淺議高中生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

紀(jì)暉

【摘要】作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的一個(gè)基本方面，“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及發(fā)展尤其重要，因?yàn)榫邆淞己玫倪\(yùn)算素養(yǎng)是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性條件.向量的數(shù)量積運(yùn)算作為一種含有方向因素的特殊運(yùn)算，一方面，對(duì)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的要求較高;另一方面，也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的良好載體.文章以之為例探討了在實(shí)際教學(xué)中如何兼顧學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)，希望對(duì)相關(guān)教學(xué)工作者有所助益.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);高中數(shù)學(xué);向量數(shù)量積;教學(xué)實(shí)踐

核心素養(yǎng)是新一輪課程改革的亮點(diǎn)之一.作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的一個(gè)基本方面，“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及發(fā)展尤其重要，因?yàn)榫邆淞己玫倪\(yùn)算素養(yǎng)是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性條件，正如新課標(biāo)中所明確指出的，“數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式”，“是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段”.而向量的數(shù)量積運(yùn)算作為一種含有方向因素的特殊運(yùn)算，一方面，對(duì)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的要求較高;另一方面，也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的良好載體.這也是本文以之作為案例的原因所在.以下擬對(duì)此展開(kāi)具體而較為細(xì)致的探討，希望對(duì)相關(guān)教學(xué)工作者有所助益.

一、切實(shí)明晰概念，奠定良好基礎(chǔ)

按照課標(biāo)中的闡述，核心素養(yǎng)的本質(zhì)是“必備品格和關(guān)鍵能力”，其養(yǎng)成無(wú)疑離不開(kāi)大量的運(yùn)算訓(xùn)練.而實(shí)施運(yùn)算活動(dòng)的基礎(chǔ)無(wú)疑是對(duì)相關(guān)運(yùn)算量概念的切實(shí)理解.由于向量數(shù)量積的運(yùn)算是一種設(shè)計(jì)方向和角度的特殊運(yùn)算，且較為抽象，更對(duì)學(xué)生的空間想象能力有一定要求，因而，概念的切實(shí)明晰就更顯得至關(guān)重要.在實(shí)際教學(xué)中，筆者是通過(guò)提出問(wèn)題的方式引導(dǎo)學(xué)生思考、理解概念中隱含的要點(diǎn)，從而使其最終切實(shí)掌握概念.具體來(lái)說(shuō)，在引出定義的基本描述后，首先提出如下兩個(gè)問(wèn)題：“① 定義中兩個(gè)非零向量的夾角的范圍？② 向量數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算有何區(qū)別？向量數(shù)量積大小的影響因素有哪些？”學(xué)生搞清了這兩個(gè)問(wèn)題，也就掌握了定義的基本要點(diǎn).然后則是在此基礎(chǔ)上理解投影的含義以及向量數(shù)量積的幾何意義，對(duì)此，在用多媒體直觀展示的同時(shí)提出如下問(wèn)題：“① 向量數(shù)量積和投影均為數(shù)量，其何時(shí)為正，何時(shí)為負(fù)，是否可能為零？② 數(shù)量積a·b與b在a方向上的投影有何種關(guān)系？③ 在理解投影含義的基礎(chǔ)上敘述向量積的幾何意義.”可以看出，學(xué)生回答出以上問(wèn)題后，對(duì)向量數(shù)量積的概念、要點(diǎn)及相關(guān)的需要注意的地方也就掌握得比較到位，從而為鍛煉核心素養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

二、探究數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律

掌握概念后，下一步就是學(xué)習(xí)向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律.在這一環(huán)節(jié)中筆者仍是采取提出問(wèn)題讓學(xué)生自主探究的方式，這主要是為了使學(xué)生充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性，在自主性的思考和探索過(guò)程中深入理解知識(shí)點(diǎn)并掌握其本質(zhì)，從而留下深刻印象并快速實(shí)現(xiàn)知識(shí)內(nèi)化，為核心素養(yǎng)的提升提供有利條件.該環(huán)節(jié)中提出的第一個(gè)問(wèn)題側(cè)重基礎(chǔ)性：“① a⊥b的充分必要條件是？② a與b方向相同，則a·b=？方向相反時(shí)呢？③ a·a=？或|a|=？④ cosθ=？⑤|a·a|≤|a||b|，何時(shí)取等號(hào)？”在學(xué)生回答上述問(wèn)題后即引出運(yùn)算律：“大家知道實(shí)數(shù)乘法滿足交換率、結(jié)合律、分配率，那么類比于此，向量數(shù)量積的計(jì)算滿足什么樣的運(yùn)算律呢？請(qǐng)結(jié)合剛才所掌握的知識(shí)自主推導(dǎo)出以下式子：a·b=b·a;（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）;（a+a）·c=a·c+b·c.”三個(gè)式子中第一個(gè)很簡(jiǎn)單，多數(shù)學(xué)生可以完成;第二個(gè)，如果按照數(shù)量積的定義展開(kāi)會(huì)出現(xiàn)困難，因而，筆者更給了適當(dāng)?shù)奶崾荆悍枝?0和λ<0兩種情況進(jìn)行證明;第三個(gè)式子的證明難度較大，由筆者帶領(lǐng)學(xué)生一起完成.

三、運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決具體問(wèn)題

核心素養(yǎng)的養(yǎng)成需要經(jīng)歷由知識(shí)向能力、由能力向素養(yǎng)的轉(zhuǎn)化過(guò)程，這一過(guò)程的實(shí)現(xiàn)離不開(kāi)對(duì)知識(shí)的具體運(yùn)用，即運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決具體問(wèn)題，正所謂實(shí)踐出真知，只有在用和練的過(guò)程中學(xué)生才能產(chǎn)生深刻感悟，獲得質(zhì)的提升，最終形成素養(yǎng).在實(shí)際的課堂教學(xué)中，教學(xué)要選取典型習(xí)題讓學(xué)生“趁熱打鐵”，及時(shí)鞏固強(qiáng)化，同時(shí)查漏補(bǔ)缺，并布置一定量的針對(duì)性訓(xùn)練.在本文案例中，筆者對(duì)教材中的例題進(jìn)行了補(bǔ)充和變式，出示了以下三道習(xí)題供學(xué)生練習(xí)：① （a+3b）·（2a-b）=？（a+2b）·（a-3b）=？② 已知|a|=6，|b|=4，（a+2b）·（a-3b）=-72，則a與b的夾角是多少？③ 已知向量a與b的夾角為45°，|a|=2，|b|=1，當(dāng)向量λa+b與a+λb的夾角為銳角時(shí)，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是多少？大體而言，這三道題難度逐漸加深，目的是既保證學(xué)生鞏固和強(qiáng)化對(duì)數(shù)量積概念的理解和運(yùn)算律的應(yīng)用，達(dá)到課標(biāo)基本要求，為后面知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，也為學(xué)生提供一定的拓展空間，促進(jìn)其數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展，取得了較好的習(xí)題效果.

綜上所述，本文結(jié)合筆者教學(xué)實(shí)踐以向量數(shù)量積的教學(xué)為例，探討了在實(shí)際教學(xué)中如何兼顧學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng).事實(shí)上，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)自引起人們關(guān)注以來(lái)，就是一個(gè)深廣兼具的研究課題，需要一線教師在教學(xué)實(shí)踐中不斷積極探索和深入總結(jié).本文拋磚引玉，尚盼有識(shí)者指教.

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