巧借定義妙轉(zhuǎn)化，多種思維齊突破
——2019年全國(guó)卷Ⅰ理第19題

江蘇省寶應(yīng)縣曹甸高級(jí)中學(xué) 李兆江

直線與拋物線的位置關(guān)系是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中最特殊的一種情況，是解析幾何中綜合性較強(qiáng)、能力要求較高的內(nèi)容之一，成為每年高考的考查重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一，備受命題者青睞.2019年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第19題，就是以熟悉的問(wèn)題背景，常規(guī)的破解方法來(lái)設(shè)置問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)直線與拋物線的位置關(guān)系的理解與掌握情況，涉及相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)與能力要求.

一、真題在線

【高考真題】（2019年全國(guó)卷Ⅰ理19）已知拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.

（Ⅰ）若｜AF｜+｜BF｜=4，求l的方程；

本題以拋物線為問(wèn)題背景，通過(guò)直線與拋物線的位置關(guān)系來(lái)展開(kāi)，結(jié)合已知斜率的直線l與拋物線C及x軸的交點(diǎn)，借助已知條件中線段和｜AF｜+｜BF｜=4，以及平面向量的線性關(guān)系分別來(lái)求解直線l的方程與線段AB的長(zhǎng)度問(wèn)題，場(chǎng)景熟知，切入容易，難度適中，破解方法多樣.

二、真題解析

解析：（Ⅰ）方法1：（官方標(biāo)答——定義轉(zhuǎn)化法）

可得9x2+12（t-1）x+4t2=0.

點(diǎn)評(píng)：與拋物線的焦點(diǎn)弦有關(guān)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，經(jīng)?？紤]應(yīng)用拋物線的定義來(lái)轉(zhuǎn)化與求解.通過(guò)利用拋物線的定義｜AF｜+｜BF｜=x1+x2+p，并結(jié)合已知條件確定x1+x2的值，為聯(lián)立直線與拋物線方程的函數(shù)與方程思維的應(yīng)用起到化歸與轉(zhuǎn)化的目的.定義法處理拋物線問(wèn)題或?qū)?yīng)的圓錐曲線問(wèn)題，是破解圓錐曲線問(wèn)題中最為常見(jiàn)的思維方式之一.

方法2：（拋物線性質(zhì)法）

設(shè)A（3a2，3a），B（3b2，3b）.

點(diǎn)評(píng)：與直線的斜率有關(guān)的問(wèn)題經(jīng)常借助點(diǎn)的坐標(biāo)的設(shè)置，并利用直線的斜率公式加以轉(zhuǎn)化.而巧妙設(shè)出A（3a2，3a），B（3b2，3b），利用直線的斜率公式與拋物線的定義分別確定a+b與a2+b2的值，利用拋物線的性質(zhì)確定直線AB的橫截距，為進(jìn)一步確定直線l的方程指明方向.此種破解方法比較特殊，要巧妙借助直線AB的橫截距公式來(lái)處理.

（Ⅱ）方法1：（官方標(biāo)答——坐標(biāo)法1）

從而-3y2+y2=2，故y2=-1，y1=3.

點(diǎn)評(píng)：巧妙借助平面向量的線性關(guān)系得到y(tǒng)1=-3y2，同時(shí)借助直線與拋物線方程聯(lián)立，消去參數(shù)x得到關(guān)于y的一元二次方程，為進(jìn)一步利用韋達(dá)定理與關(guān)系式y(tǒng)1=-3y2的聯(lián)系進(jìn)行有效鏈接，從而破解兩點(diǎn)的坐標(biāo)再求解線段的長(zhǎng)度.在聯(lián)立方程過(guò)程中的消參，要有針對(duì)性，要結(jié)合題目條件加以合理選取，這樣可以有效簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高解題效率.

方法2：（解方程組法）

可得9x2+12（t-1）x+4t2=0.

點(diǎn)評(píng)：本方法是官方標(biāo)答（Ⅰ）中的方法1的延續(xù)，借助直線與拋物線方程的聯(lián)立，消去參數(shù)y得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而確定x1+x2與x1x2的關(guān)系式，再借助平面向量的線性關(guān)系可得y1=-3y2，利用直線的方程得到x1與x2的第三個(gè)關(guān)系式，通過(guò)求解方程組法確定對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解線段的長(zhǎng)度.

方法3：（坐標(biāo)法2）

設(shè)A（3a2，3a），B（3b2，3b），由可得3a=-3·3b，即a=-3b.

點(diǎn)評(píng)：借助拋物線的基本性質(zhì)，與問(wèn)題（Ⅰ）中的方法2相對(duì)應(yīng)，在其基礎(chǔ)上得到并利用已知條件，巧妙借助平面向量的線性關(guān)系得到a=-3b，從而聯(lián)立二元一次方程組來(lái)分別確定a、b的值，并結(jié)合點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，借助兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求解線段的長(zhǎng)度問(wèn)題.

方法4：（參數(shù)方程法）

三、規(guī)律總結(jié)

直線和拋物線的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，是以拋物線為載體，涉及諸如數(shù)（式）與形、形與形、數(shù)（式）與數(shù)（式）等轉(zhuǎn)化關(guān)系，經(jīng)常還綜合平面向量、三角函數(shù)、不等式等相關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、邏輯推理能力、綜合分析能力和一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，一直是高考的重點(diǎn)問(wèn)題，而且常常以綜合題的形式出現(xiàn)，一般為中檔題和難題，在學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)的過(guò)程中要加以全面重視與重點(diǎn)突破.F