讓數(shù)學化真正發(fā)生：“和真數(shù)學”教學理念與實踐探索

[摘 要]為滿足新時代創(chuàng)新人才培養(yǎng)需求，回應數(shù)學教學科學精神呼喚，適應學習心理學中高質學習要求，現(xiàn)實教學新的教學理念——和真數(shù)學教學應運而生。其本質是讓數(shù)學化真正發(fā)生。其核心理念包括真學力、真經歷、真發(fā)展。其主要特點包括聚焦生長，基礎育人;融匯規(guī)律，科學育人;教育全構，系統(tǒng)育人;聚焦個體，個性育人。其構建起了生長目標、半構內容、學群主體、富美環(huán)境、真研教學、互生評價、精值研究、有機生態(tài)的系統(tǒng)化理論體系。

[關鍵詞]和真數(shù)學;教學理念;數(shù)學化

[中圖分類號]G420 [文獻標識碼]A [文章編號]1005-5843（2019）11-0086-07

[DOI]10.13980/j.cnki.xdjykx.2019.11.016

數(shù)學教學理念梳理是教師理論內化與實踐總結的重要路徑，是教師教學行為的認知先導，是面對紛雜教學理論的一種認識澄清，也是教學研究永無止步的學術追求與文化責任。本文從新時代數(shù)學教學責任擔當、數(shù)學教學應然價值、學習心理最新發(fā)展現(xiàn)狀、現(xiàn)實教學問題困境出發(fā)進行綜合分析，提出了“和真數(shù)學”教學理念，其本質在于讓數(shù)學化真正發(fā)生。

一、和真數(shù)學教學理念的提出

和真數(shù)學的提出包括以下幾個的背景與依據(jù)：

（一）社會呼喚：創(chuàng)新人才的重要搖籃

新時代下的國際競爭本質就是人力的競爭，而其中創(chuàng)新意識與能力是人力的核心。文化的發(fā)展需要創(chuàng)新，科技的進步需要創(chuàng)新，政治的革新需要創(chuàng)新，這些都是民生賴以發(fā)展的基礎?！吨袊逃F(xiàn)代化2035》中更是將提升一流人才培養(yǎng)與創(chuàng)新能力作為十大戰(zhàn)略任務加以實施[1]。如何培養(yǎng)創(chuàng)新型人才？當前的主要載體依然在學科教學。由此對現(xiàn)有學科的功能定位予以梳理，無疑數(shù)學教學應成為創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的孵化地與載體場。數(shù)學是系列抽象、推理與模型的建立，這些無疑是一切創(chuàng)新活動的基石。這就呼喚數(shù)學教學應該把創(chuàng)新作為主旋律，把學習交給學生自己，并創(chuàng)設真實的生活化的學習環(huán)境。

（二）學科特性：理性精神的培養(yǎng)場域

數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學。其對象與規(guī)律的客觀性，要求學生學習的過程以理性的研究范式展開，把數(shù)學當作科學來學，遵守科學學習的一般范式，即 “問題——研究（猜測，實驗，推理，結論，論證）——實踐”的構建邏輯。把數(shù)學當成科學來學，還要求數(shù)學把科學精神，特別是求真、嚴謹、辯證、系統(tǒng)、理性的系列精神作為數(shù)學的內核與生長力。

（三）學習機制：學習品質的高質訴求

學習的過程本質上就是通過文化內化、外化促使主體生命增值、行為優(yōu)化的過程。系列行為的改變，賦予價值觀上的意義，就是行為的優(yōu)化。從信息加工理論分析，行為優(yōu)化過程就是在特定環(huán)境下，依托生理器官，進行信息處理的過程。認知科學、生理醫(yī)學、腦科學、認知心理學的研究揭示，人腦青睞結構化的知識儲存，多感官的處理利于認知遷移，身體器官的參與特別是實踐能為下次類似活動提供支持，學習后轉述給別人聽是一種深度加工等。 由此，數(shù)學學習的過程應該多利用這些規(guī)律，提升學習品質[2]。

