基于Gauss偽譜法的火箭空間投送軌道設(shè)計(jì)*

魏鵬濤，龍霞

(火箭軍指揮學(xué)院，湖北 武漢 430012)

0 引言

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，防御方為了提升戰(zhàn)場生存能力，大量采用隱身技術(shù)、修筑堅(jiān)固掩體，給進(jìn)攻方進(jìn)攻作戰(zhàn)帶來了巨大的挑戰(zhàn)，成為擺在其面前的一道難題。如何有效破解這一難題，各國競相展開了相關(guān)研究，這些研究大部分集中在武器裝備、情報(bào)偵察、戰(zhàn)術(shù)戰(zhàn)法等方面，對(duì)目標(biāo)的攻擊方式還僅局限于傳統(tǒng)的陸地、海上及空中，因而戰(zhàn)時(shí)對(duì)堅(jiān)固掩體目標(biāo)實(shí)施有效摧毀的可能性較低。為了顯著提高打擊效能，充分發(fā)揮空間優(yōu)勢(shì)，本文提出利用火箭將打擊載荷或二次平臺(tái)投送到太空，從太空實(shí)施自上而下的搜索和追蹤的攻擊方式[1]。如何實(shí)現(xiàn)火箭的快速投送，投送軌道的優(yōu)化設(shè)計(jì)異常重要。對(duì)于火箭投送軌道的優(yōu)化設(shè)計(jì)，目前有多種方法，其中偽譜法是一種行之有效的方法，其主要原理是基于插值多項(xiàng)式對(duì)優(yōu)化軌道進(jìn)行直接配點(diǎn)，能用較少的節(jié)點(diǎn)來獲得較高的精度[2-7]，因而該方法既降低了計(jì)算的復(fù)雜性，同時(shí)又保證了算法的實(shí)時(shí)性。相比于其他偽譜法，Gauss偽譜法計(jì)算效率更高、準(zhǔn)確性更好、魯棒性更優(yōu)[8-10]。因此，本文選用Gauss偽譜法對(duì)火箭投送軌道進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，本文方法可為火箭空間快速投送方式實(shí)際運(yùn)用提供借鑒和參考。

1 Gauss偽譜法軌道優(yōu)化原理

對(duì)于火箭空間軌道快速投送優(yōu)化問題，其實(shí)質(zhì)是進(jìn)行火箭投送的最優(yōu)控制，因此可將該問題最終歸結(jié)為最優(yōu)控制問題。而對(duì)于最優(yōu)控制問題而言，狀態(tài)變量和控制變量是其基本的2個(gè)要素，Gauss偽譜法是將這2個(gè)要素在一系列高斯點(diǎn)上進(jìn)行離散處理，并在這些離散點(diǎn)上通過構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式來逼近狀態(tài)變量和控制變量這2個(gè)要素，緊接著對(duì)插值多項(xiàng)式進(jìn)行求導(dǎo)用來近似狀態(tài)變量求導(dǎo)，從而用一組代數(shù)約束替代與軌跡相關(guān)的微分方程約束[11]。

(1) 最優(yōu)控制問題

對(duì)于火箭快速投送軌道優(yōu)化問題，可以采取多種處理方式，其中最有效的處理方式是將其描述為最優(yōu)控制問題。要解決最優(yōu)控制問題，則需要搜索獲得最優(yōu)控制變量u(t)(u(t)∈Rm)，其需要滿足的性能指標(biāo)可表述為

(1)

在式(1)中，對(duì)于狀態(tài)變量x(t)(x(t)∈Rn)而言，t0為火箭投送初始時(shí)間，tf為火箭投送終端時(shí)間，狀態(tài)變量x(t)需要滿足以下動(dòng)力學(xué)微分方程約束：

(2)

其中:狀態(tài)變量x(t)的邊界條件約束為

φ(x(t0),t0,x(tf),tf)=0,

(3)

狀態(tài)變量x(t)的路徑條件約束為

C(x(t),u(t),t)≤0.

