連續(xù)波腔衰蕩光譜技術(shù)中模式篩選的數(shù)值方法*

王金舵 余錦 ? 貊澤強3) 何建國3) 代守軍 孟晶晶 王曉東 劉洋3)

1) (中國科學(xué)院光電研究院, 北京 100094)

2) (中國科學(xué)院大學(xué), 北京 100049)

3) (中國科學(xué)院計算光學(xué)成像技術(shù)重點實驗室, 北京 100094)

連續(xù)波腔衰蕩光譜(CW-CRDS)測量中多模衰蕩的產(chǎn)生是嚴(yán)重影響痕量氣體測量靈敏度的重要因素.本文針對衰蕩腔內(nèi)無光闌或光闌濾模不徹底的CRDS裝置, 通過分析腔誤調(diào)時的能量耦合規(guī)律以及受關(guān)斷時間影響的衰蕩過程, 提出閾值選擇和擬合度判定兩種非光闌模式篩選方法, 利用數(shù)值方法達到抑制多模衰蕩及篩選基模衰蕩(優(yōu)衰蕩)的目的.首先對CW-CRDS實驗中平均采樣和單次采樣模式下出現(xiàn)的多種衰蕩類型進行了歸納分析, 發(fā)現(xiàn)可以通過單次采樣數(shù)據(jù)預(yù)測多次采樣的測量結(jié)果, 實驗結(jié)果與預(yù)期一致.解決了CRDS實驗“平均”和“擬合”的先后順序問題.在此基礎(chǔ)上, 利用優(yōu)衰蕩出現(xiàn)概率滿足二項分布模型的特性,建立了優(yōu)衰蕩出現(xiàn)頻率隨觸發(fā)閾值變化的概率模型, 用于選擇合適的觸發(fā)閾值.實驗表明提升觸發(fā)閾值可以有效地抑制多模衰蕩, 使測量靈敏度提升約一個數(shù)量級.隨著觸發(fā)閾值的提升, 通過優(yōu)衰蕩得到的Allan方差將趨于一個定值, 但是衰蕩過程獲取時間將逐漸延長.因此, 在CW-CRDS檢測中觸發(fā)閾值應(yīng)設(shè)置在保證全部衰蕩過程均為優(yōu)衰蕩的最小閾值處.之后, 采用擬合度判定法對實驗數(shù)據(jù)進行了篩選.最后給出了兩種方法的適用范圍, 擬合度判定法雖然簡單但局限性較大, 閾值選擇法可適用于腔誤調(diào)程度不嚴(yán)重的情況.

1 引 言

近年來, 腔衰蕩光譜技術(shù) (cavity ring-down spectroscopy, CRDS)在光物相互作用中等離子體分析[1,2]、溫室氣體測量[3,4]、污染氣體檢測[5]、分子光譜分析[6,7]以及反射率測量[8,9]等諸多方面得到應(yīng)用.CRDS是一種具有高靈敏度的直接吸收光譜技術(shù), 通過測量特定波長激光的衰蕩時間來實現(xiàn)弱吸收物質(zhì)的成分與濃度檢測[10].CRDS裝置的測量靈敏度與衰蕩時間的測量精度直接關(guān)聯(lián)[11], 衰蕩時間測量精度越高, 裝置測量靈敏度也越高.另一方面, 同樣的工作條件下, 激光激發(fā)衰蕩腔模式不同, 所對應(yīng)的衰蕩時間也存在明顯差異, 最終影響測量精度與準(zhǔn)確度.研究表明[12], 與單模衰蕩相比, 多模衰蕩激發(fā)下的CRDS測量靈敏度會大幅降低.