（四）現(xiàn)實問題：單一教學的深度轉型

目前的數(shù)學教學存在以下幾個問題亟需改正，讓數(shù)學回歸科學本位。一是目標過泛，不夠聚焦;二是內容單一，缺乏生氣。部分老師僅教教材，未給學生以更多創(chuàng)新發(fā)展空間、人力提升的資源支持與內容拓展，可讓學生在生活中去探究真問題，給學生創(chuàng)新實踐的機會;三是過程簡單，缺乏建構。提高教育質量本質上就是一種有特定時限的教育文化的優(yōu)化。簡單的學習方式在新時代難以繼存，科學學習顯得尤為重要。

綜上，理性精神、生活關照、高質學習、自主參與、研究建構、實踐創(chuàng)新成為了新時代下數(shù)學教學的綜合訴求。要實現(xiàn)2017年高中數(shù)學課程標準中“會用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維思考世界，用數(shù)學語言表達世界”的終極關懷，必然要培養(yǎng)學生“數(shù)學化”的能力[3]。數(shù)學化是生活數(shù)學化，數(shù)學生活化，即打通數(shù)學與相關場的界域，實現(xiàn)真實的融通與互生。和真數(shù)學教學正是基于此提出。

二、和真數(shù)學教學的內涵

何謂和真數(shù)學，其內涵與外延分別是什么，下面予以一一闡釋。

（一）概念

“和”是一個多音多義字，本文取配合，跟、同、對，相加得數(shù)，攪拌，附和等義。“真”包括正確，清楚確切，實在，事物的原樣等義。綜合起來，和真指追求事物原樣，通過配合實在正確的過程，得以發(fā)生質的提升，得以價值增值，即求索本質，真實探究，增值發(fā)展的含義。

和真數(shù)學則是還原數(shù)學生發(fā)本源，通過在真實的場域中經歷、探索，探究數(shù)學的本質規(guī)律，并實現(xiàn)文化與個人的增值優(yōu)化發(fā)展。結合數(shù)學教學的結構元素，和真數(shù)學定義如下：以提升學生數(shù)學內生素養(yǎng)與人力內生素養(yǎng)為目標，以真實生活與真實問題為載體，通過學生自主或合作探究等多方式，研究數(shù)學本質規(guī)律，解決真實數(shù)學問題，促進學生教師與數(shù)學學科的增值精優(yōu)發(fā)展的數(shù)學教學理念。

（二）內涵

通過定義，和真數(shù)學教學理念包括以下核心內涵：

1.和真數(shù)學更關照數(shù)學生長與人生長的內在力量的培養(yǎng)，而非單一的知識習得。這需要在教學目標上、方式上都更關照數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

2.真是和真數(shù)學的主旋律。真實的生活經驗，真實的數(shù)學問題是學習數(shù)學最核心的載體。數(shù)學不能被束之以高閣，而應該成為學生生活、個人生命成長息息相關的數(shù)學。學習方式則應讓學生自主研究，通過不斷內化與順應實現(xiàn)學習。

3.和真數(shù)學著力實現(xiàn)價值增值。教學不僅包括學生自身的發(fā)展，其過程還應時刻關照學科自身的發(fā)展、教師自身的成長等主旨。數(shù)學教學應該將文化傳承，人力培養(yǎng)與生活服務融為一體，實現(xiàn)價值增值。三位一體的價值追求本身也是數(shù)學學科的三個核心定位，旨在讓學生洞悉數(shù)學學科內部生長機制，打通數(shù)學與自身生活的時空阻礙，成為對自己成長負責且有能力自主發(fā)展的個體。