(4)

(2) 多階段不連續(xù)最優(yōu)控制問題

從以上的處理方式可以得出：對(duì)于火箭快速投送軌道而言，其上升段優(yōu)化問題可歸結(jié)為多階段不連續(xù)最優(yōu)控制問題。對(duì)于該問題，在具體處理時(shí)可將不同飛行段之間的斷點(diǎn)設(shè)置為連接點(diǎn)，同時(shí)將火箭投送飛行的時(shí)間區(qū)間進(jìn)行分段，然后分別對(duì)每一段進(jìn)行不同配點(diǎn)，最后再結(jié)合相應(yīng)約束條件進(jìn)行處置。假設(shè)所設(shè)置的某一斷點(diǎn)τ1(τ1∈[τ0,τ2])不連續(xù)，則可以表述為

(5)

τ1點(diǎn)的約束條件為

φx(x-(τ1),x+(τ1))≤0，

(6)

當(dāng)τ1點(diǎn)的值不確定時(shí)，還需要補(bǔ)充以下約束條件

τ1-τ2≤0.

(7)

(3) 邊界控制變量計(jì)算

Gauss偽譜法是在LG點(diǎn)上所進(jìn)行的離散處理，但該處理方式并不包括邊界點(diǎn)的值。因此，對(duì)于Gauss偽譜法而言，其不能求得優(yōu)化問題起始邊界處控制變量的值。但是在火箭快速投送軌道優(yōu)化問題的求解中，邊界控制變量卻顯得尤為重要。目前，對(duì)于邊界控制變量值的求取，基本的方法是由配點(diǎn)處的值進(jìn)行外推來得到，但該方法求解得出的值很可能不是最優(yōu)解，從而導(dǎo)致最優(yōu)控制問題不能得到最終解決。因此，為了解決這一問題，本文采用以下方法進(jìn)行求解：

對(duì)于Hamilton函數(shù)

H=g+λTf-μTC.

(8)

依據(jù)極小值原理，可以讓最優(yōu)控制變量u*(u*∈U，U為控制變量的可行域)滿足以下條件

H(x*,u*,λ*,μ*)≤H(x*,u,λ*,μ*).

(9)

假設(shè)x*(τ)，λ*(τ)和μ*已知時(shí)，μ*(τ)的求取可以歸結(jié)為一個(gè)有約束的優(yōu)化問題。此時(shí)，可以采用Hamilton函數(shù)的另外一種表達(dá)形式(不含路徑約束)

(10)

對(duì)于式(10)的表述方式，可將路徑約束最終納入控制變量組成的集合,則

U0=U∩C0，

(11)

式中:U為τ0時(shí)刻控制變量u*的所有可行解;C0為τ0時(shí)刻滿足路徑約束的控制變量u*的集合。因此，u*(τ0)的求解便轉(zhuǎn)換為對(duì)下述問題的求解

(12)

2 火箭投送軌道Gauss偽譜法優(yōu)化模型

2.1 火箭投送軌道上升段動(dòng)力學(xué)模型

本文研究的火箭為三級(jí)固體火箭，該火箭采用三級(jí)固體發(fā)動(dòng)機(jī)和液體末助推的串聯(lián)式結(jié)構(gòu)布局，其整個(gè)飛行過程可分為：一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)動(dòng)力飛行段以及末助推段。為了簡化對(duì)問題的描述，此處假設(shè)地球?yàn)閳A球體，選擇地心赤道坐標(biāo)系作為參考坐標(biāo)系，在該坐標(biāo)系下建立火箭空間投送的動(dòng)力學(xué)方程為[12-14]

(13)

式中:μ=GM為地球引力常量；T為投送火箭的發(fā)動(dòng)機(jī)推力；Isp為投送火箭的發(fā)動(dòng)機(jī)比沖；r(t)=(rx,ry,rz)T為投送火箭的位置矢量；v(t)=(vx,vy,vz)T為投送火箭的速度矢量；u=(ux,uy,uz)T為投送火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的推力方向；氣動(dòng)阻力D=(Dx,Dy,Dz)T可表述為

(14)