自CRDS技術(shù)出現(xiàn)以來, 入射激光與衰蕩腔之間的模式匹配及衰蕩過程的篩選一直被認(rèn)為是一個重要的研究課題.在O’Keefe等[13]首次實現(xiàn)的腔衰蕩光譜測量中, 采用線寬較寬的脈沖激光器作為光源, 雖然簡化了實現(xiàn)激光-衰蕩腔頻率匹配的條件, 但是由于多個腔縱模的同時存在、脈沖間不同階數(shù)橫模的任意激發(fā)等因素而大幅降低了衰蕩時間的測量精度[14].Romanini等[15]將光源改為窄線寬的連續(xù)激光器, 通過壓電陶瓷(PZT)調(diào)節(jié)腔長實現(xiàn)了連續(xù)波腔衰蕩光譜技術(shù)(continuouswave cavity ring-down spectroscopy, CW-CRDS).這種結(jié)構(gòu)由于可以最大程度地避免多個腔縱模被同時激發(fā), 從而有效提高了CRDS的測量靈敏度及信噪比.與脈沖 CRDS 相同, CW-CRDS 也需要引入適當(dāng)?shù)臋M模匹配來抑制高階橫模的激發(fā).然而在實際應(yīng)用中, 由于加工及裝調(diào)誤差, 嚴(yán)格的橫模匹配難以實現(xiàn).Huang和Lehmann[16]對CW-CRDS中由于橫模匹配引入的噪聲進行了分析.研究表明, 基橫模與高階橫模同時激發(fā)會導(dǎo)致衰蕩曲線偏離理想的單指數(shù)衰減形式, 而更加符合雙指數(shù)模拍模型.其通過在衰蕩腔內(nèi)加入孔徑光闌有效抑制了高階橫模的產(chǎn)生, 使系統(tǒng)性能得到顯著提升.但是實驗中仍然記錄到了由于裝調(diào)偏差而產(chǎn)生的TEM01和TEM10模的衰蕩過程, 兩者衰蕩時間與基橫模(TEM00)不同, 從而影響了測量靈敏度.崔立紅等[17]對橫模匹配中的腔誤調(diào)進行了分析.腔誤調(diào)包括腔失調(diào) (misalignment)和腔失配 (mismatch), 其中腔失調(diào)是指入射光的光軸與衰蕩腔的光軸存在偏移或傾斜, 腔失配是指耦合進衰蕩腔的入射光腰斑與衰蕩腔基模腰斑之間存在尺寸或位置差異.該研究指出能量耦合效率主要受腔失配的影響, 而對衰蕩腔高階模激發(fā)來說, 腔失調(diào)的影響要大于腔失配.其提出可以采用法布里-珀羅干涉儀掃描法和多維象限儀探測法對特定激光器及衰蕩腔的腔失配及腔失調(diào)進行監(jiān)測, 通過PZT調(diào)節(jié)回路對衰蕩腔進行裝調(diào)校正, 減少多橫模衰蕩過程的發(fā)生, 從而提高CRDS裝置的測量靈敏度.但是這種方法的缺點在于需要使用額外的儀器(元器件)及復(fù)雜的反饋控制電路才能滿足較高精度裝調(diào)的需求.

本文結(jié)合能量耦合及光腔響應(yīng)理論, 分析CW-CRDS實驗中存在的多(橫)模衰蕩現(xiàn)象, 提出了通過選擇合適的觸發(fā)閾值(閾值選擇)和分析衰蕩曲線擬合度(擬合度判定)實現(xiàn)CW-CRDS模式篩選的方法, 分析了兩種方法在痕量氣體檢測中的優(yōu)點和適用范圍.同時, 利用二項分布概率模型分析了在衰蕩曲線擬合前后進行數(shù)據(jù)平均的區(qū)別,并分別進行了實驗驗證, 回答了長期困擾衰蕩測量中“平均后擬合還是擬合后平均”的問題[18].

2 理 論

在CW-CRDS中, 入射光耦合進入衰蕩腔, 當(dāng)出射光強達到觸發(fā)閾值時, 關(guān)斷入射光, 衰蕩腔輸出形成一個衰蕩過程.理想情況下, 耦合過程中腔內(nèi)只有基橫模(以下簡稱為基模)被激發(fā), 探測器接收到出射光強隨時間的變化呈現(xiàn)單指數(shù)下降趨勢, 相應(yīng)地, 衰蕩時間呈正態(tài)分布, 計算其均值及標(biāo)準(zhǔn)差可以得到CRDS的測量靈敏度[11].但是, 實際上由于存在著腔失調(diào)與腔失配, 衰蕩腔內(nèi)除了基模外還會有高階橫模(以下簡稱為高階模)成分被激發(fā).由于空間分布不同導(dǎo)致腔內(nèi)損耗不同[16,19],高階模的衰蕩時間會遠(yuǎn)低于基模的衰蕩時間, 從而影響整體衰蕩時間的測量精度.實驗中可以利用基模與高階模的空間分布不同這一特點, 通過在衰蕩腔內(nèi)加入孔徑光闌, 來抑制高階模的產(chǎn)生.但是,腔內(nèi)孔徑光闌的引入同時也會造成部分基模衰蕩能量的損失, 進而導(dǎo)致信噪比的降低.因此, 有必要能夠找到某些非光闌方法來抑制甚至消除高階模對衰蕩時間測量精度帶來的影響.

這里引入失調(diào)參量ξ和失配參量ο, 假設(shè)入射光的腰斑位置在z軸坐標(biāo)0點, 且在兩個方向初始相位均為0, 則有[20]

式中以下標(biāo)L表示入射激光的參量, 下標(biāo)C表示衰蕩腔的參量;ε為入射光光軸與衰蕩腔光軸的偏移量;γ為入射光光軸與衰蕩腔光軸的傾角;w為光斑半徑;q為高斯光束q參數(shù).

為簡化分析, 在分析腔失配時, 假設(shè)腰斑位置良好匹配, 僅光斑尺寸存在差異, 則(1)式可以改寫為

其中θ為入射光的半發(fā)散角.

