解析幾何考點追蹤

從近幾年的江蘇新課標高考命題來看，解析幾何主要考查直線方程、圓方程和圓錐曲線方程、直線與圓的位置關系、直線與圓錐曲線的位置關系以及圓錐曲線的有關性質，考題以兩小一大形式出現(xiàn)，即兩個填空題，一個解答題，小題主要考查解析幾何的基礎知識，解答題以解析幾何綜合題的形式出現(xiàn)，考查同學們綜合應用解析幾何知識解決問題的能力.那么在解析幾何高考命題中，哪些是?？疾凰サ目键c呢？

考點一、直線方程

直線方程一直是高考考查的重點，且具有以下特點：（1）一般不單獨命題，考查形式多與其他知識結合，以填空題為主;（2）主要是涉及直線方程和斜率，難度偏易或中等.

例1 （1）已知直線l過點P（1，0），且與以A（2，1），B（0，3）為端點的線段有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是 .

（2）已知直線l過點M（2，1），且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB面積最小時，直線l的方程為 .

（3）已知直線l1：ax-2y=2a-4，l2：2x+a2y=2a2+4，若0

解析：（1）如圖，因為kAP=1-02-1=1，kBP=3-00-1=-3，

所以直線l的斜率

k∈（-∞，-3]∪[1，+∞）.

（2）設直線l的方程為y-1=k（x-2）（k<0），則A（2-1k，0），B（0，1-2k），

S△AOB=12（1-2k）·（2-1k）

=12[4+（-4k）+（-1k）]≥12（4+4）=4，

當且僅當-4k=-1k，即k=-12時，等號成立.故直線l的方程為y-1=-12（x-2），即x+2y-4=0.

（3）直線l1可寫成a（x-2）=2（y-2），直線l2可寫成2（x-2）=a2（2-y），所以直線l1，l2恒過定點P（2，2），直線l1的縱截距為2-a，直線l2的橫截距為a2+2，所以四邊形的面積S=12×2×（2-a）+12×2×（a2+2）=a2-a+4=（a-12）2+154，故當a=12時，四邊形的面積最小.

點評：（1）求解與直線方程有關的最值問題或范圍問題.先設出直線方程，建立目標函數(shù)，再利用基本不等式求解最值，也可利用數(shù)形結合法.

（2）求直線方程.弄清確定直線的兩個條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程.

考點二、圓的方程

圓的方程、圓心坐標、半徑、圓的性質等是高考考查圓的基礎知識時最常涉及的要素.大多以填空題的形式考查，有時也會穿插在解答題中，難度中等.

例2 圓心在直線x-2y-3=0上，且過點A（2，-3），B（-2，-5）的圓的方程為 .

解析：法一：（幾何法）設點C為圓心，因為點C在直線x-2y-3=0上，所以可設點C的坐標為（2a+3，a）.又該圓經過A，B兩點，所以|CA|=|CB|，

即（2a+3-2）2+（a+3）2=（2a+3+2）2+（a+5）2，解得a=-2，

所以圓心C的坐標為（-1，-2），半徑r=10，

故所求圓的方程為（x+1）2+（y+2）2=10.

法二：（待定系數(shù)法）設所求圓的標準方程為

（x-a）2+（y-b）2=r2，

由題意得（2-a）2+（-3-b）2=r2，（-2-a）2+（-5-b）2=r2，a-2b-3=0，

解得a=-1，b=-2，r2=10，

故所求圓的方程為（x+1）2+（y+2）2=10.

點評：求圓的方程時，應根據(jù)條件選用合適的圓的方程，一般來說，求圓的方程有兩種方法：①幾何法，通過研究圓的性質進而求出圓的基本量.②代數(shù)法，即設出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.若條件中圓心坐標明確時，常設為圓的標準方程，不明確時，常設為一般方程.

考點三、直線與圓的位置關系

本考點主要考查直線與圓的位置關系的判斷，切線方程的求法和由直線與圓的方程求弦長或求參數(shù)，通常以填空題形式出現(xiàn)，難度中等.

例3 （1）若直線l：y=kx+1被圓C：x2+y2-2x-3=0截得的弦最短，則直線l的方程是 .

（2）已知直線x-y+a=0與圓C：x2+y2+2x-4y-4=0相交于A，B兩點，且AC⊥BC，則實數(shù)a的值為 .

解析：（1）依題意，直線l：y=kx+1過定點P（0，1）.圓C：x2+y2-2x-3=0化為標準方程為（x-1）2+y2=4.故圓心為C（1，0），半徑為r=2.則易知定點P（0，1）在圓內.由圓的性質可知當PC⊥l時，直線l：y=kx+1被圓C：x2+y2-2x-3=0截得的弦最短.因為kPC=1-00-1=-1，所以直線l的斜率k=1，即直線l的方程是x-y+1=0.

