淺論數(shù)學課堂教學中的“數(shù)學敏感性”

南京市江寧高級中學 李中華

課堂教學是學校教學的主要呈現(xiàn)形式，學生的學習與思維的形成主要是在課堂上形成的.學生素養(yǎng)的高低取決于課堂教學的設計與教師的引領.培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)是數(shù)學教學的重中之重，而培養(yǎng)學生學習過程中的“數(shù)學敏感性”是首先要解決的問題.

敏感性是指在存在電磁騷擾的情況下，裝置、設備或系統(tǒng)不能避免性能降低的能力；敏感性高，則抗干擾性低.敏感性（sensitivity）是約瑟夫奈和基歐漢在《權利與相互依賴》一書中創(chuàng)造的一個用于分析國際政治的概念，它是指依賴效應的大小與快慢，用來描述體系中某個部分的變化會在多短的時間內(nèi)導致其他部分也發(fā)生變化的指標.在性格上可認為是過度地在意細節(jié)帶來的感受和變動并善于將之放大，然后做出相應的反應.因此“數(shù)學的敏感性”，我們可以定義為學生在學習數(shù)學的過程中，數(shù)學的構成元素文字語言、符號語言、圖形語言、數(shù)學語言等對學生觀察力、思維力、聯(lián)想力、注意力等產(chǎn)生突發(fā)性影響的學習性變化和探索性變化.學習數(shù)學重在發(fā)現(xiàn)與思考聯(lián)想，“數(shù)學的敏感性”對培養(yǎng)這種能力至關重要.

一、在課堂教學中重視數(shù)學語言與符號的“敏感性”教學

數(shù)學學科獨有的描述形式是這一學科的顯著特點，往往在文字或符號上顯示出思維的邏輯性與關聯(lián)性.比如高中數(shù)學中“恒成立”和“存在性”問題的判別，在教學中這兩者往往是聯(lián)系在一起講解的，學生也可以對比理解這兩種知識的原理.如：

2.設F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，若存在點P使得求橢圓的離心率的取值范圍

這兩道題在教學中學生理解有很大的思維障礙.

第1題：設P（x，y）是雙曲線上異于A，B的點，A（-a，0），B（a，0），因為直線PA，PB的斜率之積為2，所以kAP·kBP=2，得，整理得y2=2x2-2a2.在得到這個數(shù)學式子后絕大多數(shù)學生想到的是與雙曲線方程聯(lián)立求解，我們可以消去變量y，得到（b2-2a2）x2=a2b2-2a4，有的學生注意到了（b2-2a2）x2=a2b2-2a4=a2（b2-2a2），就把兩側的b2-2a2消掉了，得出了矛盾性的結論x2=a2（P為雙曲線上異于A，B的點），由此學生思維陷于停頓.那么學生的思維怎樣出現(xiàn)的這種狀態(tài)呢？這是由于在兩個數(shù)學知識點上“數(shù)學文字不敏感”與“數(shù)學符號不敏感”產(chǎn)生了錯誤的解法.首先（b2-2a2）x2=a2b2-2a4=a2（b2-2a2），方程兩側是不能直接消掉b2-2a2，要考慮這個式子能不能為零的情況，b2-2a2是“不確定的量”，字母本身含有“不確定性”，學生對字母表示的數(shù)學式子總是遺忘這種“不確定性”.再就是題目中“P為雙曲線上異于A，B的點”這句話，表面平淡無奇，但“點P”具備“任意性”，只要不同于A，B兩點，隨你在雙曲線上怎么取點，如果學生注意到了語言中暗含的這種特點，那么解題的思路方法便會豁然開朗.

方法三：學生在閱讀題目時，還是在對“點P”位置能不能“敏感”一些，這個點具有普遍性，也就是“任意性”，轉化為（b2-2a2）x2=a2b2-2a4=a2（b2-2a2）對任意x（x≠±a）恒成立，那么問題也就明朗了，只需b2-2a2=0，進而求出離心率.