在實際裝調(diào)中, 最常見的腔誤調(diào)是經(jīng)橫模匹配后, 入射激光腰斑與衰蕩腔基模腰斑之間存在的尺寸差異.通過引入裝調(diào)指示光, 可以使入射光光軸與衰蕩腔光軸基本交疊, 使得軸線偏移量ε近似為0.假設(shè)腔失調(diào)的傾角為入射光半發(fā)散角的1/10, 入射光束腰斑半徑wL與衰蕩腔基橫模腰斑半徑wC之差為Δw, 這里用Δw與wC的比值來表征腔誤調(diào)程度.在僅存在腔失配的情況下, 耦合進高階模的光功率Pmn占激光耦合進入衰蕩腔的總功率P0的比例[20]表示為

同時存在腔失調(diào)和腔失配的情況下, 耦合進高階模的光功率Pmn占激光耦合進衰蕩腔的總功率P0的比例[20]表示為

將(2)式代入(3)和(4)式, 可以分別得到兩種情況下高階模耦合功率占比隨腔誤調(diào)度(Δw/wC)的變化, 如圖1所示.

圖1 腔誤調(diào)時高階模功率耦合占比情況Fig.1.Proportion of higher-order cavity mode excitement in a misadjusted CRDS system.

從圖1可以看到, 當(dāng)衰蕩腔出現(xiàn)誤調(diào)時, 因部分激光能量的耦合使高階模受到激發(fā), 引發(fā)高階模衰蕩過程.在腔誤調(diào)程度較輕時, 耦合進入高階模的能量較少, 其輸出光強較弱, 出現(xiàn)高階模衰蕩的概率較低.隨著模式失配的進一步惡化, 耦合到高階模的能量迅速增加.在衰蕩曲線采集過程中, 這將導(dǎo)致兩方面的后果：一是從衰蕩腔輸出的高階模光束光強增加; 二是同一觸發(fā)閾值下, 采集到的衰蕩過程屬于高階模衰蕩的概率增加.由此可知, 在腔誤調(diào)程度較輕時, 耦合進衰蕩腔的激光能量大部分注入腔基模中, 高階模具有較少的能量, 此時探測器接收到的基模光強會明顯高于高階模光強.在這種情況下, 在獲取衰蕩過程中可以通過選擇合適的觸發(fā)閾值, 對不同模式的衰蕩過程進行篩選, 只保留基模衰蕩過程.

理想情況下, 激光關(guān)斷是在瞬時完成, 衰蕩曲線應(yīng)呈單指數(shù)下降.但實際測量中, 受有限的關(guān)斷時間影響, 衰蕩曲線會偏離單指數(shù)趨勢, 偏離程度與光源關(guān)斷時間及理想衰蕩時間相關(guān).假設(shè)在tp時刻, 光源開啟充光; 在td時刻, 出射光強到達觸發(fā)閾值, 光源關(guān)斷, 則入射光場振幅Ei的時域變化可以寫為[21]

其中E為光源光場振幅,η為關(guān)斷效率,ts為關(guān)斷時間,u(t)為階躍函數(shù).關(guān)斷后, 出射光場振幅Eo的時域表達式為[22]

其中τ為衰蕩時間.不失一般性, 假設(shè)入射光場電場強度幅值為在零時刻發(fā)生關(guān)斷, 關(guān)斷時間為 200 ns, 如圖2 中插圖所示.基模衰蕩時間設(shè)為 31.5 μs, 由于損耗較大, 高階模的衰蕩時間較短, 設(shè)為 19 μs.探測過程中的高斯噪聲功率為入射光光強的0.025倍, 則探測器可能接收到的出射光強信號Io隨時間的變化如圖2所示, 其中基模衰蕩記為優(yōu)衰蕩(good decay), 高階模衰蕩記為劣衰蕩(bad decay).衰蕩曲線的單指數(shù)性用調(diào)整擬合度來表示, 相較于傳統(tǒng)擬合度, 調(diào)整擬合度剔除了變量個數(shù)對擬合度的影響, 其確定系數(shù)的表達式為

其中SSres為樣本殘差平方和, 自由度為dfr;SStot為樣本離差的平方和, 自由度為dft.從圖2可以看到, 基模衰蕩曲線的調(diào)整擬合度要高于高階模衰蕩曲線的調(diào)整擬合度.因此可以認(rèn)為, 在測得衰蕩曲線后, 通過比較調(diào)整擬合度, 能夠?qū)Σ煌Ｊ降乃ナ庍^程進行甄別, 從而篩選出基模衰蕩過程.

圖2 受有限的關(guān)斷時間影響的衰蕩曲線仿真Fig.2.Simulation of ring-down curves affected by the finite shutdown time.

