巧用“濃度三角”快速解題

黃旭軍

“最近作業(yè)本上出現(xiàn)了一類計(jì)算量非常大的題目，大家解題要花費(fèi)很長時(shí)間！”數(shù)學(xué)課代表說完，嘆了口氣。

數(shù)學(xué)老師看了看題目，一臉哭笑不得的樣子：“你們用列方程來解題，雖然省力，但會(huì)花很多時(shí)間！我今天帶來的‘秘方?！芜@類題目?！?/p>

數(shù)學(xué)老師說完，便在黑板上寫了些題目。

例1 有濃度為20%的鹽水300克，要用它配制成濃度為40%的鹽水，需要濃度為70%的鹽水多少克？

已知有濃度為20%的鹽水300克，向其中加入70%的鹽水后，濃度會(huì)有所增加。要配成濃度為40%的鹽水，這里加入的鹽水質(zhì)量未知，配好后的鹽水總質(zhì)量也未知，解題難度比較大。

未知條件多的時(shí)候，我們可以用列方程來解決問題。

解：設(shè)需要濃度為70%的鹽水x克，配好后鹽水的總質(zhì)量就是（300+x）克。根據(jù)鹽水中所含鹽的總量不變，可得：

300×20%+70%x=（300+x）×40%

60+0.7x=120+0.4x

0.7x-0.4x=120-60

0.3x=60

x=200

答：需要濃度為70%的鹽水200克。

不過，列方程解題的計(jì)算過程有些麻煩，我們來試試“濃度三角法”。

第一步：如下圖，畫出一個(gè)三角形，把已知條件中的數(shù)據(jù)寫在三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上。

第二步：分別算出寫在頂點(diǎn)上的數(shù)據(jù)，與左右兩個(gè)數(shù)據(jù)的差。

第三步：構(gòu)造等量關(guān)系，找出兩個(gè)差之間的比例。

20%×3=30%×2

也就是說，需要濃度為20%的鹽水3份，需要濃度為70%的鹽水2份。

第四步：根據(jù)上面的份數(shù)，求出最終結(jié)果。

300÷3×2=200（克）

答：需要加入濃度為70%的鹽水200克。

例2 一次數(shù)學(xué)比賽中，甲隊(duì)成績的平均分是78分，乙隊(duì)成績的平均分是72分，兩隊(duì)同學(xué)成績的平均分是73.5分。我們又知道乙隊(duì)比甲隊(duì)多6人，那么乙隊(duì)有多少人？

甲、乙兩隊(duì)總成績的平均分乘以兩隊(duì)總?cè)藬?shù)，等于甲隊(duì)的平均分乘以甲隊(duì)的人數(shù)，加上乙隊(duì)的平均分乘以乙隊(duì)的人數(shù)。

根據(jù)題目中所給的已知條件，我們可以先用列方程的方法，來解決這個(gè)問題。

解：設(shè)甲隊(duì)有x人，那么乙隊(duì)則有（x+6）人。

78x+72×（x+6）=73.5（x+x+6）

150x+432=147x+441

150x+432-147x=147x+441-147x

3x+432-432=441-432

x=3

知道了甲隊(duì)的人數(shù)，我們可以進(jìn)而求得乙隊(duì)的人數(shù)為x+6=3+6=9（人）。

答：乙隊(duì)有9人。

當(dāng)然，這道題我們還可以用“濃度三角”來解答。

第一步：如下圖，畫出一個(gè)三角形，把條件中的已知數(shù)據(jù)寫在三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上。

第二步：算出左右兩個(gè)數(shù)據(jù)的差。

第三步：構(gòu)造等量關(guān)系，找出兩個(gè)差之間的比例。

4.5×1=1.5×3

78的1份等于72的3份，兩者相差3-1=2（份），2份就是相差的是6人，所以每份那3人。72的3份就是3×3=9（人）。

答：乙隊(duì)有9人。

訓(xùn)練一二一

六年級(jí)兩個(gè)班共有學(xué)生100人，其中男生占47%，一班男生占全班人數(shù)的35%，二班男生占全班人數(shù)的55%，兩個(gè)班各有多少人？