醫(yī)治解題之“病癥”

張莉

【摘要】中醫(yī)診斷尚有“望聞問(wèn)切”四種基本方法，數(shù)學(xué)題目靈活多變，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是解題，若把問(wèn)題看作病癥，怎么醫(yī)治？筆者認(rèn)為波利亞提出的解題四步驟，就是解題人的“望聞問(wèn)切”。

【關(guān)鍵詞】“病癥”? 解題為核心? 波利亞的解題理論

【中圖分類(lèi)號(hào)】G634.55 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）50-0236-01

相信每一位教學(xué)工作者，在考試結(jié)束之后，聽(tīng)到學(xué)生抱怨較多的是以下幾個(gè)理由：某道題沒(méi)有看懂題意，不會(huì);某道題課堂上老師講過(guò)類(lèi)似的，但是我就是想不起來(lái)怎么做了;某道題考試時(shí)我和答案上想的一樣，因?yàn)槲业牟淮_定解法的正誤，就沒(méi)有解答;某道題我會(huì)的，只是計(jì)算錯(cuò)啦;等等。筆者發(fā)現(xiàn)，在歷屆學(xué)生的反饋中都有類(lèi)似問(wèn)題，而教師大部分都會(huì)以基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)，落實(shí)不到位，知識(shí)系統(tǒng)不完善等理由給學(xué)生分析問(wèn)題。直到筆者學(xué)習(xí)了波利亞的解題四步驟理論，才發(fā)現(xiàn)給學(xué)生們分析的原因分明就是隔靴撓癢。以上學(xué)生們的種種抱怨，分明就是解題中的不同病癥，而解題四步驟就是良藥。下面簡(jiǎn)單介紹波利亞的解題四步驟方法。

一、波利亞的解題理論

波利亞的解題四步驟，就是明確如何審題。對(duì)于解題的先后順序以及每一步的都有提示性的操作方法，使解題工作有法可依。

第一步，理解題目

提示性問(wèn)題：未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？條件有可能滿(mǎn)足嗎？條件是否足以確定未知量？

第二步，擬定方案——找出已知數(shù)據(jù)和未知量之間的聯(lián)系

提示性問(wèn)題：你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？或者你見(jiàn)過(guò)同樣的題目以一種稍有不同的形式出現(xiàn)嗎？你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？這里有一道和你的題目有關(guān)而且以前解過(guò)。你能利用它嗎？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了有可能應(yīng)用它，你是否應(yīng)該引入某個(gè)輔助元素？你能重新敘述這道題目嗎？你還能以不同的方式敘述它嗎？

第三步，執(zhí)行方案

執(zhí)行你的解題方案，檢查每一個(gè)步驟。你能清楚的看出這個(gè)步驟是正確的嗎？

第四步，回顧

提示性問(wèn)題：你能檢查這個(gè)結(jié)果嗎？你能檢驗(yàn)這個(gè)論證嗎？ 筆者認(rèn)為，解題過(guò)程是一種心智技能。按照加里培林的心智動(dòng)作形成階段理論，需經(jīng)過(guò)五個(gè)階段：動(dòng)作的定向階段;物質(zhì)與物質(zhì)化階段;出聲的外部語(yǔ)言動(dòng)作階段，不出聲的外部語(yǔ)言動(dòng)作階段;內(nèi)部言語(yǔ)動(dòng)作階段。而波利亞的解題四步驟就是教師教授學(xué)生解題的“出聲的外部語(yǔ)言動(dòng)作階段”，通過(guò)四步驟，就把數(shù)學(xué)解題轉(zhuǎn)化為“內(nèi)部言語(yǔ)動(dòng)作”，最后使數(shù)學(xué)解題成為“訓(xùn)練學(xué)生思維的體操”。大部分學(xué)生在解題過(guò)程中面臨的主要矛盾是，有相關(guān)的知識(shí)，或許是豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，但是就是不知道如何用來(lái)解一道相關(guān)的問(wèn)題，不知道怎么切入。波利亞的解題四步驟就如中醫(yī)療法的“望聞問(wèn)切”，為解題提供了一條陽(yáng)光大道。

下文結(jié)合高中數(shù)學(xué)的一道題來(lái)介紹波利亞的解題四步驟，分析方法，供讀者參考，研究。

已知曲線(xiàn)y=■x3+■，求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（2，4）的切線(xiàn)方程。

