立體幾何高考重點(diǎn)解析

知己知彼，百戰(zhàn)不殆.從近幾年江蘇高考對(duì)立體幾何命題的規(guī)律來(lái)看，有幾類(lèi)重點(diǎn)問(wèn)題需引起同學(xué)們的足夠重視.下文舉例說(shuō)明，供大家參考.

一、幾何體的表面積與體積

空間幾何體的表面積和體積計(jì)算是高考中常見(jiàn)的一個(gè)考點(diǎn)，解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要熟練掌握各類(lèi)空間幾何體的表面積和體積計(jì)算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個(gè)規(guī)則幾何體的技巧，把一個(gè)空間幾何體納入一個(gè)更大的幾何體中的補(bǔ)形技巧.

例1 （1）在如圖①所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長(zhǎng)最短50cm，最長(zhǎng)80cm.則斜截圓柱側(cè)面面積S= cm2.

（2）如圖②，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF=2，則該多面體的體積為 .

解析：（1）如圖在斜截圓柱上面再撂上一個(gè)相同的斜截圓柱，則整個(gè)圓柱的母線l=130cm，底面半徑為20cm，∴S斜截圓柱=12S整個(gè)圓柱=122πrl=πrl=2600π（cm2），故本題答案為2600π;

（2）該多面體不是規(guī)則幾何體，不易直接求體積，應(yīng)將其分割轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體.分別過(guò)A、B作EF的垂線，垂足分別為G、H，連接DG、CH，則原幾何體分割為兩個(gè)三棱錐和一個(gè)直三棱柱，棱錐高為12，棱柱高為1，AG=12-（12）2=32.取AD的中點(diǎn)M，則MG=22，S△AGD=12×1×22=24，

∴V=24×1+2×13×24×12=23.

即本題答案為23.

點(diǎn)評(píng)：幾何體的表面積與體積的計(jì)算問(wèn)題，一般出現(xiàn)在填空題中，難度中等.解答時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是針對(duì)所給的簡(jiǎn)單幾何體，選準(zhǔn)有關(guān)體積與表面積的公式;二是善于把不規(guī)則幾何體通過(guò)割補(bǔ)手段將其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體，再進(jìn)行計(jì)算.

二、多面體與球的組合體問(wèn)題

與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑.球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心（或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”）作出截面圖.

例2 （1）在正三棱錐SABC中，點(diǎn)M是SC的中點(diǎn)，且AM⊥SB，底面邊長(zhǎng)AB=22，則正三棱錐SABC的外接球的表面積為 .

（2）已知半徑為1的球O中內(nèi)接一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的體積與圓柱的體積的比值為 .

解析：（1）如圖所示，因?yàn)槿忮FSABC為正三棱錐，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM=A，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理SA⊥SC，即SA，SB，SC三線兩兩垂直，且AB=22，所以SA=SB=SC=2，所以（2R）2=3×22=12，

所以球的表面積S=4πR2=12π，故答案填12π.

（2）如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的側(cè)面積為S=2πr×21-r2=4πr1-r2≤4π×r2+（1-r2）2=2π（當(dāng)且僅當(dāng)r2=1-r2，即r=22時(shí)取等號(hào)）.

所以當(dāng)r=22時(shí)，V球V圓柱=4π3×13π（22）2×2=423.

故答案填423.

點(diǎn)評(píng)：求空間幾何體的體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，主要是求柱體、錐體、球體或簡(jiǎn)單組合體的體積.本題（1）要求同學(xué)們能靈活運(yùn)用正三棱錐中線與線之間的位置關(guān)系來(lái)解決外接球的相關(guān)問(wèn)題;本題（2）則通過(guò)球的內(nèi)接圓柱，來(lái)考查球與圓柱的體積計(jì)算，設(shè)問(wèn)角度新穎，值得關(guān)注.

三、空間線面位置關(guān)系的判定

空間線面位置關(guān)系的判定，以填空題的形式出現(xiàn)在高考中，題目一般給出多個(gè)命題，要求同學(xué)們把正確命題的序號(hào)填在橫線上.這類(lèi)問(wèn)題其實(shí)就是多項(xiàng)選擇題.空間線面位置關(guān)系判斷的常用方法：（1）根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷來(lái)解決問(wèn)題.（2）必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來(lái)進(jìn)行判斷.

例3 （1）已知下列命題：

①若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線在平面內(nèi);

②如果兩條異面直線中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線一定與該平面相交;

③若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線平行或異面;

④若平面α∥平面β，直線aα，直線bβ，則a∥b.

上述命題正確的是 （填序號(hào)）.

（2）如圖，矩形ABCD中，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過(guò)程中，正確的命題是 （填序號(hào)）.

①M(fèi)B是定值;②點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng);③一定存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C;④一定存在某個(gè)位置，使MB∥平面A1DE.

