助學(xué)生進(jìn)一步體會一次函數(shù)的模型思想，理解相關(guān)的知識與方法，豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提高建模意識和建模能力。

五、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之邏輯推理能力的培養(yǎng)

培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力是提高學(xué)生核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容。為此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該努力挖掘教材中蘊(yùn)含的邏輯推理因素，根據(jù)中學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律展開教學(xué)活動，重視培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，讓學(xué)生在自主探究過程中不斷提高自己的邏輯推理能力。

如北師大版七年級上冊綜合與實(shí)踐課《探尋神奇的幻方》中，本節(jié)課的主要目標(biāo)是要求學(xué)生借助字母表示數(shù)、探索規(guī)律揭示幾種簡單的三階幻方的本質(zhì)特征及內(nèi)在聯(lián)系。一方面，學(xué)生鞏固了有理數(shù)加法的法則和運(yùn)算律;另一方面，學(xué)生通過調(diào)試數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)思維的邏輯性。

（一）從特殊到一般的推理

教學(xué)中，教師由簡到難地設(shè)計了三個活動。

活動一：如圖1，教師給出一個特殊的三階幻方，并連續(xù)提出以下四個問題。

①把幻方中的數(shù)字按照大小排列順序后，中間位置上的數(shù)字是誰？它在幻方中的位置如何？②這個幻方的幻和是多少？幻和與幻方正中間的數(shù)字有什么關(guān)系？③請仔細(xì)觀察這個幻方的數(shù)字之間有什么關(guān)系？它們能否相互轉(zhuǎn)化？怎樣轉(zhuǎn)化？④你能否改變上述幻方中數(shù)字的位置，使它們?nèi)匀粷M足你發(fā)現(xiàn)的那些相等關(guān)系？

活動一是以問題串的形式幫助學(xué)生認(rèn)識三階幻方，讓學(xué)生通過一個特殊的幻方體會滿足幻方的數(shù)字所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律。學(xué)生通過獨(dú)立思考、組內(nèi)充分交流后、選代表分析講解，展現(xiàn)他們的思維過程。

第一組的學(xué)生代表：我們組發(fā)現(xiàn)2和8、4和6、3和7、1和9配對出現(xiàn)在5周圍，此幻方四個角上的數(shù)字是偶數(shù)，剩下的四個格的數(shù)字都是奇數(shù)，如果再按照這樣的規(guī)律將數(shù)字的位置進(jìn)行變化，依然可以構(gòu)成幻方。（如圖3）

第二組學(xué)生代表：如圖4，由于每列的和，以及每條對角線的和都是15，所以兩條對角線的和與第二列的和相加得45，其中出現(xiàn)3次，第一、三行的數(shù)均各出現(xiàn)一次，故：3x+2×15=3×15，從而x=5，后面的思路和前面的同學(xué)一致。

第三組學(xué)生代表：我們組將這9個數(shù)分別為別用a，b，c，d，e，f，g，h，i表示（如圖5），

則（a+e+i）+（b+e+h）+（c+e+g）+（d+e+f）=15×4，

即（a+b+c+d+e+f+g+h+i）+3e=60，即45+3e=60，得e=5從而確定中間的數(shù)字為5。

這樣從一個特殊的三階幻方引入，讓學(xué)生在特殊的幻方中發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含的一般規(guī)律，學(xué)生經(jīng)歷“從特殊到一般”“從具體到抽象”的歸納和抽象的過程，使學(xué)生在變化不定的特例中把握其不變的規(guī)律性，實(shí)現(xiàn)從特殊到一般的升華，在探究活動中提高學(xué)生的邏輯推理能力。

（二）從一般到特殊的推理

活動二：在圖6、圖7中，自主完成三階幻方。

活動三：請用1、4、7、10、13、16、19、22、25這九個數(shù)設(shè)計一個三階幻方。

在活動一中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了滿足幻方的數(shù)字之間所蘊(yùn)含的一般規(guī)律，再利用這種規(guī)律和方法進(jìn)行拓展應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生由一般到特殊地進(jìn)行推理，活動二和活動三，在學(xué)生構(gòu)造出幻方后，讓學(xué)生說清是如何構(gòu)造的，通過這樣的過程可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯表達(dá)能力和推理意識。以上三個活動中，教師始終關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、分析問題、解決問題等素養(yǎng)的落實(shí)和培養(yǎng)。

總之，基于核心素養(yǎng)的綜合與實(shí)踐課，教師要通過創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，設(shè)計相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動，采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法和策略，引導(dǎo)學(xué)生積極參與、獨(dú)立思考，從而內(nèi)化為自己的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)得到有效的落實(shí)。