一元二次方程的多種應(yīng)用探析

江蘇省連云港市海州實驗中學(xué) 丁 波

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，為適應(yīng)人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用與創(chuàng)新意識.方程的應(yīng)用體現(xiàn)了方程模型用于解決實際問題的過程，激發(fā)了學(xué)生的應(yīng)用與創(chuàng)新意識，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系.本文以用一元二次方程解應(yīng)用題為例，做一探討.列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟包括：（1）審清題意，明確已知量、未知量及問題中的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)，包括直接設(shè)未知數(shù)與間接設(shè)未知數(shù)；（3）列方程，根據(jù)能反映應(yīng)用題全部含義的等量關(guān)系，用代數(shù)式表示等量關(guān)系中的量，然后列出方程；（4）解方程；（5）檢驗并作答.在現(xiàn)實生活中，一元二次方程有諸多應(yīng)用，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

一、一元二次方程在增長率問題中的應(yīng)用

解決有關(guān)平均增長率（或降低率）問題時，一般選擇公式a（1+x）2=b［或a（1-x）2=b］，其中a是增長（或降低）前的量，x是平均增長率（或降低率），2是增長（或降低）的次數(shù)，b是增長（或降低）后的量.

例1為做好響應(yīng)國家“精準(zhǔn)扶貧”號召，連云港2017年擬投入1280萬元資金用于異地安置，且投入資金按照規(guī)劃逐年遞增，2019年在2017年的基礎(chǔ)上遞增投入資金1600萬元.

（1）從2017年至2019年，連云港在異地安置投入的資金年平均增長率為多少？

（2）在2019年具體實施異地安置過程中，連云港規(guī)劃投入資金大于或等于500萬元用于獎勵優(yōu)先搬遷租房的家庭，規(guī)劃前800戶（包含第800戶）一戶一天獎勵10元，800戶以后一戶一天獎勵5元，按照租房400天進(jìn)行計算，求2019年連云港享受到優(yōu)先搬遷租房獎勵的至少有多少戶.

解析：（1）設(shè)連云港在異地安置投入的資金年平均增長率為x.

依據(jù)題設(shè)，得1280（1+x）2=1280+1600，解得x=0.5或x=-2.5（舍去）.

答：從2017年到2019年，連云港在異地安置投入的資金年平均增長率為50%.

（2）設(shè)2019年連云港享受到優(yōu)先搬遷租房獎勵的有a戶.

依據(jù)題設(shè)，得800×10×400+（a-800）×5×400≥5000000，解得a≥1700.

答：2019年連云港享受到優(yōu)先搬遷租房獎勵的至少有1700戶.

評注：本題增長后的量不是1600萬元，而是（1280+1600）萬元；一元二次方程的解通常有兩個，這兩個不一定都符合題意，要舍去不符合題意的解，這就是方程的解與實際問題的解之間的差異.

二、一元二次方程在“每每問題”中的應(yīng)用

“每每問題”指“每降低多少單價，就增加多少銷量”或者“每增加多少單價，就減少多少銷量”.其解題的關(guān)鍵在于找到單價變化量與銷量變化量之間的變化規(guī)律，然后根據(jù)“總利潤=每單位利潤×銷售量”列一元二次方程.

例22019年6月18日是重慶直轄22年的紀(jì)念日.22年來，巴渝大地發(fā)生了翻天覆地的變化，一大波網(wǎng)紅景點(diǎn)成為城市新地標(biāo)的同時，也見證著城市面貌的改變，并讓一大批重慶特產(chǎn)走出重慶，享譽(yù)世界.在網(wǎng)紅景點(diǎn)洪崖洞，某重慶特產(chǎn)專賣店銷售特產(chǎn)合川桃片，其進(jìn)價為每千克15元，按每千克30元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低1元，則平均每天的銷量可增加20千克.

（1）若該專賣店合川桃片3月31日的銷量為280千克，則該天每千克的售價為多少元？

（2）若該專賣店想4月1日的獲利比（1）中3月31日的獲利多320元，則每千克合川桃片應(yīng)為多少元？

解析：（1）設(shè)該天每千克的售價為x元.

根據(jù)題意，得100+20（30-x）=280，解得x=21.

答：該天每千克的售價為21元.

（2）設(shè)每千克合川桃片應(yīng)為y元.

根據(jù)題意，得（y-15）［100+20（30-y）］=（21-15）×280+320，解得y=25.

答：每千克合川桃片應(yīng)為25元.

評注：對于“每每問題”，在列方程時，要根據(jù)“總利潤=每單位利潤×銷售量”，還要用到以下數(shù)量關(guān)系：每單位利潤=售價-進(jìn)價，銷售量=原銷售量+增加的銷售量.

三、一元二次方程在圖形面積問題中的應(yīng)用

一元二次方程在圖形面積問題中的應(yīng)用，包括修路問題、做鏡框問題、做紙盒問題、雞舍問題等，通常都要利用矩形面積計算公式“長×寬=矩形面積”建立一元二次方程，在確定長或?qū)挄r，要根據(jù)題意在原來的基礎(chǔ)上或加或減，形成一個代數(shù)式.

例3某書店積極響應(yīng)政府“改革創(chuàng)新，奮發(fā)有為”的號召，舉辦“讀書節(jié)“系列活動.活動中故事類圖書的標(biāo)價是典籍類圖書標(biāo)價的1.5倍，若顧客用540元購買圖書，能單獨(dú)購買故事類圖書的數(shù)量恰好比單獨(dú)購買典籍類圖書的數(shù)量少10本.