（2）由x2+y2+2x-4y-4=0得（x+1）2+（y-2）2=9，

所以圓C的圓心坐標為C（-1，2），半徑為3，

由AC⊥BC，可知△ABC是直角邊長為3的等腰直角三角形，

故可得圓心C到直線x-y+a=0的距離為322，

由點到直線的距離公式可得|-1-2+a|2=322，解得a=0或a=6.

點評：對于這類問題的求解，首先要注意理解直線和圓中的基礎知識及它們之間的深入聯(lián)系，如在討論有關直線與圓的相交弦問題時，若能充分利用好平面幾何中的垂徑定理，并在相應的直角三角形中計算，往往能事半功倍.而圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑建立關系解決問題.其次要對問題的條件進行全方位的審視，特別是題中各個條件之間的相互關系及隱含條件的挖掘，再次要掌握解決問題常用的思想方法，如數(shù)形結合、化歸與轉化、待定系數(shù)及分類討論等思想方法.

考點四、圓錐曲線的方程

此考點要求同學們能用待定系數(shù)法求出圓錐曲線的標準方程，一般以選擇題與填空題為主，同時也出現(xiàn)在解答題中，難度中等.

例4 （1）與圓C1：（x+3）2+y2=1外切，且與圓C2：（x-3）2+y2=81內切的動圓圓心P的軌跡方程為 .

（2）焦點在x軸上，焦距為10，且與雙曲線y24-x2=1有相同漸近線的雙曲線的標準方程是 .

解析：（1）設動圓的半徑為r，圓心為P（x，y），則有|PC1|=r+1，|PC2|=9-r.所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|=6，即P在以C1（-3，0），C2（3，0）為焦點，長軸長為10的橢圓上，所以點P的軌跡方程為x225+y216=1.

（2）設所求雙曲線的標準方程為y24-x2=-λ（λ>0），即x2λ-y24λ=1，則有4λ+λ=25，解得λ=5，所以所求雙曲線的標準方程為x25-y220=1.

點評：求圓錐曲線方程有兩種方法：定義法與待定系數(shù)法.利用待定系數(shù)法求圓錐曲線方程步驟如下：（1）作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在x軸上，還是在y軸上，還是都有可能;（2）設方程：根據(jù)上述判斷設出標準方程;（3）找關系：根據(jù)已知條件，建立關于a、b、c的方程組;（4）得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.

考點五、圓錐曲線的性質

本考點主要考查圓錐曲線幾何性質的應用，如圓錐曲線的焦點，對稱軸等，尤其是橢圓與雙曲線的離心率問題，雙曲線的漸近線問題，更是命題的重點，一般出現(xiàn)在選擇題或填空題中，難度中等或中等偏上.

例5 （1）已知點F是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是 .

（2）設雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦點為F，直線4x-3y+20=0過點F且與雙曲線C在第二象限的交點為P，O為原點，|OP|=|OF|，則雙曲線C的離心率為 .

解析：（1）若△ABE是銳角三角形，只需∠AEF<45°，在Rt△AFE中，|AF|=b2a，|FE|=a+c，則b2a0，則e2-e-2<0，解得-11，則1

（2）根據(jù)直線4x-3y+20=0與x軸的交點F為（-5，0），可知半焦距c=5，設雙曲線C的右焦點為F2，連接PF2，根據(jù)|OF2|=|OF|且|OP|=|OF|可得，△PFF2為直角三角形，

如圖，過點O作OA垂直于直線4x-3y+20=0，垂足為A，則易知OA為△PFF2的中位線，又原點O到直線4x-3y+20=0的距離d=4，

所以|PF2|=2d=8，

|PF|=|FF2|2-|PF2|2=6，故結合雙曲線的定義可知|PF2|-|PF|=2a=2，所以a=1，故e=ca=5.

點評：求圓錐曲線離心率關鍵是建立一個關于a，b，c的關系式，進而將這個關系式轉化為關于離心率的方程或不等式，從而求出離心率的值或取值范圍.而雙曲線的漸近線，往往可以求雙曲線方程和雙曲線的離心率.

考點六、圓錐曲線綜合性問題

圓錐曲線綜合性問題，是歷年高考考查的重點，常以解答題形式考查，該題通常以直線與圓錐曲線的方程為基礎，結合有關概念及計算，要求考生將位置關系轉化為相應的方程或方程組的解的討論.具有一定難度.它主要包括與圓錐曲線有關的最值（取值范圍）問題和與圓錐曲線有關的定值（定點）問題.

