“三定”問題 高考解析幾何的?？?/h1>

2019-12-20 03:05楊文金

中學(xué)課程輔導(dǎo)·高考版訂閱 2019年12期 收藏

關(guān)鍵詞：定值化簡拋物線

楊文金

解析幾何中的“三定”是定值、定點、定線問題，“三定”問題仍是高考考試的重點與難點，該類問題知識綜合性強，方法靈活，對同學(xué)們的運算能力和推理能力要求較高，因而成為了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點和難點.主要以解答題形式考查，往往處在倒數(shù)第二題位置，起到拉開距離，選拔優(yōu)生的目的.一般以橢圓或拋物線為背景，考查定值、定點、定線問題，試題難度較大.定點、定值、定線問題都是探求“變中有不變的量”.因此要用全面的、聯(lián)系的、發(fā)展的觀點看待并處理此類問題.從整體上把握問題給出的綜合信息，并注意挖掘問題中各個量之間的相互關(guān)系，恰當(dāng)適時地運用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊到一般、相關(guān)點法、設(shè)而不求、換元、消元等基本思想方法.在解答這類問題過程中，既有探索性的歷程，又有嚴(yán)密的邏輯推理及復(fù)雜的運算，成為考查同學(xué)們邏輯思維能力、知識遷移能力和運算求證能力的一道亮麗的風(fēng)景線，真正體現(xiàn)了考試大綱中“重知識，更重能力”的指導(dǎo)思想.解析幾何中基本的解題方法是使用代數(shù)方程的方法研究直線、曲線的某些幾何性質(zhì)，代數(shù)方程是解題的橋梁，要掌握一些解方程（組）的方法，掌握一元二次方程的知識在解析幾何中的應(yīng)用，掌握使用韋達(dá)定理進行整體代入的解題方法;其次注意分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等的應(yīng)用.

一、解析幾何中的定值問題

在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成了定值問題，解決這類問題時，要善于運用辯證的觀點去思考分析，在動點的“變”中尋求定值的“不變”性，一種思路是進行一般計算推理求出其結(jié)果，選定一個適合該題設(shè)的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義、方程、幾何性質(zhì)，再用韋達(dá)定理，點差法等導(dǎo)出所求定值關(guān)系所需要的表達(dá)式，并將其代入定值關(guān)系式，化簡整理求出結(jié)果;另一種思路是通過考查極端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口，將該問題涉及的幾何形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或三角形式，證明該式是恒定的.同時有許多定值問題，通過特殊探索法不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索.如果試題是客觀題形式出現(xiàn)，特珠化方法往往比較奏效.

例1 （2018年高考北京理）已知拋物線C：y2=2px經(jīng)過點P（1，2）.過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.

（1）求直線l的斜率的取值范圍;

（2）設(shè)O為原點，QM=λQO，QN=μQO，求證：1λ+1μ為定值.

分析：（1）先確定p，再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據(jù)PA，PB與y軸相交，舍去k=-3;（2）先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得x1+x2=-2k-4k2，x1x2=1k2.再由QM=λQO，QN=μQO得λ=1-yM，μ=1-yN，利用直線PA，PB的方程分別得點M，N的縱坐標(biāo)，代入化簡1λ+1μ可得結(jié)論.

解：（1）因為拋物線y2=2px經(jīng)過點P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x.

由題意可知直線l的斜率存在且不為0，

設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0）.

由y2=4xy=kx+1得k2x2+（2k-4）x+1=0.

依題意Δ=（2k-4）2-4×k2×1>0，解得k<0或0

又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點（1，-2）.從而k≠-3.

所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）.

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.

由（1）知x1+x2=-2k-4k2，x1x2=1k2.

直線PA的方程為y-2=y1-2x1-1（x-1）.

令x=0，yM=-y1+2x1-1+2=-kx1+1x1-1+2.

同理得點N的縱坐標(biāo)為yN=-kx2+1x2-1+2.

由QM=λQO，QN=μQO，

得λ=1-yM，μ=1-yN.

所以1λ+1μ=11-yM+11-yN

=x1-1（k-1）x1+x2-1（k-1）x2

=1k-1·2x1x2-（x1+x2）x1x2=1k-1·2k2+2k-4k21k2

=2，

故1λ+1μ為定值.

點睛：定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定值問題同證明問題類似，在求定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定值顯現(xiàn).