3 實 驗

用于研究CW-CRDS非光闌模式篩選的實驗裝置為實驗室搭建的CW-CRDS裝置, 未安裝腔內(nèi)光闌, 如圖3所示.光源采用光纖耦合輸出的分布反饋式二極管激光器(DFB-LD, NEL), 中心波長為1654 nm.激光器控制器 (LDC-3724C, Lightwave)可以通過控制電流或溫度, 對DFB-LD輸出波長進行調(diào)節(jié), 電流設(shè)定為 130 mA, 溫度設(shè)定為 20 ℃.為保證入射激光耦合進衰蕩腔, 需要實現(xiàn)穩(wěn)定的頻率匹配, 通過信號發(fā)生器 (33600A, Aglient)在激光器控制器上加載一個三角波電流調(diào)制信號, 調(diào)制頻率為 10 Hz, 幅值為 26 mV.該幅值對激光頻率的調(diào)制略大于一個自由光譜范圍.激光光束經(jīng)準(zhǔn)直器、模式匹配透鏡組, 耦合進入衰蕩腔.入射光路中加入光隔離器(Thorlabs)來抑制光反饋.衰蕩腔的腔鏡采用兩片相同參數(shù)的平凹高反鏡, 曲率半徑為 500 mm, 在 1600—1700 nm 范圍內(nèi), 標(biāo)稱反射率優(yōu)于 0.9999, 腔鏡間隔為 340 mm.出射光經(jīng)聚焦透鏡后, 是由光電探測器(PDA10CS-ES,Thorlabs)接收、示波器 (MSO 4104C, Tektronix)進行采集記錄.當(dāng)出射光強達到觸發(fā)閾值時, 通過示波器向激光控制器發(fā)出觸發(fā)信號, 實現(xiàn)關(guān)斷.利用示波器對衰蕩曲線進行記錄, 用于后續(xù)數(shù)據(jù)處理.實驗氣體為標(biāo)準(zhǔn)氮氣(N2), 通過質(zhì)量流量控制器, 以 0.5 L/min 的速度輸入衰蕩腔.為減小水汽及空氣顆粒對實驗結(jié)果的影響, 在衰蕩腔輸入輸出氣路上, 均裝有干燥劑和顆粒過濾器.

4 實驗結(jié)果與分析

4.1 衰蕩過程類型分析

圖3 CW-CRDS 實驗裝置圖Fig.3.Schematic of CW-CRDS experimental instrument.

圖4 四次平均模式下的 (a)衰蕩曲線、(b), (c)衰蕩時間及 (d)擬合度分布Fig.4.(a) Typical decays, (b), (c) distributions of ring-down time, and (d) decay curve fitness in four times averaged mode sampling.

利用數(shù)字存儲示波器對衰蕩過程進行記錄, 采樣模式為平均采樣模式, 平均次數(shù)為4次, 總共采集10000條衰蕩曲線, 實驗結(jié)果如圖4所示.在10000組實驗數(shù)據(jù)中, 根據(jù)階梯分布的衰蕩時間可以劃分為三種類型的衰蕩過程, 其典型的衰蕩曲線如圖4(a)所示.三類衰蕩過程所占比例不同, 其中絕大部分是衰蕩時間均值約為32 μs的衰蕩過程,比例為92.84%, 為基模衰蕩(優(yōu)衰蕩).另外兩類衰蕩過程的衰蕩時間較短, 推測其為高階模衰蕩, 稱之為劣衰蕩1和劣衰蕩2, 均值分別為28.6 μs和25.8 μs; 兩者所占比例較低, 分別為 6.86% 和 0.3%,如圖4(b)所示.通過衰蕩時間分布, 篩選出優(yōu)衰蕩過程, 其衰蕩時間呈正態(tài)分布, 如圖4(c) 所示.如果衰蕩過程只存在優(yōu)衰蕩, 可以得到較小的衰蕩時間標(biāo)準(zhǔn)差, 對應(yīng)的測量靈敏度較高.但是, 由于存在衰蕩時間相差較大的兩類劣衰蕩, 導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)差急劇增大, 測量靈敏度大幅下降.對衰蕩曲線的擬合度進行計算, 發(fā)現(xiàn)三種類型衰蕩過程的衰蕩曲線擬合度存在嚴(yán)重交疊, 如圖4(d)所示.在這種情況下, 很難提出有效判據(jù)來實現(xiàn)模式篩選.另外, 假設(shè)這三類衰蕩過程分別對應(yīng)衰蕩腔內(nèi)同時存在的基模衰蕩、以及其他兩種不同階數(shù)的高階模衰蕩,那么受腔損耗影響, 這三種類型的衰蕩時間之間的差值應(yīng)該逐漸增大[19], 這與三類衰蕩時間均值分布大致成等差數(shù)列的實驗結(jié)果相矛盾, 即原假設(shè)不成立.