概括起來，“著力生發(fā)，真實學習，自主發(fā)展”是和真數(shù)學的三大內涵，即和真數(shù)學的核心理念。這三者本質就是數(shù)學化，體現(xiàn)為數(shù)學與生活、數(shù)學與自身、數(shù)學與其他學科、數(shù)學與社會、數(shù)學與自然、數(shù)學與文化、數(shù)學與未來的互相轉化，互相生成。萬物皆備數(shù)學，數(shù)學發(fā)展萬物。所以，和真數(shù)學的價值本真便是“讓數(shù)學化真正發(fā)生”。

（三）外延

外延是對象的集合。和真數(shù)學的內容包括理念、課程和真課堂、評價、研究等縱向生發(fā)元素;形式包括一切符合上述“三真”的數(shù)學理念。從縱向理論的發(fā)展維度看，和真數(shù)學包括了具有三真特點的前概念數(shù)學教學理論，也包括后續(xù)生發(fā)的后概念相關理念。本文言指的和真數(shù)學主要范疇是小學階段的數(shù)學教學，即是小學和真數(shù)學教學（如圖1）。

三、和真數(shù)學教學的理論基礎

上文對和真數(shù)學的必要性予以闡釋，其科學性又如何呢？本文通過梳理教育學、心理學與社會學已有理論支撐，從科學性上予以學理論證其合理性。

（一）教育學理論：杜威實用主義、中學生核心素養(yǎng)體系

杜威實用主義哲學下的教育學思想集中概括為“教育即生活，學校即社會，學習及經驗的改造，做中學” [4]。和真數(shù)學中提出的以真實生活、真實問題為載體，恰好是教育即生活的現(xiàn)實應用。做中學強調學生自主參與，實驗研究，也關照學后的用。和真數(shù)學中真實學習、實踐應用等理念剛好與之呼應。

中小學核心素養(yǎng)體系按照個人內生力量的發(fā)展路徑，構建起了文化基礎、自主發(fā)展與社會參與三大素養(yǎng)體系[5]?？梢钥闯觯幕A是前提，自主發(fā)展是價值追求，社會參與是現(xiàn)實關照。和真數(shù)學強調回到數(shù)學生發(fā)源泉，著力生發(fā)素養(yǎng)，其學理建構方面是對核心素養(yǎng)體系的借鑒。而本真價值數(shù)學化真正發(fā)生，實際上包括了數(shù)學與自身、數(shù)學與生活、數(shù)學與自然、數(shù)學與社會、數(shù)學與文化、數(shù)學與未來的互生轉化與互責擔當。

（二）心理學理論：信息加工、建構主義與學習金字塔理論

從圖1可以看出，和真數(shù)學在課程內容方面，著力于從學習內部機制出發(fā)，通過多感官刺激、結構化建構、實踐與內化陳述（說數(shù)學課程）等課程，讓學生學習品質得到保障;在教學結構方面，讓學生主動參與，在真實問題中生發(fā)驅動學習，促使學生在真實經歷中探究過程，積累活動經驗，并在實踐中應用發(fā)展、創(chuàng)新，最終實現(xiàn)增值發(fā)展。這剛好與信息加工、建構主義與學習金字塔理論倡導的學習結構不謀而合。

信息加工理論認為學習就是刺激、轉化、外化的系列過程。建構主義則認為學習就是在一定情境下的同化與順應的建構過程。金字塔理論認為，討論、實踐、教授給他人學習內容留存率更高，學習效果更好。后文也會對每一個結構方面的實施進行一定的學理說明[6]。

（三）社會學理論：社會有機體理論

社會有機體理論認為，生物與社會在結構、功能上相似，可以依據(jù)生物有機體推論社會有機體，從而研究社會各結構[7]。和真數(shù)學從生態(tài)發(fā)展上看，不是固守理論提出后戛然而止，相反是將理論體系置于有機體意蘊下進行生態(tài)考量。理論的生發(fā)機制上，如有機體一樣，要實現(xiàn)新陳代謝，內外交流，進化發(fā)展。和真數(shù)學通過實踐與理論的反復融通、調試、優(yōu)化，前后理論的借鑒發(fā)揚，內部團隊研究與外在教學理論發(fā)展的比對參考，實現(xiàn)教學理念的不斷完善與優(yōu)化發(fā)展。

