提升高中數(shù)學(xué)解題效率的幾個(gè)方法

孫壽駿 指導(dǎo)教師：李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué)高三2班 830002)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不是簡簡單單地重復(fù)計(jì)算、學(xué)習(xí)公式，而是提高同學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)鍛煉我們的思維方式、數(shù)理邏輯、空間想象.我們可以從最基礎(chǔ)的分類討論中學(xué)習(xí)到考慮問題時(shí)，需要有耐心、全面地剖析問題.很多同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，都覺得較為困難，很難學(xué)好，不容易獲得高分，是因?yàn)楹芏嗤瑢W(xué)思維能力、計(jì)算能力不夠，解題速度較慢造成的.我將學(xué)習(xí)過程中總結(jié)的一些解題方法分享如下.

一、回歸課本，找到支撐

數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)教學(xué)的最重要的材料，它是數(shù)學(xué)工作者集體智慧的結(jié)晶，不僅具備完整的知識(shí)體系，更具有權(quán)威性.

現(xiàn)在，很多同學(xué)忽視課本，甚至丟掉課本，悶頭做題.比如在學(xué)圓錐曲線時(shí)，大家以為橢圓只有一個(gè)定義：平面內(nèi)，到定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(該常數(shù)大于|F1F2|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫橢圓.其實(shí)在書中的例題提到了另外的兩個(gè)定義，其一是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與它到直線l的距離之比等于一個(gè)常數(shù)e(定點(diǎn)F不在定直線l上，且該常數(shù)e滿足0

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這條康莊大路上，我認(rèn)為課本中課后的探究與發(fā)現(xiàn)、閱讀與思考是值得我們?nèi)ネ魄米聊サ?，雖然其中的內(nèi)容老師可能草草帶過或不講，但其中的內(nèi)容詳實(shí)有趣.比如：在選修2 -3的課本中，推導(dǎo)的必修3中的線性回歸方程，雖然最后有幾步難以理解是如何轉(zhuǎn)化的，但正因?yàn)樽约哼€不會(huì)，才應(yīng)更加努力地去學(xué)習(xí)，來豐富自我.

二、靈活變換思路，分步求解

一些立體幾何問題因思考的角度不同，導(dǎo)致認(rèn)識(shí)不一定準(zhǔn)確，只有多變換思路，才能發(fā)現(xiàn)其本質(zhì).

例1 已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)，均在球面O上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E,F分別為PA、PB的中點(diǎn)，∠CEF=90°,求球O的體積.

解∵∠CEF=90°,

∴CE⊥EF.

∵EF∥PB,∴CE⊥PB.

取AC中點(diǎn)O,∵O為AC中點(diǎn)，且BC=BA,PC=PA,

∴BO⊥AC,PO⊥AC.

又∵BO∩PO=O,

∴AC⊥平面POB,∴PB⊥AC.

∵PB⊥AC,CE⊥PB,CE∩AC=C,

∴PB⊥平面PAC.

根據(jù)我們所計(jì)算出的結(jié)果，我們可以重新畫出圖，如圖2，方便解題.

不妨設(shè)球O的半徑為R,則可得：

三、數(shù)形結(jié)合，突破難點(diǎn)

在數(shù)學(xué)解題過程中，我們經(jīng)常會(huì)不知所措，這時(shí)我們不僅可以多讀題目，提取有用信息，也可以畫個(gè)圖來幫助理解和解題.尤其是在解導(dǎo)數(shù)題、函數(shù)題、圓錐曲線、平面幾何、立體幾何中，畫個(gè)較為準(zhǔn)確的草圖，會(huì)使解題思路更加清晰，解題事半功倍.

首先繪圖,分析圖形,我們很容易發(fā)現(xiàn)四個(gè)面是全等的三角形，如此規(guī)則的圖形，我們可以猜測它是切割出來的，并且是以相同方式切割出的,在我們所學(xué)過的知識(shí)當(dāng)中,正四面體是由正方體以同一種方式所切割出來的,那么我們可以猜測該圖形是由長方體以某種方式切割出來的.

四、依托特殊值，提高解題速度

特殊值和固定的結(jié)論對(duì)于解題大有裨益，所以我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)留心去記憶他們.如lg2=0.3，lg5=0.7，e=2.7，1rad=57.30°，比如一條拋物線y2=2px(p>0),存在A、B兩點(diǎn)在拋物線上，且∠AOB=90°,則直線AB必過定點(diǎn)(2p,0).如果我們能將它們記住,在小題的解題中會(huì)又快又準(zhǔn).

解因?yàn)閍=21.2>20.2=b>1，c=2log52=log54∈(0,1)，所以a>b>c.

五、巧設(shè)方程，破解難題

在解析幾何中為了解題簡捷，我認(rèn)為首先,應(yīng)當(dāng)熟記直線方程的各種形式及其使用范圍，并進(jìn)行恰當(dāng)選擇：

1.點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0)(k存在)；

2.斜截式：y=kx+b(k存在)；

5.一般式：Ax+By+C=0；

6.直徑式：(x-x1)(x2-x1)+(y-y1)(y2-y1)=0(其中((x1,y1)、(x2、y2)是圓中直徑的端點(diǎn))；

7.斜截式變式：x=ty+a(直線斜率不為0)；

以直線方程與圓錐曲線結(jié)合時(shí)為例,如果我們恰當(dāng)選擇了方程，如其中斜截式和斜截式的變式解題便可以由繁入簡.例如如果直線傾斜角不為0,但卻存在α=90°時(shí),我們可以使用x=ty+a，這會(huì)使我們運(yùn)算簡便,避免未分類討論的失誤.

例4 圓x2+y2=4切線交y2=8x于A、B兩點(diǎn)，∠AOB=90°，求切點(diǎn)的橫坐標(biāo).

因?yàn)椤螦OB=90°，所以直線必過點(diǎn)(8,0).

六、特值驗(yàn)證，估算取勝

在我們學(xué)習(xí)到了冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)后，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些令人難以琢磨的無理數(shù)，在做題過程中，有時(shí)我們無法判斷他們的具體數(shù)值，此時(shí)我們可以估算求解.還有的題求解十分困難，譬如2019年高考全國二卷中的12題，這時(shí)我們便可使用大膽代值的技巧.

例5 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足f(x+1)=2f(x)，且當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)=x·(x-1)，若對(duì)任意x∈(-,m)都有則m的取值范圍為( ).

解由題可知f(x+1)=2f(x),即將(0,1]的圖象向左移一個(gè)單位并將其值域縮小一半，將(0,1]的圖象向右移一個(gè)單位并將值域擴(kuò)大到兩倍.示意圖如圖3.

總而言之，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，要不斷地總結(jié)、歸納，將課本上的知識(shí)，老師傳授的解題方法技巧，同學(xué)們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)變?yōu)樽约旱臇|西，才能讓自己在解題能力上不斷進(jìn)步，從而加快解題速度，在考試中取得更好的成績.