圖1

圖2

（1）求活動中典籍類圖書的標(biāo)價.

（2）該店經(jīng)理為鼓勵廣大讀者購書，免費(fèi)為購買故事類的讀者贈送圖1所示的精致矩形包書紙.在圖1所示的包書紙示意圖中，虛線是折痕，陰影是裁剪掉的部分，四角均為大小相同的正方形，正方形的邊長為折疊進(jìn)去的寬度.已知該包書紙的面積為875cm2（含陰影部分），且正好可以包好圖2中的《中國故事》這本書，該書的長為21cm，寬為15cm，厚為1cm，求出該包書紙包這本書時折疊進(jìn)去的寬度.

解析：（1）設(shè)典籍類圖書的標(biāo)價為x元.

答：典籍類圖書的標(biāo)價為18元.

（2）設(shè)折疊進(jìn)去的寬度為ycm.

由題意得（2y+15×2+1）（2y+21）=875，化簡得y2+26y-56=0，則y=2或y=-28（不合題意，舍去）.

答：折疊進(jìn)去的寬度為2cm.

評注：本題中矩形的長是三部分的和，矩形的寬是兩部分的和，這都需要根據(jù)題意認(rèn)真分析，所以審清題意是正確解答問題的前提條件，審題時我們需要抽出其中的數(shù)量關(guān)系，用數(shù)學(xué)符號加以表示，而舍去其他無關(guān)的內(nèi)容.

四、一元二次方程在動態(tài)幾何問題中的應(yīng)用

一元二次方程在動態(tài)幾何問題中的應(yīng)用，是由動點(diǎn)引起的圖形面積變化問題，這里起主要作用的變化量一般為運(yùn)動時間，然后用含運(yùn)動時間的代數(shù)式去描述變化過程中其他的量，如線段的長等，方程一般根據(jù)圖形面積去建立.

例4如圖3，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC、CD以2cm/s的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CD、DA以1cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動（P、Q兩點(diǎn)中，只要有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則另一點(diǎn)立即停止運(yùn)動）.

圖3

（1）運(yùn)動停止后，哪一點(diǎn)先到終點(diǎn)？另一點(diǎn)離終點(diǎn)還有多遠(yuǎn)？

（2）在運(yùn)動過程中，△APQ的面積能否等于22cm2？若能，需運(yùn)動多長時間？若不能，請說明理由.

解析：（1）點(diǎn)P從開始到運(yùn)動停止用的時間為：（12+6）÷2=9（s），點(diǎn)Q從開始到運(yùn)動停止用的時間為：（6+12）÷1=18（s）.由9＜18，只要有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則另一點(diǎn)立即停止運(yùn)動，得點(diǎn)P先到終點(diǎn)，此時點(diǎn)Q離終點(diǎn)的距離是：（6+12）-1×9=9（cm）.

答：點(diǎn)P先到終點(diǎn)，此時點(diǎn)Q離終點(diǎn)的距離是9cm.

（2）在運(yùn)動過程中，△APQ的面積能等于22cm2，分兩種情況討論.

點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為as.由△APQ 的面積等于22cm2，得，此方程無解.

點(diǎn)P從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過程中，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為（b+6）s.由△APQ的面積等于22cm2，得，解得b1=1，b2=14（舍去），即需運(yùn)動6+1=7（s），△APQ的面積才能等于22cm2.

評注：本題中的動點(diǎn)因為在不同的線段上運(yùn)動，所以形成的圖形也在變化，因此本題分兩種情況進(jìn)行討論；在求圖形面積時，遇到不規(guī)則圖形時，要將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和或差來解決.

五、一元二次方程在握手、比賽問題中的應(yīng)用

握手問題與比賽問題道理是一樣的，在單循環(huán)比賽中有公式在雙循環(huán)比賽中有公式x（x-1）=n，其中x是參賽的隊數(shù)，n是比賽的場數(shù).解答時先要判斷是單循環(huán)還是雙循環(huán)，再套用公式.

例5為進(jìn)一步弘揚(yáng)“愛國、進(jìn)步、民主、科學(xué)”的五四精神，倡導(dǎo)“我運(yùn)動、我健康、我快樂”的生活方式，某縣團(tuán)委準(zhǔn)備組織一次共青團(tuán)員青年足球賽，參賽的每2個隊之間都要比賽1場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排9天，每天安排5場比賽，則該縣團(tuán)委應(yīng)邀請多少個足球隊參賽？

解析：該縣團(tuán)委應(yīng)邀請x個足球隊參賽.

每支球隊都需要與其他球隊賽（x-1）場，但2隊之間只有1場比賽，根據(jù)題意，得，整理得x2-x-90=0.

解得x1=-9（不合題意，舍去），x2=10.

答：該縣團(tuán)委應(yīng)邀請10個足球隊參賽.

評注：參賽的每2個隊之間都要比賽1場，所以此題是單循環(huán)比賽，所以套用公式，如果每2個隊之間要比賽2場，那么就是雙循環(huán)比賽.

當(dāng)然，一元二次方程的應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些，還有諸如數(shù)字問題、其他學(xué)科問題等，因為它是一類最基本類型的方程，所以它在解決生產(chǎn)和生活問題、數(shù)學(xué)自身問題、其他學(xué)科問題中都有廣泛的應(yīng)用.它是反映現(xiàn)實生活數(shù)量關(guān)系的有效模型，只有在刷題—思考—刷題—思考的反復(fù)進(jìn)行中，才能不斷提升應(yīng)用一元二次方程解決實際問題的能力.