二、解析幾何中的定點問題

定點問題是動直線（或曲線）恒過某一定點的問題，一般方法是先將動直線（或曲線）用參數(shù)表示出來，再分析判斷出其所過的定點.定點問題的難點是動直線（或曲線）的表示，一旦表示出來，其所過的定點就一目了然了.所以動直線（或曲線）中，參數(shù)的選擇就至關(guān)重要.解題的關(guān)鍵在于尋找題中用來聯(lián)系已知量，未知量的垂直關(guān)系、中點關(guān)系、方程、不等式，然后將已知量，未知量代入上述關(guān)系，通過整理，變形轉(zhuǎn)化為過定點的直線系、曲線系來解決.定點問題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識交匯，形成了過定點問題的證明.難度較大.定點問題是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點，就是要求的定點.化解這類問題難點的關(guān)鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.解析幾何中的“定點”問題一般是在一些動態(tài)事物（如動點、動直線、動弦、動角、動軌跡等）中，尋求某一個不變量——定點，這種問題涉及面廣、綜合性強.

例2 如圖，設(shè)點P是橢圓E：x24+y2=1上的任意一點（異于左，右頂點A，B）.設(shè)直線PA，PB分別交直線l：x=103于點M，N.求證：以MN為直徑的圓過x軸上的定點，請求出該定點.

思路：本題變化的幾何元素有：動點P，M，N，動直線AP，BP及動圓.定點源自于動圓，動圓由M，N確定，引入?yún)?shù)表示出M，N的坐標(biāo)，從而表示出動圓.

解析：（解法1）設(shè)kAP=k1，kBP=k2，P（x0，y0），

則AM：y=k1（x+2），M（103，163k1），

同理：N（103，43k2），

以MN為直徑圓的方程為

（x-103）2+[y-（83k1+23k2）]2=（8k1-2k23）2

化簡為

（x-103）2+y2-（163k1+43k2）y+649k1k2=0，

∵k1k2=y0x0+2·y0x0-2=y20x20-4=1-14x20x20-4=-14，

所以（x-103）2+y2-（163k1-13k1）y-169=0，

圓過x軸上定點，令y=0，則x=2，x=143，

即以MN為直徑圓過定點為（2，0）和（143，0）.

點睛：解法1從“變化的元素為動直線入手”，設(shè)直線AP，BP斜率分別為k1，k2，用參數(shù)k1，k2表示動圓方程;引導(dǎo)同學(xué)們思考“含有兩個參變量的圓的方程恒成立問題”，關(guān)鍵是尋找兩個參變量之間的內(nèi)在關(guān)系，此法中k1k2=-14，然后進行消元或者化簡，將問題轉(zhuǎn)化為一個含有參數(shù)方程恒成立問題進行求解.

（解法2）設(shè)P（x0，y0），x0≠±2，

則AM：y=y0x0+2（x+2），yM=163·y0x0+2，

同理：yN=43·y0x0-2，

以MN為直徑圓的方程為

（x-103）2+（y-163·y0x0+2）（y-43·y0x0-2）=0，

化簡為（x-103）2+y2-（163·y0x0+2+43·y0x0-2）y+649y20x20-4=0，

又P（x0，y0）在橢圓上x204+y20=1，

故圓的方程（x-103）2+y2-（163·y0x0+2+43·y0x0-2）y-169=0，

圓過x軸上定點，令y=0，則x=2，x=143，

即以MN為直徑圓過定點為（2，0）和（143，0）.

點睛：解法2從“變化的元素為動點P（x0，y0）”入手，用參數(shù)x0，y0表示動圓方程;引導(dǎo)同學(xué)們思考“含有兩個參變量的圓的方程恒成立問題”，關(guān)鍵是尋找兩個參變量之間的內(nèi)在關(guān)系，此法中x204+y20=1，然后進行消元或者化簡，將問題轉(zhuǎn)化為一個含有參數(shù)方程恒成立問題進行求解.

（解法3）設(shè)M（103，y1），N（103，y2），

由kAPkBP=-14，

即y1103+2·y2103-2=-14，y1y2=-169，

以MN為直徑圓的方程為

（x-103）2+（y-y1）（y-y2）=0，

即（x-103）2+y2-（y1+y2）y-169=0.

令y=0，則x=2，x=143，

即以MN為直徑圓過定點為（2，0）和（143，0）.

點睛：解法3從“變化的元素為動點M（103，y1），N（103，y2）”入手，用參數(shù)y1，y2表示動圓的方程，引導(dǎo)同學(xué)們思考“含有兩個參變量的圓的方程恒成立問題”，關(guān)鍵是尋找兩個參變量之間的內(nèi)在關(guān)系，此法中y1y2=-169，然后進行消元或者化簡，將問題轉(zhuǎn)化為一個含有參數(shù)方程恒成立問題進行求解.