解析：①若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，由公理1可得直線在平面內(nèi)，故①對(duì);②如果兩條異面直線中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線可能與該平面平行或相交或在平面內(nèi)，故②錯(cuò);③若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線無(wú)公共點(diǎn)，即平行或異面，故③對(duì);④若平面α∥平面β，直線aα，直線bβ，則a∥b或a，b異面，故④錯(cuò).故答案：①③.

（2）取DC的中點(diǎn)N，連接MN，NB，則MN∥A1D，NB∥DE，∵M(jìn)N∩NB=N，A1D∩DE=D，∴平面MNB∥平面A1DE，∵M(jìn)B平面MNB，∴MB∥平面A1DE，④正確;∠A1DE=∠MNB，MN=12A1D=定值，NB=DE=定值，根據(jù)余弦定理得，MB2=MN2+NB2-2MN·NB·cos∠MNB，∴MB是定值，①正確;∵B是定點(diǎn)，∴M在以B為圓心，MB為半徑的圓上，②正確;當(dāng)矩形ABCD滿足AC⊥DE時(shí)存在，其他情況不存在，③不正確.∴①②④正確.故答案：①②④.

點(diǎn)評(píng)：解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時(shí)可以利用正方體、長(zhǎng)方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中.

四、空間平行、垂直關(guān)系的證明

空間平行、垂直關(guān)系的證明，一般出現(xiàn)在解答題中，難度中等.空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過(guò)判定定理、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.

例4 由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E⊥平面ABCD.

（1）求證：A1O∥平面B1CD1;

（2）設(shè)M是OD的中點(diǎn)，求證：平面A1EM⊥平面B1CD1.

證明：（1）取B1D1的中點(diǎn)O1，連接CO1，A1O1，因?yàn)锳BCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1=OC，因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1O∥O1C，

因?yàn)镺1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.

（2）因?yàn)镋，M分別為AD，OD的中點(diǎn)，所以EM∥AO.

因?yàn)锳O⊥BD，所以EM⊥BD.

又A1E⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1E⊥BD，

因?yàn)锽1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，

又A1E平面A1EM，EM平面A1EM，A1E∩EM=E，所以B1D1⊥平面A1EM，

又B1D1平面B1CD1，

所以平面A1EM⊥平面B1CD1.

點(diǎn)評(píng)：垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下：

（1）證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時(shí)和第三條直線平行;二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換;三是利用三角形的中位線定理證線線平行;四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換.

（2）證明線線垂直常用的方法：①利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì);②勾股定理;③線面垂直的性質(zhì)，即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l⊥α，aαl⊥a.

五、平面圖形的折疊問(wèn)題

平面圖形經(jīng)過(guò)翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化，有的沒(méi)有發(fā)生變化，這些發(fā)生變化和沒(méi)有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.一般地，在翻折后還在一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化，解決這類(lèi)問(wèn)題就是要根據(jù)這些變與不變，去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類(lèi)幾何量的度量值，這是化解翻折問(wèn)題的主要方法.

例5 如圖（1），在五邊形ABCDE中，ED=EA，AB∥CD，CD=2AB，∠EDC=150°.如圖（2），將△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱錐PABCD.點(diǎn)M為線段PC的中點(diǎn)，且BM⊥平面PCD.

（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD;

（2）若四棱錐PABCD的體積為23，求四面體BCDM的體積.

解析：（1）證明：取PD的中點(diǎn)N，連接AN，MN，如圖所示，則MN∥CD，

MN=12CD.

又AB∥CD，

AB=12CD，∴MN∥AB且MN=AB，

∴四邊形ABMN為平行四邊形，∴AN∥BM，

又BM⊥平面PCD，∴AN⊥平面PCD，∴AN⊥PD，AN⊥CD.

由ED=EA，即PD=PA及N為PD的中點(diǎn)，可得△PAD為等邊三角形，

∴∠PDA=60°，又∠EDC=150°，∴∠CDA=90°，∴CD⊥AD，

又AN∩AD=A，AN平面PAD，AD平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，又∵CD平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD.

（2）解：設(shè)四棱錐PABCD的高為h，四邊形ABCD的面積為S，則VPABCD=13hS=23，

又S△BCD=23S，四面體BCDM的高為h2.

∴VBCDM=13×h2×S△BCD=16×23hS

=16×23×63=233，

∴四面體BCDM的體積為233.

點(diǎn)評(píng)：在江蘇高考中，對(duì)立體幾何的考查一般難度不大，若難度加大，則會(huì)出現(xiàn)折疊問(wèn)題，解答時(shí)需注意折疊問(wèn)題中不變的數(shù)量和位置關(guān)系是解題的突破口.

在江蘇高考命題中，對(duì)立體幾何的考查要求并不高，同學(xué)們只需掌握基本的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，同時(shí)還需注意立體幾何解答題書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性.

（作者：吳浩，江蘇省太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué)）