關(guān)于高中數(shù)學(xué)試題命制的探討*

福建省晉江市紫峰中學(xué)(362200) 許如意

教育部《關(guān)于做好2023 年普通高校招生工作的通知》指出,持續(xù)深化考試內(nèi)容改革. 高考命題堅持以習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為指導(dǎo), 全面貫徹黨的教育方針,落實立德樹人根本任務(wù),服務(wù)人才培養(yǎng)質(zhì)量提升和現(xiàn)代化建設(shè)人才選拔,引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展. 高考命題體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性,注重考查關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)和思維品質(zhì),注重考查學(xué)生對所學(xué)知識的融會貫通和靈活運用. 筆者有幸參與了多次泉州市級命題工作,以下結(jié)合近年來命制的部分試題,與大家分享自己在命題工作上的所思所想.

1 深化基礎(chǔ)性考查

基礎(chǔ)性考查是中國高考評價體系“一核”“四層”“四翼”理論框架中“四翼”考查要求的重要組成部分. 基礎(chǔ)知識既包括基礎(chǔ)性的自然知識,也包括基礎(chǔ)性的社會知識和人文知識,既包括一些基本概念的習(xí)得,也包括一些基本原理、公式、事實以及事件的掌握與理解[1].

案例1雙曲線的兩條漸近線夾角為_____.

答題分析本題為2022 屆泉州市高三質(zhì)量監(jiān)測(二)第13 題,即填空題第1 題. 命題的出發(fā)點為考查雙曲線的漸近線、直線的夾角等基礎(chǔ)知識. 但全市平均分1.8 分,出乎意料.

命制想法考完之后,有教師反饋教材上沒有給出直線夾角的定義,學(xué)生回答的60°、120° 都應(yīng)該認(rèn)為正確. 但其實教材是有給出直線夾角的定義的. 在人教A 版舊教材必修2第46 頁或者人教A 版新教材必修第二冊第146 頁都明確指出,平面內(nèi)兩條直線相交形成4 個角,其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角(或夾角). 出現(xiàn)填空題第1 題的全市平均分才1.8 分的慘烈現(xiàn)象,正是由于不少教師、學(xué)生都忽略了直線夾角的定義,而平時對于直線夾角的考查又較少. 高考命題要進一步深化基礎(chǔ)性考查,豐富基礎(chǔ)性的內(nèi)涵,拓展基礎(chǔ)性考查的途徑,凸顯基本概念、基本規(guī)律和基本原理的重要地位與作用,引導(dǎo)教學(xué)回歸課標(biāo)、回歸教材,助力中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的全面實施[3]. 我們的教學(xué)中,存在不少忽視課標(biāo)、忽視教材的現(xiàn)象,本道試題的設(shè)置正是希望引導(dǎo)教學(xué)回歸教材.

2 引導(dǎo)減少機械刷題現(xiàn)象

新高考的創(chuàng)新題型設(shè)計,是通過改進試題呈現(xiàn)形式,豐富試題設(shè)問方式,增強試題考查的靈活性,創(chuàng)新能力考查方式方法,增強試題的多樣性、靈活性,在新穎、現(xiàn)實、科學(xué)的情境中,考查學(xué)生應(yīng)用學(xué)科知識和方法解決問題的能力,引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)重視在基礎(chǔ)知識深層次理解基礎(chǔ)上的融會貫通,減少死記硬背和“機械刷題”現(xiàn)象[4].

案例2已知直線l:mx-y-2m+2=0(m∈R),圓C:x2+y2-2x-6y+8=0.

(1)若l與圓C相切,求切點坐標(biāo);

(2)略.

答題分析本題為2022 屆泉州市高二年質(zhì)量跟蹤監(jiān)測第18 題. 學(xué)生對于本小題的解答呈現(xiàn)出以下現(xiàn)象: ①部分學(xué)生從根據(jù)相切得到圓心到直線的距離等于半徑入手,但對于方程的求解,出錯較多,無法正確解出m的值. ②部分學(xué)生聯(lián)立直線與圓進行求解,但因計算量較大,無法正確計算出答案. ③較少的學(xué)生能發(fā)現(xiàn)直線l過的定點(2,2)就在圓C上,那l與圓C相切,(2,2)就是切點.