為證實實驗中出現(xiàn)了多模衰蕩, 利用掃描頻譜法測量了衰蕩腔出射激光模式的頻率分布, 如圖5所示, 其中 A, B, C 為相鄰的三個強激發(fā)腔模, a, b是兩個弱激發(fā)腔模, 介于 A, B, C 腔模之間.測得A與B, B與C的模式頻率間隔分別為445.9 MHz和 439.2 MHz, A 與 a, B 與 b 的模式頻率間隔分別為 174.9 MHz和 171.4 MHz.與利用間距L的兩面曲率半徑為Rc的腔鏡構(gòu)建的對稱圓形孔徑穩(wěn)定球面腔諧振頻率公式為

其中c為光速;m,n為橫模階次.計算得到的基橫模頻率ν00= 441.2 MHz 和高階模v10= 174.9 MHz基本一致.由此推測, 衰蕩腔內(nèi)主要有兩種模式被激發(fā), 即 TEM00模和 TEM10模.

圖5 衰蕩腔內(nèi)存在多模激發(fā)Fig.5.Multimode excitation in ring-down cavity.

采用上述CW-CRDS裝置再次進行實驗, 將示波器的采樣模式變?yōu)闊o平均過程的單次采樣模式, 采集10000條衰蕩曲線.在10000組實驗數(shù)據(jù)中, 只存在兩類衰蕩過程, 衰蕩時間均值為 31.5 μs的優(yōu)衰蕩和均值為19.1 μs的劣衰蕩, 前者占總數(shù)的98.97%, 其典型的衰蕩曲線如圖6所示.計算兩條衰蕩曲線的調(diào)整擬合優(yōu)度, 與理論仿真(圖2)的結(jié)果相近.

圖6 單次采樣的典型衰蕩曲線Fig.6.Typical decays in single sampling.

分析上述兩種不同采樣模式下的實驗結(jié)果, 認(rèn)為受腔誤調(diào)影響, 實驗所用的CW-CRDS裝置中有且僅有兩種類型的衰蕩過程, 這里分別被稱為“優(yōu)衰蕩”和“劣衰蕩”, 這兩個事件為互斥事件、且其事件出現(xiàn)概率之和為1.由10000組單次采樣實驗結(jié)果表明, 前者出現(xiàn)頻率(約為0.99)遠(yuǎn)高于后者(約為0.01), 這表明耦合進衰蕩腔能量絕大部分在基模上, 即CW-CRDS裝置的腔誤調(diào)程度較輕,可通過選擇合適的觸發(fā)閾值來實現(xiàn)模式篩選.

在四次平均模式下, 這兩種類型的衰蕩過程可以有五種組合方式：四個優(yōu)衰蕩、三個優(yōu)衰蕩一個劣衰蕩、兩個優(yōu)衰蕩兩個劣衰蕩、一個優(yōu)衰蕩三個劣衰蕩、以及四個劣衰蕩.由單次采樣下優(yōu)劣衰蕩出現(xiàn)頻率推得上述五種組合出現(xiàn)概率分別為0.9606, 0.0388, 5.9 × 10—4, 4.0 × 10—6和 1.0 ×10—8.為方便表述, 這里定義平均模式采樣中的“優(yōu)衰蕩”是全部由單次采樣中的優(yōu)衰蕩組成, 其他組合方式均為“劣衰蕩”, 并根據(jù)所含單次采樣中的劣衰蕩數(shù)目進行排序.按上述概率對10000組四次平均模式下采集到的衰蕩過程進行估計, 則優(yōu)衰蕩、劣衰蕩1、劣衰蕩2、劣衰蕩3和劣衰蕩4的頻數(shù)約為 9606, 388, 6, 0 和 0.由此可推測在四次平均模式下采集10000組衰蕩過程, 看到的衰蕩過程類型可能為三類, 優(yōu)衰蕩、劣衰蕩1和劣衰蕩2.該推測結(jié)果與10000組四次平均模式下的實驗結(jié)果(觀測到三種類型衰蕩個數(shù)分別為9284, 686和30)接近.據(jù)此推測, CW-CRDS 實驗中, 以單次采樣模式進行衰蕩過程采集, 在一次采集中結(jié)果為優(yōu)衰蕩屬于單次伯努利實驗;N次衰蕩過程采集是相互獨立事件, 優(yōu)衰蕩出現(xiàn)次數(shù)滿足二項分布.在平均模式下進行衰蕩過程采集, 假設(shè)平均次數(shù)為N(N≥ 2),則可能存在的劣衰蕩的種類為N, 在已知優(yōu)衰蕩出現(xiàn)概率的基礎(chǔ)上, 利用二項式展開可以得到各類型衰蕩過程出現(xiàn)的概率.已知兩類基本衰蕩過程的衰蕩時間, 可以推測出不同采樣模式下不同類型衰蕩時間的數(shù)學(xué)期望.在同一采樣模式下, 多個類型衰蕩時間期望值之間呈等差數(shù)列, 這就解釋了四次平均模式采樣實驗中三類衰蕩時間大致呈等差數(shù)列的現(xiàn)象.另外, 只要在單次采樣模式下抑制或消除了劣衰蕩, 使其出現(xiàn)概率趨近于0, 則之后不論采用哪種模式進行采樣, 都能獲得較好的測量靈敏度.所以, 對于衰蕩過程均為優(yōu)衰蕩的情況, “平均后擬合”還是“擬合后平均”除因處理速度帶來的差異外, 無明顯測量精度差別.但當(dāng)存在劣衰蕩時,“平均后擬合”將造成劣衰蕩與優(yōu)衰蕩混疊, 增大模式篩選難度, 且平均次數(shù)越多, 篩選難度越大, 提取的衰蕩時間精度越差.這種情況下, 應(yīng)該先以單次采樣模式對衰蕩過程進行采集, 對衰蕩曲線進行擬合, 提取衰蕩時間, 經(jīng)篩選后再平均計算.