式中:CD為阻力系數(shù);Arel為投送火箭的參考面積;ρ為大氣密度;vrel為相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。其中ρ的計(jì)算式為

ρ=ρ0e-h/h0,

(15)

式中:ρ0=1.225 kg/m3；h0=7 110 m。

(16)

2.2 約束條件

對(duì)于邊界約束條件。對(duì)火箭直接上升投送軌道而言，火箭的初始位置已知，只是發(fā)射時(shí)刻未定，因此將終端約束定為xf，yf，zf，當(dāng)優(yōu)化時(shí)間tf，獲得時(shí)，則可確定發(fā)射時(shí)刻。

對(duì)于路徑約束條件。其中，火箭飛行的高度約束為

|r|≥Re.

(17)

火箭推力方向約束為

|u|=1.

(18)

火箭動(dòng)壓約束為

(19)

火箭視加速度約束為

(20)

對(duì)于連接點(diǎn)約束條件。火箭投送軌道的4個(gè)飛行段通過3個(gè)連接點(diǎn)連接，這3個(gè)連接點(diǎn)處的約束為

(21)

2.3 目標(biāo)函數(shù)

本文研究的固體火箭在飛行過程中，前三級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)均采用耗盡關(guān)機(jī)工作模式。因此，火箭投送軌道優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)可選取為末段助推消耗液體推進(jìn)劑質(zhì)量最小，即末助推級(jí)工作結(jié)束后的火箭剩余質(zhì)量最大，目標(biāo)函數(shù)具體可以表述為

J=-m(4)(tf).

(22)

2.4 軌跡快速優(yōu)化策略

應(yīng)用Gauss偽譜法求解過程中，離散點(diǎn)的選取對(duì)設(shè)計(jì)變量的影響非常大，當(dāng)離散點(diǎn)數(shù)量過多時(shí)，計(jì)算量將大大增加，而且Gauss偽譜法計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)不能充分體現(xiàn)，甚至由于選擇初值不恰當(dāng)而使優(yōu)化問題收斂到不可行解，這樣最優(yōu)化問題無法得到解決，火箭快速投送最優(yōu)化軌道便陷入死結(jié)。為了解決這一問題，經(jīng)過多次探索實(shí)踐，最終形成了比較好的解決方案，在此本文提出策略為：首先構(gòu)造設(shè)計(jì)變量的初值生成器，隨后在各飛行段通過采用較少的節(jié)點(diǎn)來計(jì)算近似的最優(yōu)軌跡和控制變量，再以此作為下一步利用較多節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算的初值。此策略不僅可以較好解決初值選擇不恰當(dāng)而得不到可行解的問題，而且可以有效發(fā)揮Gauss偽譜法計(jì)算效率高的特點(diǎn)。

2.5 仿真優(yōu)化與結(jié)果分析

假設(shè)本文采用的用于空間投送的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)如表1所示，其中，液體末助推級(jí)干重為200 kg，推進(jìn)劑質(zhì)量為250 kg，比沖為300 s，推力為2 000 N。該型火箭空間投送的有效載荷為400 kg，投送火箭整流罩的質(zhì)量為200 kg。

表1 投送火箭發(fā)動(dòng)機(jī)性能參數(shù)Table 1 Performance parameters of rocket engines

假設(shè)火箭初始位置為r0=(2 196 550.3，-4 773 009.7,3 615 829.6)m，火箭投送終點(diǎn)位置為rf=(3 058 828.4,-3 883 092.5,4 532 124.3)m。選擇地心直角坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)系，在地心直角坐標(biāo)系下，火箭初始和終點(diǎn)位置均為該坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

本文優(yōu)化選擇的仿真條件為：CPU為920/2.67 GHz，內(nèi)存為4 G，操作系統(tǒng)為Windows 7，編譯環(huán)境為Matlab 7.1[15]。軌跡快速優(yōu)化策略采用Gauss偽譜法初值生成器優(yōu)化策略。在生成計(jì)算初值時(shí)，將火箭投送多個(gè)飛行段LG點(diǎn)的數(shù)量設(shè)定為5，在進(jìn)行精確計(jì)算時(shí)，將火箭投送多個(gè)飛行段LG點(diǎn)的數(shù)量設(shè)定為15。

