淺談構造模型法在高中計數(shù)原理中的應用

付堯

【摘要】構造模型法是高中數(shù)學中應用最為廣泛的解題方法，通過已知的解題條件或者已知問題的答案，構建函數(shù)、方程或幾何圖像等數(shù)量關系式來解答題型的方式。高中教材中計數(shù)原理、排列、組合的題目類別繁雜多樣，解題思路也層出疊現(xiàn)，變幻莫測，而計數(shù)原理難點在于解題方式不是唯一的，使高中生遇到此類題型時常常沒有解題思路，本文主要介紹構造模型法在計數(shù)原理中的實際運用。

【關鍵詞】計數(shù)原理? 構造模型法? 解題技巧

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）49-0123-01

引言

在高中生解題過程中，通常是回憶老師所講過的內(nèi)容并對以往做過類似的題目進行分析總結，其意圖是依照以往的解題技巧來尋求方法，并以此來解答新題目。構造模型法是一種新型的解題思路模式，通過對題目的構成分析，把分析結果并入到已知的模型中，繼而對其進行模擬試驗以此解答新題目。因此在高中生學習過程中，應該加強基礎模型的結構和實際運用。

一、計數(shù)原理概述

計數(shù)原理作為數(shù)學中最為關鍵的探究內(nèi)容之一，也是實踐問題中運用性最廣泛的知識點，因自身知識點的獨特性，其答題方法和分析思路也具有特別之處，其根本計數(shù)原理分為分類加法計數(shù)原理以及分步乘法計數(shù)原理，是解答計數(shù)類題型最為基礎的理論依據(jù)，此方法也為解答現(xiàn)實問題擴寬了思路。分類加法原理，假如一個目標能夠在m種不同情形下完成，第k種情形又有nk種不同方法來完成其中k取值可以為1，2，3，…，m，那么完成這個目標就可以有M=n1+n2+n3+…+nm種方式;分步乘法原理，假如完成一個目標需要通過m個環(huán)節(jié)，第k步又能有nk種不同方法來完成其中k取值可以為1，2，3，…，m，那么完成這個目標就可以有M=n1n2n3…nm種方式。

二、構造模型法的運用

根據(jù)計數(shù)原理、排列、組合的常規(guī)解題模式進行分別論述，從而總結不同題型的解題技巧，進而為構造模型解題法提供參考依據(jù)。

（一）映射題型

例1：已知集合M={x，y，z}，N={4，5，6，7，8}，那么集合M→集合N的映射有幾種？

通常遇到這類不同單元對應的題目，學生們應從對應單元為只有單一選擇的單元為探究對象，在例題中，集合M中的單元在集合N中只有唯一一個單元與之對應，但集合N中可能有多個單元與集合M對應，因此，在解題時，選擇集合M為探討對象，其中x有5種選擇，y有5種選擇，z也有5種選擇，故此集合M到集合N有5×5×5=125種映射。

構造題型：集合M有x個單元，集合N有k個單元，那么集合M→集合N有k種映射。

運用模型：6名學生要去參加跑步、跳高、跳繩、游泳活動，每人僅限一項，問不同的參加方式有幾種？

答：4種。

（二）抽取正次品、抓球題型

例2：200件同規(guī)格物品中，180件正品，20件次品，現(xiàn)在任意抽取5件，問抽到3件次品的概率是多少？

通過題意可知抽出的5件物品中正品數(shù)是2件，次品數(shù)是3件，在180件中取出2件正品以及在20件中取出3件次品的抽法共有CC種選擇，而總抽法有C種選擇，因此抽出5件物品中有3件次品的概率為N=CC/C。

構造題型：在x+y個不同的單元中，x個單元中有同屬性產(chǎn)品M（比如顏色、正次品等），y個單元中同屬性產(chǎn)品N（比如顏色、正次品等），在x+y中所及抽出z個單元，那么抽取的z個單元中恰好有k個同屬性產(chǎn)品M的單元的抽出方式有CC種方式。

運用模型：抽獎箱中有10個籃球和8個紅球，隨機抓出4個球，問恰好有2個籃球的概率？

答：恰好有2個籃球的概率為N=CC/C。

（三）分配類題型

例3：50個先進個人稱號頒發(fā)給6個班組，每組最少2個，問有多少種頒發(fā)方法？

計數(shù)原理題型中同種單元的分配問題通常是比較空洞且難以理清題意，在解答這種題目時，可利用擋板模型來解答，既50個木塊有49個間隔（不計兩頭），需要5個擋板放入49個間隙中，故50個木塊可分成6組，一一對應6個班組，每組對應的木塊數(shù)即頒發(fā)的個數(shù)，因此共有C種頒發(fā)方法。

構造題型：x中同性質(zhì)的單元分配給y個人，每人最少一個單元，那么共有C種分配方法。

運用模型：求解方程x+y+z=20有多少組自然數(shù)的解？

答：有C組解。

（四）子集、并集題型

例4：已知集合M={4，5，6，7}，求解集合M的子集N有多少個？

根據(jù)題意可知，集合M中的所有單元組成，只有兩種形式，即為屬于N或不屬于N，故此M的子集個數(shù)為2×2×2×2=2個。

構造題型：子集個數(shù)問題，關于任何一個k個單元的集合M={x1，x2，x3，…，xk}，子集個數(shù)為2k。并集個數(shù)問題，已知集合MUN={x1，x2，x3，…，xk}，那么符合要求的M，N集合有多少組？利用幾何圖形，由圖1可知，MUN可劃分為三個范圍，因此MUN={x1，x2，x3，…，xk}中的任何一個單元x都有3種方式，即有3組符合M，N要求。

運用模型：已知MUN={4，5，6}，那么符合要求的M，N集合有多少組？

答：符合要求的有3組。

結合上述幾種題型的分析可以得出，構造模型法既是將題目中共有的信息通過對比、分析總結，使問題由難到簡，然后把問題轉(zhuǎn)變成另一種形式來解答。

結束語

構造模型法對于計數(shù)原理的運用主要在于構建題型和運用模型，使高中生在解題時通過老師給出的模型進行題目的模仿和構造，可有效增加學生的創(chuàng)造性和解題技能。因此，教師在授課過程中，應加強學生構造模型法的鍛煉，將學生的構造模仿能力得到進一步的提升。

參考文獻：

[1]展丙軍，高云偉.巧用構造模型法證明不等式[J].大慶師范學院學報，2009（06）：63-64.

[2]尤秀英.構造數(shù)學模型 優(yōu)化思維素質(zhì)[J].廣東機械學院學報，1995（S1）：41-46.

[3]許尚雄.淺談構造模型法在高中計數(shù)原理中的應用[J]. 福建中學數(shù)學，2014（Z1）：80-82.

[4]魏士功.用構造模型法解決數(shù)學問題[J].山東教育學院學報，1998（04）：101-102.

[5]許忠文.構造模型解題的探索[J].丹東紡專學報，2001（02）：51-52.