尋根究源，還原本“意”
——一道圓錐曲線試題的命題背景探索

江蘇省海門中學(xué) 李乃洋

圓錐曲線問題在高考或者競賽初賽試題中出現(xiàn)頻率較高，究其原因是其豐富的幾何特性與其解法的無窮魅力.在解決問題時(shí)，有時(shí)我們還需更多思考命題者的命題源頭或者背景是什么，往往在一番探索之后，會(huì)對圓錐曲線理解更深一層.最近筆者在解決一道數(shù)學(xué)初賽試題時(shí)，嘗試思考出題人出于何種命題的“依據(jù)”，于是帶著這個(gè)思考做了如下探索.

一、試題呈現(xiàn)

二、解法探究

方案一：利用直線的參數(shù)方程簡化計(jì)算.

解法1：因?yàn)榻裹c(diǎn)F（c，0），設(shè)直線l的傾斜角為α，則直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），且A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將直線的參數(shù)方程代入雙曲線的方程得：

化簡為（c2cos2α-a2）t2+（2b2ccosα）t+b4=0，

因?yàn)椋麿F｜｜AB｜=｜FA｜｜FB｜，所以c｜t1-t2｜=｜t1｜t2｜，將上述結(jié)果代入化簡得2ac=b2，依據(jù)雙曲線中b2=c2-a2，可知e2-2e-1=0，又e＞1，所以e=

方案二：利用雙曲線的極坐標(biāo)方程簡化計(jì)算.

解法2：以雙曲線的右焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸建立極坐標(biāo)系，則雙曲線的右支方程為（ρ＞0），左支方程為，其中p為該焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離（焦準(zhǔn)距）.如下圖（考慮兩種情形）

圖1-1

圖1-2

（1）在圖1-1中，交點(diǎn)位于右側(cè)同支，設(shè)點(diǎn)A（ρ，θ），則

（2）在圖1-2中，如果交點(diǎn)位于兩側(cè)不同支，如交點(diǎn)A在右支，而B在左支，則（此時(shí)e2cosθ2＞1）.

代入｜OF｜｜AB｜=｜FA｜｜FB｜得：

以下同解法1，結(jié)果可知e2-2e-1=0，又e＞1，所以e=

解法反思：上述解法均是建立在圓錐曲線中焦半徑不同表示方式基礎(chǔ)之上，依據(jù)圓錐曲線第二定義（統(tǒng)一定義）解題.試題中條件“|OF|·|AB|=|FA|·|FB|”包含了焦半徑｜FA｜，｜FB｜，以及焦點(diǎn)弦長｜AB｜和半焦距｜OF｜這些幾何量，探究其與曲線離心率e的數(shù)量關(guān)系，自然讓我們思考試題命制的背景是什么？

三、試題背景

事實(shí)上，對于等式｜OF｜AB｜=｜FA｜｜FB｜做一變形，即｜OF｜·（｜FA｜+｜FB｜）=｜FA｜·｜FB｜可得而對于表達(dá)式，其含義我們熟悉表示圓錐曲線共線焦半徑的倒數(shù)和，通常其和為定值為焦準(zhǔn)距，e為離心率），于是我們以拋物線為例論證其關(guān)系（焦點(diǎn)在x正半軸，如圖2）.

圖2

結(jié)論1：已知拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x正半軸上，過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，則

類比拋物線，我們也可以得到橢圓中結(jié)論.

（證明略）

一般在圓錐曲線中，很多性質(zhì)具有統(tǒng)一性，自然思考上述結(jié)論在雙曲線中是否成立？在解法2中，事實(shí)上我們已經(jīng)得到如下兩種情形：

比較三種圓錐曲線上述結(jié)論形式，我們一定思考，如何將具有和諧統(tǒng)一的圓錐曲線結(jié)論統(tǒng)一，于是從產(chǎn)生異化的雙曲線入手，其實(shí)，但是要考慮拋物線的離心率e=1，故我們可以把上述關(guān)系再整理，得到

定理：已知焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線（中心在坐標(biāo)原點(diǎn)），過x正半軸上的焦點(diǎn)F的直線l與曲線交于不同兩點(diǎn)A，B，焦準(zhǔn)距為p，離心率為e，則焦點(diǎn)弦長｜AB｜與焦半徑 ｜FA｜，｜FB｜滿足關(guān)系

由上述定理，不難發(fā)現(xiàn)開頭這道試題的命題背景即為探索圓錐曲線中焦點(diǎn)弦與焦半徑之間的關(guān)系，利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義我們可以有多種解法，但基于雙曲線的兩支情形，需要關(guān)注焦點(diǎn)弦的特殊性，在文1等文獻(xiàn)中，都出現(xiàn)了在圓錐曲線中這種定值結(jié)論，但對于雙曲線來說，過焦點(diǎn)的直線形成的兩個(gè)焦半徑倒數(shù)和是不確定的（只有焦點(diǎn)F內(nèi)分線段AB時(shí)，結(jié)論正確）.基于上述分析，再結(jié)合極坐標(biāo)方程，我們?nèi)菀椎玫饺缦峦普?

推論1：已知焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線（中心在坐標(biāo)原點(diǎn)），過x正半軸上的焦點(diǎn)F的直線l與曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，圓錐曲線的離心率為e，焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線距離為p.若直線的傾斜角為θ，則焦點(diǎn)弦長公式為｜AB｜=

推論2：已知焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線（中心在坐標(biāo)原點(diǎn)），過x正半軸上的焦點(diǎn)F的直線l與曲線交于不同兩點(diǎn)A，B，圓錐曲線的離心率為e，焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線距離為p.若則焦點(diǎn)弦長公式為

且由圓錐曲線極坐標(biāo)公式（雙曲線兩支符號不同），可得，推論1得證.

四、結(jié)束語

通過對一道試題的探究，我們發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線中一共性性質(zhì)，并通過解法探究及結(jié)論的論證，進(jìn)一步理解解析幾何的核心“用代數(shù)的方法研究幾何問題”，這正是我們解決問題需要掌握的策略，也是命題者更深的用“意”.數(shù)學(xué)家哈爾斯說過“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，在平時(shí)解題中我們要養(yǎng)成“提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，解決問題”的研究手段，提升讀懂、理解數(shù)學(xué)命題的能力.