假定2019-06-01T19：46：40為火箭投送空間目標(biāo)終點(diǎn)位置時(shí)刻。根據(jù)火箭投送軌道運(yùn)行的星下點(diǎn)軌跡，可將投送火箭發(fā)射點(diǎn)的天文經(jīng)度設(shè)定為106.394°，可將投送火箭的發(fā)射點(diǎn)天文緯度設(shè)定為37.715°。通過發(fā)射點(diǎn)的天文經(jīng)緯度坐標(biāo)以及目標(biāo)投送點(diǎn)位置坐標(biāo)，因而可求得發(fā)射點(diǎn)的瞄準(zhǔn)方位角為169.081°。通過仿真計(jì)算，火箭投送全程的飛行時(shí)間為280 s，因此，投送火箭發(fā)射時(shí)刻應(yīng)設(shè)定為2019-06-01T19：42：00。具體仿真結(jié)果如圖1～5所示。

圖1 推力方向變化曲線Fig.1 Thrust direction change curve

圖2 質(zhì)量變化曲線Fig.2 Mass change curve

將通過Gauss偽譜法進(jìn)行仿真計(jì)算得到的最優(yōu)軌跡數(shù)值與通過數(shù)值仿真計(jì)算得到的軌跡數(shù)值進(jìn)行對(duì)比分析，可以得到上述2種方法對(duì)于投送終端位置的計(jì)算誤差分別為：Δx=1.563 m，Δy=0.273 m,Δz=0.421 m。從2種方法的計(jì)算誤差可以看出，采用Gauss偽譜法進(jìn)行火箭投送軌道優(yōu)化計(jì)算具有較高的求解精度。其中，從仿真圖1可以看出，控制變量對(duì)于投送火箭推力方向變化比較平緩，此結(jié)果表明在火箭各級(jí)分離點(diǎn)處，各飛行段前一階段末端控制變量與后一階段初始控制量之間的誤差很小，從而證明了采用的邊界控制變量值這一計(jì)算方法計(jì)算精度比較高。從整個(gè)仿真來看，火箭投送軌道優(yōu)化所用總時(shí)間為113.4 s，其中，初值生成時(shí)間為65.1 s，精確計(jì)算時(shí)間為48.3 s。傳統(tǒng)優(yōu)化算法，用時(shí)約為420 s左右，相對(duì)于傳統(tǒng)優(yōu)化算法，Gauss偽譜法計(jì)算效率較高，優(yōu)勢(shì)明顯。通過上述仿真計(jì)算結(jié)果可以看出，Gauss偽譜法可以用于火箭空間快速投送軌道優(yōu)化，并且具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。

圖3 x軸位置變化曲線Fig.3 x-axis position change curve

圖4 y軸位置變化曲線Fig.4 y-axis position change curve

圖5 z軸位置變化曲線Fig.5 z-axis position change curve

3 結(jié)束語

利用火箭投送距離遠(yuǎn)、運(yùn)動(dòng)位勢(shì)高的特點(diǎn)，將打擊載荷或二次平臺(tái)投送到空間，從太空發(fā)起進(jìn)攻成為未來戰(zhàn)爭的一種重要作戰(zhàn)方式。本文針對(duì)火箭空間快速投送軌道優(yōu)化問題，利用Gauss偽譜法計(jì)算效率高、準(zhǔn)確性好、魯棒性優(yōu)的特點(diǎn)，建立了優(yōu)化模型并進(jìn)行了仿真計(jì)算，結(jié)果表明該方法的可行性。本文的研究是將地球假設(shè)為圓球體，相應(yīng)的模型建立與實(shí)際還有不小的差距，所得出的結(jié)果只是對(duì)方法的可行性進(jìn)行了論證，下一步，將建立精確的地球軌道模型進(jìn)行精確求解，從而為火箭空間快速投送實(shí)際應(yīng)用提供理論借鑒和參考。