命制想法第(1)問的設(shè)置有意避開了“求圓的方程”等常見設(shè)問方式. 在第(1)問的解答中為什么學(xué)生大多采用上述1②○的方法? 反思我們的教學(xué),學(xué)生在長期的解題訓(xùn)練中,形成了看到相切就想到“點線距離等于半徑”或“聯(lián)立直線與圓,消元,得到一元二次方程,Δ = 0”,看到了“求切點”就“設(shè)切點”的解題套路. 而沒有養(yǎng)成具體問題具體分析的習(xí)慣. 然而對于本道題只要學(xué)生養(yǎng)成了數(shù)形結(jié)合的習(xí)慣,具體問題具體分析,閱讀題目之后先畫圖. 把圓C在坐標(biāo)系中畫出來,之后考慮畫直線的問題. 分析直線方程,可以發(fā)現(xiàn)直線經(jīng)過定點A(2,2),那點A應(yīng)該畫在哪里呢? 這樣需要判斷點A與圓C的位置關(guān)系,再發(fā)現(xiàn)點A就在圓C上也就輕而易舉了,也就不會出現(xiàn)看完題目就按照解題套路解題的現(xiàn)象.

案例3已知函數(shù)f(x) = sin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,下列選項可能正確的是

C.ω=2 D.

命制想法本題為2021 屆泉州市高三質(zhì)量監(jiān)測(三)第10 題. 有較多的輔導(dǎo)書總結(jié)了根據(jù)三角函數(shù)圖象求參數(shù)φ的解題套路為代入最高點或最低點求解,逃避零點對應(yīng)到五點法中的(0,0)還是(π,0)的易錯點. 這個解題套路只能幫助學(xué)生機械解題,而不能幫助學(xué)生理解知識的來龍去脈,并不可取. 本道試題設(shè)置了已知圖象上的兩點除了需要正確理解怎么判斷零點對應(yīng)到五點法中的(0,0)還是(π,0),還需要舉一反三,類比零點的對應(yīng)判斷對應(yīng)到還是,讓機械解題的套路無路可逃.

以上兩道試題的命制其實都是從規(guī)避解題套路出發(fā)設(shè)置的,目的在于引導(dǎo)減少機械刷題現(xiàn)象,養(yǎng)成具體問題具體分析的良好習(xí)慣,注重考查學(xué)生對所學(xué)知識的融會貫通和靈活運用.

3 發(fā)揮區(qū)分選拔功能

案例4在平面直角坐標(biāo)系xOy中, 已知橢圓E:的離心率為,且點A(0,1)在E上.

(1)求E的方程;

(2)點B為E的下頂點,點P在E內(nèi)且滿足,直線AP交E于點Q,求的取值范圍.

答題分析本題為2022 屆泉州市高三質(zhì)量監(jiān)測(二)第21 題. 第(2)問主要有以下5 種解法: ①設(shè)線解點,計算,確定范圍; ②將轉(zhuǎn)化為,計算,確定范圍; ③將轉(zhuǎn)化為,利用圓冪定理解題; ④將轉(zhuǎn)化為,利用弦長公式解題; ⑤將轉(zhuǎn)化為,利用參數(shù)方程中t的幾何意義解題.

命制想法解析幾何試題一般入口較寬,有較多的解法.但是不同的解法之間運算量的差異很大,有的是“可望而不可及”. 本道試題不同層次的學(xué)生對于問題處理方法的選擇必然不同. 低層次的處理看到就是, 中層次的處理看到可以轉(zhuǎn)化為,高層次的處理會利用向量投影向量的意義將轉(zhuǎn)化為,不但大大地降低了問題的難度,也大大簡化了試題的計算量. 在試題的難度設(shè)計上不僅要關(guān)注層次性,而且要關(guān)注思維的靈活性、深刻性,方法的綜合性、探究性和創(chuàng)造性等方面,科學(xué)把握試題的區(qū)分度,發(fā)揮試題的選拔性功能.引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中要特別注重對不同方法的分析、比較,知道不同方法的差異,學(xué)會研究圖形的幾何特征,掌握處理代數(shù)式的一般方法,多角度審視,把握問題的本質(zhì),積累在有限的時間內(nèi),尋找最佳突破口的經(jīng)驗.

5 思考

對于數(shù)學(xué)試題,筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)試題不但要檢測學(xué)生的四基(基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗)、四能(發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題)、三會(會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界)、六素養(yǎng)(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析);還應(yīng)該能夠引導(dǎo)學(xué)生思考, 促進其對數(shù)學(xué)知識的深入理解和應(yīng)用能力的提升,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲;也應(yīng)該促進教師的教學(xué)改進和提高,通過分析學(xué)生的答題情況,獲得學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,在監(jiān)測中發(fā)現(xiàn)問題,然后想方設(shè)法解決問題,改進教學(xué),從而幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),幫助學(xué)生更好地融入社會,實現(xiàn)教學(xué)相長. 總之,試題命制的終極目標(biāo)一定是為學(xué)生的發(fā)展服務(wù). 學(xué)生可能在將來忘記所學(xué)數(shù)學(xué)知識,但一定不會忘了學(xué)到的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神. 以此與大家共勉,在教學(xué)中更多地關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì),追求從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),提升學(xué)生的發(fā)展?jié)摿?而不是機械化的解題套路.