4.2 閾值選擇模式篩選法

通過理論分析可知, 提高觸發(fā)閾值可以對不同模式的衰蕩過程進行篩選.本文通過建立優(yōu)衰蕩出現(xiàn)頻率隨觸發(fā)閾值變化的概率模型, 對合適觸發(fā)閾值的選擇進行分析.根據(jù)單次采樣與平均采樣間關(guān)系的論述可以知道, 利用不同閾值單次采樣模式獲得的優(yōu)衰蕩出現(xiàn)頻率可以建立N次(N≥ 2)平均模式優(yōu)衰蕩出現(xiàn)頻率隨觸發(fā)閾值變化概率模型, 不失一般性, 本文以N= 4 為例.

通過上文分析, 在單次采樣模式下優(yōu)衰蕩的出現(xiàn)次數(shù)fg滿足二項分布, 即fg～B(n,p).實驗中,為建立可靠的概率模型, 通過有限次測量過程中優(yōu)衰蕩的出現(xiàn)頻率去推斷總體概率p, 需要對實驗所需的衰蕩事件個數(shù), 即抽樣容量n進行推斷.二項分布概率數(shù)學(xué)模型表示為

其中δ為上述推斷的精度, 1—α為置信度.

當(dāng)n較大時, 利用棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理, 將二項分布用其極限分布正態(tài)分布表示：

由(8)和(9)式可以得到

通過正態(tài)分布概率值表, 可以得到概率臨界值x0.則有

當(dāng)p= 0.5 時, (11)式等號右邊有最大值, 則滿足推斷所需精度和置信度的抽樣容量為該最大值取整后加一.

假設(shè)CW-CRDS裝置以驅(qū)動電流三角波調(diào)制方式實現(xiàn)波長調(diào)節(jié), 最終獲得1 Hz甲烷濃度測量速率.假定三角波頻率10 Hz, 相應(yīng)入射激光光譜掃描范圍略大于一個自由光譜范圍[23], 理論上1 s內(nèi)最多可有效觸發(fā)40個衰蕩事件.概率模型所需精度δ= 1/(2 × 40), 約為 0.013.取α= 0.1,則概率臨界值為1.65, 計算得到所需抽樣容量為4028.為便于分析表述, 本文選取的抽樣容量為4000, 也即需要獲取4000個衰蕩事件才能分析優(yōu)衰蕩出現(xiàn)頻率.

分別選取 10.7, 14.7, 18.7 和 22.7 mV 作為觸發(fā)閾值, 以單次采樣模式, 分別采集4000條衰蕩曲線, 得到優(yōu)衰蕩出現(xiàn)頻率分別為0.9903, 0.9953,0.9990和1.利用二項分布分別計算得出在四次平均采樣模式下, 上述觸發(fā)閾值出現(xiàn)優(yōu)衰蕩出現(xiàn)頻率如圖7所示.

以指數(shù)函數(shù)進行擬合, 則優(yōu)衰蕩出現(xiàn)頻率擬合曲線為

該方程給出了在實驗條件下, 由單次采樣數(shù)據(jù)得到的四次平均采樣模式下優(yōu)衰蕩出現(xiàn)頻率隨觸發(fā)閾值變化的概率模型.為證明模型的正確性, 在四次平均采樣模式下, 分別以 10.7, 12.7, 16.7 和 20.7 mV為觸發(fā)閾值進行實驗, 在每個觸發(fā)閾值下分別進行4組實驗, 每組采集1000條衰蕩曲線, 得到優(yōu)衰蕩出現(xiàn)頻率.從圖7可以看到, 實驗測得結(jié)果與概率模型預(yù)測結(jié)果基本相符.

從圖7還可以看出, 隨著觸發(fā)閾值提高, 優(yōu)衰蕩出現(xiàn)的概率趨近于1, 且出現(xiàn)頻率的波動區(qū)間逐漸收斂.利用該概率模型, 可以大致得到不同觸發(fā)閾值下, 優(yōu)衰蕩出現(xiàn)的概率, 為閾值選擇模式篩選提供參考.