以上兩題對學生都有不小的難度，兩題非常相似，但題目的轉化處理不一樣，學生對相關的文字與符號沒有數(shù)學的“敏感性”是很難找到正確的解法的.

二、在課堂教學中重視數(shù)學圖形的“敏感性”教學.

在數(shù)學教學中，常常會出現(xiàn)相關的數(shù)學圖形，圖形所反映出的數(shù)學特征多數(shù)情況下是解題的突破口，如橢圓教學中，常出現(xiàn)的一種圖形是：

圖1

如圖1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，過橢圓的右焦點作直線AB，若直線AB的傾斜角為θ，要求把焦半徑AF2，BF2表示成θ的函數(shù).在這個問題中，基本上學生是設直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立求A，B點的坐標，但在解題過程中發(fā)現(xiàn)這個方法太煩瑣了.出現(xiàn)這種想法的原因在于學生對橢圓圖形的“不敏感”，橢圓的圖形中涉及了一個焦點的弦，它的敏感觸點在于橢圓的定義，或者焦點是兩個，屬于“難兄難弟關系”，一個被用到，你卻不關注另一個，這本身就是一種忽視，是一種對“數(shù)學關系自然關聯(lián)”的不敏感，連接AF1，BF1后，出現(xiàn)了兩個焦點△AF1F2，△BF1F2，分別在△AF1F2，△BF1F2內(nèi)，應用余弦定理可以建立焦半徑與a，b，c，θ的聯(lián)系.

即（2a-|AF2|）2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|×|F1F2|×cos（π-θ）.

所以4a2-4a×|AF2|=4c2+2|AF2|×2c×cosθ.所以a2-c2=a×|AF2|+|AF2|×c×cosθ.

可得到b2=|AF2|×（a+ccosθ），即.同理可得

進而有焦點弦長公式：

應用此結論解答2019年全國卷第10題：

例題（2019年全國卷）已知橢圓C的焦點為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），過F2的直線與C交于A，B兩點.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為（ ）.

解析：由|AF2|＝2|F2B|，得所以a=-3cosθ.

由于|AF2|＝2|F2B|是兩個焦半徑，應該聯(lián)想到橢圓定義的應用.

設|F2B|=m，可得|AF2|=2m，|AF1|=2a-2m，|BF1|=2a-m，|AB|=|AF2|+|BF2|=3m.

因為|AB|＝|BF1|，所以2a-m=3m.所以

在這里如果學生對數(shù)值“敏感”，可以立即由|AF2|=2m=a判斷出點A就是橢圓短軸的一個端點，從而修改自己畫的不準確的圖形（如圖2）.

圖2

在三角形AOF2中，cosθ=，所以得a2=3.又c=1，所以b2=2，即橢圓C的方程是.故選B.

當然此題還有其他解法.比如題目中的條件|AF2|＝2|F2B|，如果學生對線段長之間的數(shù)量關系也“敏感”一些的話，這個“敏感”應是“線段長成比例”的認識，線段長成比例問題，在坐標系中往往作坐標軸的垂線，構造出其他線段長的比例問題，繼而找出點的坐標，在本題中可過點B向x軸作垂線，根據(jù)比例求出點B的坐標為代入橢圓方程可求a2，b2.

數(shù)學教學對學生的思維能力的培養(yǎng)至關重要，但課堂中學生的思維意識是多角度和發(fā)散的，教師培養(yǎng)學生對數(shù)學知識點的“敏感性”就相當于我們在陌生的路途中建立起行走的“標識”，當我們再一次遇到這個“標識”，我們要有遇到“故知”的“敏感”，這種“敏感性”是對數(shù)學語言與符號、圖形的“辨識”，或者說是一種“意識的行為本能”，當學生在學習中建立起這種“敏感性”，那么學生的思維能力會有巨大的突破，教師在數(shù)學教學中引領學生建立起數(shù)學知識中的這種“敏感性”是數(shù)學課堂的核心.W