（解法4）當(dāng)P（0，1）時，M（103，83），N（103，-23），

圓方程為（x-103）2+（y-1）2=259，

令y=0，則x=2，x=143，

即以MN為直徑圓過定點為T1（2，0）和T2（143，0）.

再證明一般情況下成立即可.

由解法一知，M（103，163k1），N（103，43k2），

T1M·T1N=（43，163k1）·（43，43k2）

=169+649k1k2=169+649（-14）=0.

故以MN為直徑圓是過定點T1（2，0），同理此圓過定點T2（143，0）.

點睛：先通過特殊化找到定點，再證明一般下情況成立，此法也是特殊到一般的解法，即先找后證.

（解法5）以MN為直徑圓過x軸上定點，設(shè)定點為T（t，0）.

由解法三設(shè)M（103，y1），N（103，y2），得y1y2=-169，

由題意得TM·TN=0，（t-103）2+y1y2=0，

化簡（t-103）2-169=0，

解得t=2或t=143，

即以MN為直徑圓過定點為（2，0）和（143，0）.

點睛：本解法緊扣“定點在x軸上”，直接設(shè)出定點T（t，0），解法自然，過程簡明快捷.

引申：若去掉“過x軸上”，本題又如何思考？

點睛：本題運用前面四種解法即可，雖然解法五不可以直接應(yīng)用，但從對稱性可知，動圓所過定點必在x軸上.

定點問題，實際上就是恒成立問題，選設(shè)合理的參變量刻畫動量是解決定點問題的前提條件.引導(dǎo)同學(xué)們思考“含有兩個參變量的圓的方程恒成立問題”，關(guān)鍵是尋找兩個參變量之間的內(nèi)在關(guān)系，然后進行消元或者化簡，將問題轉(zhuǎn)化為一個含有參數(shù)方程恒成立問題進行求解.

定點問題的解題處理方法有兩種：一是設(shè)參數(shù)，用參數(shù)表示動曲線的方程，轉(zhuǎn)化為含參方程恒成立問題;二是通過特殊位置先找后證.過程中所涉及的數(shù)學(xué)思想方法是化歸思想，即轉(zhuǎn)化思想，它能引導(dǎo)我們進行合理解題，快捷地尋找解題突破口，形成解題思路.

三、解析幾何中的定線問題

定線問題是證明動點在定直線上，其實質(zhì)是求動點的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等.

例3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點C（2，0）的直線與拋物線y2=4x相交于A，B兩點，A（x1，y1），B（x2，y2）.

（1）求證：y1y2為定值;

（2）是否存在平行于y軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長為定值？如果存在，求該直線方程和弦長;如果不存在，說明理由.

分析：（1）設(shè)出過點C（2，0）的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去未知數(shù)x，由根與系數(shù)關(guān)系可得y1y2=-8為定值;（2）先設(shè)存在直線l：x=a滿足條件，求出以AC為直徑的圓的圓心坐標(biāo)和半徑，利用勾股定理求出弦長表達(dá)式

2r2-d2=-4（1-a）x1+8a-4a2，

由表達(dá)式可知，當(dāng)a=1時，弦長為定值.

解：（1）（解法1）當(dāng)直線AB垂直于x軸時，

y1=22，y2=-22，因此y1y2=-8（定值）;

當(dāng)直線AB不垂直于x軸時，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），

由y=k（x-2）y2=4x得ky2-4y-8k=0，

∴y1y2=-8，

因此有y1y2=-8為定值.

（解法2）設(shè)直線AB的方程為my=x-2，

由my=x-2y2=4x得y2-4my-8=0，

∴y1y2=-8，因此有y1y2=-8為定值.

（2）設(shè)存在直線l：x=a滿足條件，則AC的中點E（x1+22，y12），AC=（x1-2）2+y21，

因此以AC為直徑的圓的半徑

r=12AC=12（x1-2）2+y21=12x21+4，

又E點到直線x=a的距離d=|x1+22-a|，所以所截弦長為

2r2-d2=214（x21+4）-（x1+22-a）2=x21+4-（x1+2-2a）2=-4（1-a）x1+8a-4a2，當(dāng)1-a=0即a=1時，弦長為定值2，這時直線方程為x=1.

點睛：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系，屬難題;解決圓錐曲線定值定點方法一般有兩種：（1）從特殊入手，求出定點、定值、定線，再證明定點、定值、定線與變量無關(guān);（2）直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定點、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算.

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