圖7 優(yōu)衰蕩出現(xiàn)頻率隨觸發(fā)閾值的變化Fig.7.Variance of the frequency of good decays with trigger thresholds.

通過衰蕩時間長短, 對單次采樣模式下四種不同觸發(fā)閾值 (10.7, 14.7, 18.7 和 22.7 mV)得到的衰蕩過程進行篩選, 則篩選前后各自Allan方差曲線如圖8所示.由圖8可以看到, 篩選后的Allan方差比原始數(shù)據(jù)大約小一個數(shù)量級.高觸發(fā)閾值(22.7 mV)下衰蕩過程直接得到的Allan方差與其他觸發(fā)閾值下經(jīng)篩選后的數(shù)值相近.

對單次/四次平均采樣模式下, 不同觸發(fā)閾值(10.7, 12.7, 14.7, 16.7, 18.7, 20.7, 22.7 mV)實驗中由40個衰蕩過程計算得到的Allan方差值進行對比, 結(jié)果如圖9所示.在單次采樣模式下, 示波器采集的一條衰蕩曲線代表一個衰蕩過程, Allan方差圖中橫坐標(biāo)衰蕩曲線個數(shù)為40; 在四次平均模式下, 示波器采集的一條衰蕩曲線是由四個衰蕩過程平均后得到的, 為保證衰蕩過程個數(shù)為40,Allan方差圖中橫坐標(biāo)衰蕩曲線個數(shù)為10.從圖9可知, 隨著觸發(fā)閾值的提高, 40個衰蕩過程的Allan方差值線性減小.當(dāng)進行數(shù)據(jù)篩選后,Allan方差值隨著觸發(fā)閾值逐漸趨近于一個定值,對于本實驗采用的CW-CRDS裝置, 該值為3 ×10—10cm—1.

圖8 不同閾值單次采樣下的 Allan 方差圖 (a) 10.7 mV; (b) 14.7 mV; (c) 18.7 mV; (d) 22.7 mVFig.8.Allan deviations in single sampling with different trigger thresholds：(a) 10.7 mV; (b) 14.7 mV; (c) 18.7 mV; (d) 22.7 mV.

圖9 不同閾值下 40 個衰蕩過程的 Allan 方差Fig.9.Allan deviations of 40 decays with different trigger thresholds.

實驗中發(fā)現(xiàn), 衰蕩過程獲取速率與觸發(fā)閾值密切相關(guān), 觸發(fā)閾值越高, 獲取速率越慢.在不同觸發(fā)閾值下, 取重復(fù)測量10次、每次采樣128個衰蕩過程所需時間的平均值作為采樣耗時, 可以計算得到該觸發(fā)閾值下噪聲等效吸收系數(shù)(noise equivalentabsorption coefficient, NEA)以及 1 Hz測量速率下甲烷測量靈敏度, 如圖10所示.從圖10可以看到, 隨著觸發(fā)閾值的提升, CW-CRDS裝置的測量靈敏度迅速提升, 其中觸發(fā)閾值為20.7 mV和22.7 mV時, 測量靈敏度大幅提升.由于觸發(fā)閾值為20.7 mV時獲取有效衰蕩記錄的過程更快,則1 Hz測量速率下相較于閾值22.7 mV時的測量靈敏度更高.所以, 對于實驗用CW-CRDS裝置, 通過閾值選擇法進行模式篩選時, 可以將觸發(fā)閾值設(shè)定為20.7 mV.通過基于衰蕩時間的數(shù)據(jù)篩選實現(xiàn)劣衰蕩剔除后, 可以看到不同觸發(fā)閾值下,該裝置對于甲烷的測量靈敏度大致相同, 當(dāng)觸發(fā)閾值為14.7 mV時, 相同檢測速率下測量靈敏度數(shù)值最小.

圖10 不同閾值的噪聲等效吸收系數(shù)及測量靈敏度Fig.10.Noise equivalent absorption coefficients and sensitivities under different trigger thresholds.

4.3 擬合度判定模式篩選法

除閾值選擇外, 也可以通過擬合度判定實現(xiàn)模式篩選.相較于平均模式, 單次采樣模式下兩類衰蕩過程調(diào)整擬合度分布的交疊較少, 以觸發(fā)閾值為10.7 mV的單次采樣為例, 其衰蕩時間及衰蕩曲線調(diào)整擬合優(yōu)度如圖11所示.盡管交疊較少,但兩類衰蕩過程擬合度之間交疊現(xiàn)象仍然存在.如果以衰蕩曲線的調(diào)整擬合度為判據(jù)進行模式篩選,為保證劣衰蕩全部被剔除, 需要以劣衰蕩曲線擬合度的最大值為標(biāo)準(zhǔn)進行選擇, 這將導(dǎo)致在總共4000個衰蕩過程中, 除39個劣衰蕩外, 還有140個優(yōu)衰蕩被誤剔除.這將影響CW-CRDS裝置對優(yōu)衰蕩的獲取效率, 降低裝置測量靈敏度.