1.與圓錐曲線有關的最值（取值范圍）問題

例6 在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，且右焦點F到左準線的距離為62.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）設A為橢圓C的左頂點，P為橢圓C上位于x軸上方的點，直線PA交y軸于點M，過點F作MF的垂線，交y軸于點N.

（i）當直線PA的斜率為12時，求△MFN的外接圓的方程;

（ii）設直線AN交橢圓C于另一點Q，求△PAQ的面積的最大值.

解析：（1）由題意，得ca=22，c+a2c=62，

解得a=4，c=22，則b=22，

所以橢圓C的標準方程為x216+y28=1.

（2）由題可設直線PA的方程為y=k（x+4），k>0，則M（0，4k），

所以直線FN的方程為y=224k（x-22），則N（0，-2k）.

（i）當直線PA的斜率為12，即k=12時，M（0，2），N（0，-4），F(xiàn)（22，0），

因為MF⊥FN，所以圓心為（0，-1），半徑為3，

所以△MFN的外接圓的方程為x2+（y+1）2=9.

（ii）聯(lián)立y=k（x+4），x216+y28=1，消去y并整理得，

（1+2k2）x2+16k2x+32k2-16=0，

解得x1=-4或x2=4-8k21+2k2，所以P（4-8k21+2k2，8k1+2k2），直線AN的方程為y=-12k（x+4），

同理可得，Q（8k2-41+2k2，-8k1+2k2），所以P，Q關于原點對稱，即PQ過原點.

所以△PAQ的面積S=12OA·（yP-yQ）=2×16k1+2k2=322k+1k≤82，

當且僅當2k=1k，即k=22時，取“=”.

所以△PAQ的面積的最大值為82.

點評：圓錐曲線中的范圍問題既是高考的熱點問題，也是難點問題.解決這類問題的基本思想是建立目標函數(shù)和不等關系，但根據(jù)目標函數(shù)和不等式求范圍正是求解這類問題的難點.建立目標函數(shù)的關鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達要解決的問題.建立不等關系的關鍵是運用圓錐曲線的幾何特性、判別式法或基本不等式等靈活處理.

2.與圓錐曲線有關的定值（定點）問題

例7 已知圓C方程為x2+y2-8mx-（6m+2）y+6m+1=0（m∈R，m≠0），橢圓中心在原點，焦點在x軸上.

（1）證明圓C恒過一定點M，并求此定點M的坐標;

（2）判斷直線4x+3y-3=0與圓C的位置關系，并證明你的結論;

（3）當m=2時，圓C與橢圓的左準線相切，且橢圓過（1）中的點M，求此時橢圓方程;在x軸上是否存在兩定點A，B，使得對橢圓上任意一點Q（異于長軸端點），直線QA，QB的斜率之積為定值？若存在，求出A，B坐標;若不存在，請說明理由.

解析：（1）圓C的方程可化為：

（x2+y2-2y+1）-m（8x+6y-6）=0，

由x2+y2-2y+1=0，8x+6y-6=0，解得x=0，y=1，

所以圓C過定點M（0，1）.

（2）圓C的方程可化為：

（x-4m）2+[y-（3m+1）]2=25m2，

圓心到直線l的距離為

d=|4·4m+3·（3m+1）-3|42+32=25|m|5

=5|m|=r，

所以直線與圓C相切.

（3）當m=2時，圓的方程為：

（x-8）2+（y-7）2=100，

圓心為（8，7），半徑為10，與直線x=-2相切，所以橢圓的左準線為x=-2，

又橢圓過點M（0，1），則b=1，

所以a2c=2，b=1，a=2，b=1，

所以橢圓方程為x22+y2=1.

在橢圓上任取一點Q（x，y）（y≠0），設定點A（s，0），B（t，0），

則kQA·kQB=yx-s·yx-t=1-x22（x-s）（x-t）=k對x∈（-2，2）恒成立，

所以-12x2+1=kx2-k（s+t）x+kst對x∈（-2，2）恒成立，

所以k=-12，k（s+t）=0，kst=1，k=-12，s=2，t=-2，或k=-12，s=-2，t=2.

所以存在A、B兩定點滿足條件，A（-2，0），B（2，0）或者A（2，0），B（-2，0）.

點評：定點和定值問題的證明方法有兩種：一是研究一般情況，通過邏輯推理與計算得到定點或定值，這種方法難度大，運算量大，且思路不好尋找;另外一種方法就是先利用特殊情況確定定點或定值，然后驗證，這樣在整理式子或求值時就有了明確的方向.在探求定點定值時，一般需用到方程思想.

（作者：陶琦，江蘇省太倉市明德高級中學）