四、和真數(shù)學教學的實踐探索

（一）生長目標：學力素養(yǎng)

和真數(shù)學教學理念強調走到數(shù)學發(fā)展與人發(fā)展的本質上去尋找目標體系，著力生發(fā)素養(yǎng)進行建構。即不是拘泥于外在表現(xiàn)的四基四能，而是走進數(shù)學與人發(fā)展背后的生長基因中去關照目標。

結合中小學生核心素養(yǎng)，2017年高中數(shù)學課程標準、2011版義務教育數(shù)學課程標準，王永春先生提出了小學數(shù)學核心素養(yǎng)模型[8]。該模型從生發(fā)機制進行統(tǒng)整，認為數(shù)學教學的目標包括驅動素養(yǎng)、本體素養(yǎng)與外化素養(yǎng)三個層次。驅動素養(yǎng)是數(shù)學學力啟動的前提;本體素養(yǎng)是數(shù)學發(fā)展的內在關鍵能力，是學科生發(fā)的本體基石;外化素養(yǎng)是數(shù)學的應用，是數(shù)學學習后外在的行為能力與表現(xiàn)（見表1）。

（二）半構內容：數(shù)學圈課程

落實三真，真學力、真經歷與真發(fā)展，結合前文基于心理學分析的高質學習特點，本文構建起了“八環(huán)五形四時六題三機制”的數(shù)學圈互生課程體系。八環(huán)指課程構建的主線邏輯，按學習認知加工，分成了“預學結練用創(chuàng)展評”，其中預指準備，規(guī)劃，預見，非單一的預習;五形指課程主要載體與實施形態(tài);四時指課程實施的時刻時段包括“日、臨時、單元、學期”四個點;六題指每期開展兩次用數(shù)學與說數(shù)學，按年段分成六個主題進行統(tǒng)籌，即一至六年級為數(shù)學與身心、與生活、與自然、與社會、與文化、與未來，打通了數(shù)學化的經絡;三機制指課程研發(fā)機制，包括教師導引、學生自研、互學互生（如表2）。

八環(huán)五形四時六題三機制的數(shù)學圈課程，融通了學習基本環(huán)節(jié)，多感官參與，多時段過度學習，形成高品質學習形態(tài)。如說數(shù)學，使數(shù)學化有了寬闊的載體與場域、資源與機制，其研發(fā)也保障了生態(tài)發(fā)展的可能。

（三）學群主體：三體學習

數(shù)學教學的主體思考應還原數(shù)學教學本體論思考，把數(shù)學教學理解為文化承創(chuàng)過程，承創(chuàng)的主體便可以成為數(shù)學教學的主體。如此，主體應該是多元性的，先者（主要是數(shù)學內容的創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)者）、學生、教師、家長與他者（社會其他參與數(shù)學構建的他人）都應是主體。這些主體融合可生成三種學習形式，集體學習、合作學習與自主學習。如在二年級，數(shù)學與生活主題下的說數(shù)學，學生可在班內組小組，也可拉入家長、社會他者組建小組;還可跨級、跨域、跨區(qū)、跨國等跨界組建合作小組;還可線上線下結合組成混元小組，等等。