二、解題四步驟

步驟1：理解題目

依次從以下三個(gè)方面來(lái)分析問(wèn)題：

（1）未知量是什么？? ?求切線(xiàn)方程。

（2）已知數(shù)據(jù)是什么？? ?曲線(xiàn)方程，點(diǎn)P坐標(biāo)。

（3）條件是什么？? ?曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P。

通過(guò)三個(gè)問(wèn)題，用簡(jiǎn)潔，可操作的思維活動(dòng)幫助學(xué)生快速熟悉問(wèn)題，理解題意。

步驟2：擬定方案? ?就是找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系

就本道題而言，引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)思考兩個(gè)問(wèn)題：

（1）曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，如何求？

分析：曲線(xiàn)方程是三次的，進(jìn)一步思考，以前你解過(guò)求三次曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)嗎？這是一道課堂常規(guī)題：確定切點(diǎn)，求導(dǎo)得斜率，點(diǎn)斜式。

（2）過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)方程，什么意思？

分析：找關(guān)鍵詞，“過(guò)點(diǎn)P”.應(yīng)理解為：點(diǎn)P可能是切點(diǎn)。故應(yīng)先判斷是切點(diǎn)嗎？若是怎么求？若不是，怎么求？

通過(guò)分析不難發(fā)現(xiàn)，在找已知數(shù)據(jù)與未知量聯(lián)系的過(guò)程中，你或許考慮的是一道與它相關(guān)的輔助題目，或應(yīng)用輔助題目的解題方法，或者是結(jié)論來(lái)分析此題。最終你應(yīng)該得到一個(gè)使自己信服的解決方案。由于是從不同的方面分析問(wèn)題，也促使你關(guān)注問(wèn)題的細(xì)節(jié)，思維更嚴(yán)謹(jǐn)。

步驟3：執(zhí)行方案

解∵顯然點(diǎn)P（2，4）恰在曲線(xiàn)上，且f'（x）=x2

由題意，以下對(duì)點(diǎn)P是不是切點(diǎn)分類(lèi)討論

（1）若點(diǎn)P是切點(diǎn)，則斜率k=f '（2）=4

則切線(xiàn)方程為：y-4=f '（2）（x-2）

即：4x-y-4=0

（2）若點(diǎn)P不是切點(diǎn)，可設(shè)切點(diǎn)為P0（x0，y0），則x0≠2.

y-y0=f '（x0）（x-x0），又點(diǎn)P在切線(xiàn)上

故4-y0=f '（x0）（2-x0）

從而4-（x03+）=x02（2-x0）

解得x0=-1，x0=2（舍）

切線(xiàn)方程為：x-y-2=0

綜上，切線(xiàn)方程為：4x-y-4=0;或x-y-2=0

步驟4：回顧? ?檢查你的解答，使你的思路更清晰，簡(jiǎn)潔。

就本例題而言，通過(guò)回顧就能解決學(xué)生可能出現(xiàn)的計(jì)算錯(cuò)誤。把點(diǎn)帶入所求方程驗(yàn)證。也更進(jìn)一步完善學(xué)生知識(shí)體系中求切線(xiàn)方程的問(wèn)題，進(jìn)而通過(guò)一道問(wèn)題，擴(kuò)充到一類(lèi)問(wèn)題。

三、一些感悟

波利亞的解題四步驟，看似解決了一道問(wèn)題，而是剖析題目的實(shí)質(zhì)，通過(guò)相似問(wèn)題間的辨析，找細(xì)微差異，進(jìn)而理解了一類(lèi)問(wèn)題，事半功倍。由于不同層次的學(xué)生，在知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中有不同的差異，教師在教授的過(guò)程中，針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題，就能進(jìn)行行之有效的幫助，達(dá)到分層教學(xué)的目的。當(dāng)然，學(xué)生通過(guò)潛移默化，也能根據(jù)自我情況，從不同的側(cè)面不同的層次進(jìn)行解題訓(xùn)練，形成有效的學(xué)習(xí)方法。對(duì)于學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力，進(jìn)而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣是行之有效的，進(jìn)而完成高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的要求。

參考文獻(xiàn)：

[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》

[2]G﹒波利亞.馮承天譯.怎樣解題[M].上?？萍冀逃霭嫔?，2011.