分析學(xué)情預(yù)設(shè)點評，引領(lǐng)交流自主探究
——以“三角形的高、角平分線及中線”的教學(xué)實踐為例

江蘇省興化市邊城學(xué)校 朱篩東

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是對抽象的數(shù)學(xué)概念、科學(xué)的推理過程和模型化的知識建模等基本數(shù)學(xué)思想的概括和詮釋.特別是對抽象的數(shù)學(xué)概念的詮釋，在課堂教學(xué)中尤為重要.筆者對近期所執(zhí)教的“三角形的高、角平分線及中線”這節(jié)課深有感悟.本文從教學(xué)設(shè)計、課堂環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)、課后反思等方面來分析學(xué)情，預(yù)設(shè)點評，引領(lǐng)交流和自主探究，與同行們進(jìn)行探討與交流.

一、從學(xué)情預(yù)設(shè)教學(xué)過程的引導(dǎo)方向

在預(yù)設(shè)教學(xué)過程的導(dǎo)學(xué)案時，考慮到學(xué)生剛剛建立三角形的三邊、三角的概念，必須抓住這樣的學(xué)情實際，所以筆者讓學(xué)生在課前準(zhǔn)備了剪刀和一些紙板，讓學(xué)生親歷剪裁、折紙、畫圖等實踐過程，來對三角形的高、角平分線及中線概念進(jìn)行認(rèn)知，從而激發(fā)學(xué)生探究知識的興趣.在掌握基本概念之后，讓學(xué)生自主探究用尺規(guī)等較為準(zhǔn)確地作出三角形三邊的高，觀察三條線的特點，繼續(xù)探究三角形的三條角平分線、三條邊的中線，觀察三條線的特點.通過親身經(jīng)歷作圖的過程，領(lǐng)會數(shù)學(xué)幾何圖形蘊含的規(guī)律性，從而激發(fā)學(xué)生追求數(shù)學(xué)知識的欲望，以及敢于探究新知的創(chuàng)新能力.

二、教學(xué)流程：預(yù)設(shè)教學(xué)過程的導(dǎo)學(xué)案

閱讀：閱讀學(xué)案給出的相關(guān)內(nèi)容并與同桌進(jìn)行交流.

整理：引導(dǎo)學(xué)生從概念、圖形、符號語言的角度分析、掌握三角形中三種重要概念，將相關(guān)內(nèi)容填寫在導(dǎo)學(xué)案上.

活動：

活動1：剪裁三角形并折紙，分別折出三角形的一條高.

預(yù)設(shè)質(zhì)疑1：所有三角形的三條高都能通過折紙的方法折出來嗎？

活動2：在導(dǎo)學(xué)案相應(yīng)的位置上作出所給出的三角形的三條高.見圖1（三角形分別為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形）.

預(yù)設(shè)質(zhì)疑2：對于銳角三角形，可以直接作出三角形的三條高，而直角三角形的三條高在哪里？鈍角三角形的三條高又在哪里？

預(yù)設(shè)質(zhì)疑3：仔細(xì)觀察，說明所作的三個三角形的三條高所在直線的位置關(guān)系.

預(yù)設(shè)解疑：任意三角形的三條高都交于一點，只不過銳角三角形三條高的交點在三角形內(nèi)部，直角三角形三條高的交點為三角形的直角頂點，鈍角三角形三條高的交點在三角形的外部.

圖1

活動2：在導(dǎo)學(xué)案相應(yīng)的位置上作出所給出的三角形的三條中線，見圖1.

預(yù)設(shè)質(zhì)疑1：這三個屬于不同類型的三角形，它們的中線在哪里？

預(yù)設(shè)質(zhì)疑2：這三條中線的位置是怎樣的？三角形的一條中線把三角形分成的兩部分的面積又是怎樣的？

預(yù)設(shè)解疑：三個不同類型的三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部，并交于一點；三角形的一條中線把三角形分成兩個面積相等的三角形.

活動3：用類似的方法探究三條角平分線.（預(yù)設(shè)質(zhì)疑和解疑不再細(xì)說）

例題引導(dǎo)：

例1請作出圖2中△ABC的邊BC上的高.

預(yù)設(shè)目的：防止學(xué)生將垂足找在線段BC上.∠B為鈍角，BC邊上的高應(yīng)該在BC的反向延長線上.通過例題強化理解畫高時的兩個注意點：一是哪個點是起點，二是垂直于哪條邊（所在的直線）.

圖2

圖3

例2在小學(xué)的時候，我們已經(jīng)知道三角形三個內(nèi)角之和是180°.如圖3，在△ABC中，BE、CD分別平分∠ABC和∠ACB.