（四）富美環(huán)境：生活學場

和真數(shù)學不僅著力課程與教學，還需要有富美的環(huán)境支持。環(huán)境本質就是學習的場，包括文化、制度、氛圍、場所、設施設備、技術手段、組織、平臺、資源等。和真數(shù)學讓學生自主參與，真實經歷，個性發(fā)展，這就需要有一個積極的文化導引。如我們班的文化是“愛上數(shù)學，自主學習，各美其美”;制度融合在數(shù)學圈課程《學習冊》中的“學習建議一覽表”中，包括班級數(shù)學學習口號、組織分工、四時行事建議、評價辦法，交流辦法等規(guī)定，成為了學習與家長行事的導引;氛圍是民主、平等、信任、關愛、共進;場所包括校內教室、校外泛在場域;設施設備要按實現(xiàn)“現(xiàn)代化、智能化、實用化”的總體要求進行設置;技術手段上，要線上線下結合，傳統(tǒng)技術與現(xiàn)代手段一體，單一與多元交匯，為教學提供支持;組織上，將“自主管理、互助管理，集體管理”有機統(tǒng)一，設置了黃金搭檔、教學助手、教學班長等幾個職務;平臺走向了泛在學習;資源上，打通內外壁壘、線上線下隔閡、單一多元界域、靜止生成對立、學?；馗鳛榈慕┗€性思維，走向了生態(tài)性的“精值拿來”資源網(wǎng)建設中來。

（五）真研教學：七真課堂

達抵和真的真學力、真經歷、真發(fā)展，在任何課程的實施上，特別是在課堂教學的過程中，要注意做到三個始起，即要時刻謹記你的理念是什么，要做好精致的方案設計，還要對環(huán)境的各個方面與實施過程進行精心的籌備與演練。和真數(shù)學教學的課堂，著力以自主學習、思想能力和服務生活為導引，以數(shù)學關鍵概念、模型及背后的推理為載體，達至真目標、真參與、真生活、真問題、真研究、真實踐、真發(fā)展的七真課堂教學原則。七真是三真的具體化，七真課堂將課分成了兩種類型，一種是通性課，一種是變式課。變式課指按一定維度歸屬特定的課型，如按認知的機制，可以把課分為種子新生課、枝干遷移課、葉子總結課等;按目標重點可以分為概念課、計算課、圖形課、統(tǒng)計課、實踐課等。通性課形成了基本的模型，包括開題、設計、探究、建構、交流、實踐、總結、延學幾個基本環(huán)節(jié)。

下面以人教版五年下冊，百分數(shù)的認識一課為例，說一說變式課中的枝干概念課是怎樣上的。此課基于和真理念，將枝干概念課模型概括為“兩聯(lián)三段”。兩聯(lián)即知識內部聯(lián)系、數(shù)學與外部聯(lián)系（生活、社會、文化）;三段枝干概念課的三個基本環(huán)節(jié)，即概念學習（驅動、探究、抽象）、概念變式、概念聯(lián)結。

課堂教學的目標與活動結構設計如下：

1.將新概念學習的價值、已有概念的局限性引入新課。采取舉例子，如系列大數(shù)據(jù)中某數(shù)占總數(shù)的幾分之幾的比較存在困難，可用上海2019年小學生近似人數(shù)占比與重慶2019年小學生近似人數(shù)占比進行比較，從而引出分母相同，可約定俗成為百分數(shù)來進行比較。

2. 探究新概念。如百分數(shù)的內涵，可繼續(xù)通過例子，剩余電量占總電量的百分之幾，男生是女生人數(shù)的百分之幾，三個例子比較，抽象本質屬性，得出百分數(shù)的內涵即像這樣表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。

3. 理解概念變式，百分數(shù)外延。設置兩個練習，電腦程序安裝進程百分比，這里一個數(shù)是另一個數(shù)的一部分，所以不超過100%，兩數(shù)關系是包含關系，是部分量與總量的關系;10月份電費支出是9月份的120%，10月份與9月份電費兩數(shù)關系是并列關系，是一個量和另一個量的關系，可以是120%。進而理解表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾有兩類關系情況，順勢引出百分比。

4. 聯(lián)結概念，承前啟后，辨析相關概念關系。倍、比、分數(shù)與百分數(shù)之別在于后者僅表示關系，不表數(shù)。同時通過它們之間的相互轉化，鋪墊后面即將要學習的求百分數(shù)。