圖11 單次采樣模式下的衰蕩時間(a)及曲線調(diào)整擬合度(b)分布Fig.11.Distributions of ring-down times (a) and curve fitness (b) in single sampling.

4.4 模式篩選數(shù)值方法的適用范圍

利用上述數(shù)值方法對CW-CRDS中模式篩選,雖然無需引入影響能量傳遞的光闌結(jié)構(gòu), 但是也存在相應(yīng)的適用范圍.理論分析可知, 由于實際測量中存在關(guān)斷時間、電路響應(yīng)延遲等因素影響, 衰蕩曲線不再是理想的單指數(shù)函數(shù).衰蕩時間越短, 對衰蕩曲線的單指數(shù)函數(shù)擬合優(yōu)度的影響越大.所以從本質(zhì)上看, 利用擬合度判別和在低觸發(fā)閾值下的數(shù)據(jù)篩選, 都是利用劣衰蕩的衰蕩時間遠(yuǎn)小于優(yōu)衰蕩這一特性.但事實上, 實際應(yīng)用中衰蕩時間可能會因為腔內(nèi)吸收損耗的大幅增加而急劇縮短.以本文搭建的CW-CRDS裝置為例, 空腔衰蕩時間為31.5 μs, 由 CRDS 痕氣檢測的基本公式[3]可知, 對于甲烷 (其吸收截面為 1.5 × 10—20cm2/molecule)氣體濃度測量, 利用擬合度判別或數(shù)據(jù)篩選來提高測量靈敏度的方法, 僅適用于氣體濃度不大于2 ppmv 的場合.當(dāng)甲烷濃度大于 2 ppmv 時, 衰蕩時間將小于19 μs, 與空腔狀態(tài)下劣衰蕩的衰蕩時間相近, 該方法將不再適用.而對于硫化氫(H2S)氣體濃度測量, 由于其吸收截面為2.7 ×10—24cm2/molecule), 則上述最大量程可達到 1 ×104ppmv.可以看到, 采用這種方法進行模式篩選,在一定程度上限制了CW-CRDS裝置的最大量程.而通過提高觸發(fā)閾值進行模式篩選則不會受到待測氣體濃度影響, 其本質(zhì)更依賴于CW-CRDS裝置自身性能, 即正常情況下, 在衰蕩腔中耦合進基模的能量遠(yuǎn)大于耦合進高階模的能量.通過(4)式計算可知, 在不存在腔失調(diào)的情況下, 入射光束腰斑半徑與模式匹配目標(biāo)(衰蕩腔基模腰斑半徑)的偏差小于40%時, 或經(jīng)良好匹配(腰斑半徑偏差為5%), 腔失調(diào)光軸傾角小于4倍入射光束發(fā)散角時, 可通過提高閾值進行模式篩選.

5 結(jié) 論

本文通過分析連續(xù)波激光衰蕩過程存在腔誤調(diào)情況時不同衰蕩模式之間的能量耦合、基于光腔響應(yīng)理論的衰蕩過程與激光關(guān)斷時間之間的關(guān)系,分別提出了利用提高觸發(fā)閾值與利用衰蕩曲線調(diào)整擬合優(yōu)度來進行模式篩選的方法, 并且在實驗中對這兩種模式篩選方法進行了驗證.在頻譜掃描以及模式分析的基礎(chǔ)上, 解釋了單次采樣與平均采樣之間的關(guān)系, 提出了優(yōu)衰蕩出現(xiàn)頻率隨觸發(fā)閾值變化的概率模型, 為閾值選擇法進行模式篩選提供了參考.實驗結(jié)果表明, 篩選后計算得到的Allan方差比直接使用原始數(shù)據(jù)大約小一個數(shù)量級.也就是說, 通過提升閾值或利用衰蕩時間進行的模式篩選能有效地提高衰蕩時間的測量精度, 從而提高CRDS的測量靈敏度.隨著觸發(fā)閾值的提高, 由優(yōu)衰蕩得到的Allan方差將趨近于一個定值, 但是衰蕩過程的獲取速率將逐漸降低; 二者平衡可以實現(xiàn)快速高精度采樣, 在滿足模式篩選的最小觸發(fā)閾值下進行腔衰蕩實驗.擬合度判定法雖然方法簡單,能起到模式篩選的作用, 但效率較低, 并且會限制痕量氣體檢測中的最大量程.閾值選擇法不受腔內(nèi)吸收損耗變化影響, 可以在采集衰蕩過程階段實現(xiàn)模式篩選, 但不適用于腔誤調(diào)較大的情況.