（1）若∠A=72°，求∠BOC的度數(shù)；

（2）若∠BOC=136°，求∠A的度數(shù)；

（3）根據(jù)（1）和（2）的結(jié)果，試判斷∠BOC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

預(yù)設(shè)目的：這是一道經(jīng)典的以三角形的角平分線為載體的例題，其中蘊含著由特殊到一般的辯證思想，案例是通過三角形的兩條內(nèi)角平分線，探究其夾角與第三個內(nèi)角之間的關(guān)系.不妨讓學(xué)生進(jìn)一步思考：三角形的一個外角平分線、一個內(nèi)角平分線與第三個內(nèi)角之間的關(guān)系，三角形的兩外角平分線與第三個內(nèi)角的關(guān)系，等等.

練習(xí)鞏固，略.

小結(jié)作業(yè)，略.

三、對課堂教學(xué)生成的部分過程的反思

教學(xué)實錄：講解三角形的中線部分.

教師示范說明三角形的中線的特征.讓學(xué)生用紙板剪裁三角形、折中線，然后在導(dǎo)學(xué)案相應(yīng)的位置上作出所給出的三角形的三條中線.

師：三角形的中線應(yīng)該如何定義？概念中給出的連接兩點的線段與過兩點的直線有什么區(qū)別和聯(lián)系？

生：三角形的中線是連接一個頂點和它對邊的中點的線段，與過兩點的直線有著本質(zhì)的不同，兩點連線代表的是線段，有一定的長度，直線是無限延伸的，不能確定長度.（綜合多名學(xué)生的回答所得）

師：注意現(xiàn)在所學(xué)習(xí)的中線是三角形中重要的線段，但在解決問題時需要用規(guī)范、簡練的數(shù)學(xué)語言去說理和表達(dá)，現(xiàn)在讓我們一起整理一下三角形的中線中的數(shù)學(xué)語言.

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，注意通過PPT逐一展示.

三角形的中線：

描述概念：在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段是三角形的中線.

直觀圖形：見圖4.

圖4

師：好了，這部分知識已經(jīng)弄清楚了.請再看不同的三角形三條中線的位置有何特點.

生：三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部（與三角形的高可能不一樣），且它們交于一點（與三角形的高一樣），這個交點在三角形內(nèi)部（與三角形的高可能不一樣）.

教學(xué)反思：通過上述課堂教學(xué)生成的部分過程的實錄，筆者有以下感悟：

（1）初中生的心里特征就是對探究的知識具有興趣.筆者讓學(xué)生在課前準(zhǔn)備了剪刀和一些紙板，讓學(xué)生親歷剪裁、折紙、畫圖等實踐過程來對三角形的高、角平分線及中線概念進(jìn)行認(rèn)知，就是為了驅(qū)動學(xué)生探究知識的熱情.

（2）自然學(xué)科都有著自己規(guī)范的語言.簡明扼要的表達(dá)是數(shù)學(xué)語言核心素養(yǎng)，用語言文字完整地表達(dá)它，就有可能是長篇大論了，其內(nèi)容也可能含糊不清.上述案例中，師生一起整理三角形的中線，其中特別強調(diào)了數(shù)學(xué)語言的表達(dá)方式，旨在引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)學(xué)語言的表達(dá).同時體現(xiàn)了對于同一概念的三種不同表征形式，這充分說明了數(shù)學(xué)概念在學(xué)生心中的表征往往是多元化的，這種多元化對于概念的正確理解是舉足輕重的，它們之間是彼此滲透的.

（3）幾何問題需要重視推理表達(dá).初中階段學(xué)生構(gòu)建幾何體系經(jīng)歷從直觀到理性的過程，他們從圖形中學(xué)會以直觀、猜想、合情推理等逐漸走向說理、證明、思辨.在以上案例中，筆者不是圖形作法的簡單的描述重現(xiàn)，而是強調(diào)數(shù)學(xué)語言及其簡單推理運用，是一種從直觀到理性的認(rèn)知.如“教學(xué)實錄”的交流過程中，雙邊活動“三角形的中線應(yīng)該如何定義？概念中給出的連接兩點的線段與過兩點的直線有什么區(qū)別和聯(lián)系”對問題進(jìn)行拓展，為學(xué)生向縱深探究指明了方向.教師創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑情境，讓學(xué)生經(jīng)歷生疑、探疑、釋疑、解疑這一過程，充分體現(xiàn)了教師的工作重心是引導(dǎo)、傾聽、答疑，這樣才能讓學(xué)生達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果.

總之，教學(xué)相長.通過三角形的高、角平分線及中線的教學(xué)實踐，筆者深知教知識容易，而教好知識是很難的.數(shù)學(xué)理論性強，博大精深，學(xué)生的認(rèn)知水平較低，難以從直觀思維走向形象思維，需要教師的呵護(hù)和引導(dǎo).本節(jié)課的創(chuàng)設(shè)目的就在于此.因此，本文從課堂預(yù)設(shè)開始到課堂生成過程實錄，再到教后有感而發(fā)，目的在于與各位同仁再次研討對初中學(xué)科素養(yǎng)的深化.