這堂課真正做到了真學力，真經歷，真發(fā)展。以生活例子、社會焦點、文化融入、練習巧設漸進推進，柳暗花明，潤物無聲！

（六）互生評價：優(yōu)化發(fā)展

評價的本質是提供生長內力與尋找優(yōu)化因子，即激勵成長，通過反饋找到發(fā)展的優(yōu)化辦法，進而發(fā)揮評價本真功能。如何實現(xiàn)真發(fā)展，評價為此提供了一面鏡子和一把手術刀。要實現(xiàn)發(fā)展，得依托評價的六大價值，即導向、反饋、激勵、改進、自省與預見價值。如何基于六大價值而進行科學、系統(tǒng)、及時與個性化的評價呢？這需要設計好評價的四大結構，即評價指標、評價項目、評價工具、評價操作。一項評價工作的實施至少包括導引、評測與總結三個基本流程[9]。最后，如何將評價的全程予以系統(tǒng)化、可視化、文本化、個性化記載與呈現(xiàn)呢？可以設計針對學生與教學的兩個統(tǒng)領性工具，即學習冊與教學冊。學習冊包括我的計劃、我的課程、我的總結、我的印記、我的評價，其中我的評價就是評價的統(tǒng)領性工具（圖2）。

（七）精值研究：工具統(tǒng)整

和真數(shù)學教學理念強調以研究的精神、態(tài)度、視角、策略來開展教學工作，即把教學過程當作一種行動研究過程。這就需要教師拓展教學視野，延伸教學時空場，活化教學現(xiàn)場，延長教學的縱向實施。概括起來，真研究下的教學，應該提前做好規(guī)劃建構，開發(fā)好系統(tǒng)的教學工具，在行動中經歷與積累，在教學中磨礪與成長。通過評價、反饋、總結，最終促進教學的優(yōu)化發(fā)展。作為老師，應該至少擁有教學冊、習題集、案例集、旅行記四個基本的教學工具。其中教學冊包括我的理念、我的計劃、我的課程、我的歷程、我的總結、我的評價幾大部分;案例集以教育敘事的視角來真實積累教育教學經驗與提升智慧;旅行記是對教學歷程的記錄與回顧，以活動剪影、作品展示、老師寄語等欄目凝心聚力，內化成就，締造幸福！

（八）有機生態(tài)：理論生發(fā)

和真數(shù)學教學理論不是固化的、靜止的數(shù)學教學良方，而是處于不斷發(fā)展完善的一首未寫完的數(shù)學情詩。在社會有機體理論視野下，教學猶如我們生命機體一樣，需要新陳代謝，推陳出新，不斷優(yōu)化，這就需要我們建立理論的有機生態(tài)，具有聯(lián)系、結構、系統(tǒng)、開放、生成、個性、發(fā)展、生命等特點，構建起理論的生發(fā)機制，即“上下融通、前后承創(chuàng)、內外聯(lián)通” [10]。自上而下的理論演繹，至下而上的經驗歸納，兩者相互生成、理實結合。個人前經驗、后經驗的類比優(yōu)化，人類前文化與現(xiàn)代文化的交融優(yōu)化都是文化前后承創(chuàng)的主要機制。內外聯(lián)通包括理論與其他理論的聯(lián)通、內部研究共同體與世界數(shù)學界的聯(lián)通、校內校外的聯(lián)通、課內課外的聯(lián)通等具體方式?？傊?，要數(shù)學化真正發(fā)生，理論生態(tài)發(fā)展不可缺席。

和真數(shù)學，其宗旨是讓數(shù)學化真正發(fā)生，真學力、真經歷、真發(fā)展是其三大核心理念，實現(xiàn)基礎、科學、系統(tǒng)與個性育人的統(tǒng)一。當然，作為一個新生兒，和真數(shù)學還需要在實踐中歷練，在成長中成熟，方可成就。教育需要等待，花開不會無期！

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（責任編輯：滕一霖）