高考和模擬題中的十類敗題與錯題

劉彥永

(吉林省長春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué) 130000)

類型一：題目不嚴(yán)謹(jǐn)

1.(2014年高考山東理6題)直線y=4x與曲線y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為( ).

敗因：因?yàn)榈谝幌笙迌?nèi)沒有坐標(biāo)原點(diǎn)，所以直線y=4x與曲線y=x3在第一象限內(nèi)不可能圍成封閉圖形，將“第一象限內(nèi)”改為“第一象限及其邊界上”．

2.(2003年高考江蘇1題)如果函數(shù)y=ax2+bx+a的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，則點(diǎn)(a,b)在aOb平面上的區(qū)域(不包含邊界)為( ).

敗因：本題標(biāo)準(zhǔn)答案給的是C，但由a≠0知對應(yīng)圖形中不包含b軸，應(yīng)畫為虛線.

點(diǎn)評以上兩題屬于敗題，雖然不影響作答，但作為高考的權(quán)威性和引用的廣泛性，還是要注意表述上的嚴(yán)謹(jǐn).

類型二：用詞不明確

3.(2017年高考北京理數(shù)8)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48)( ).

A.1033B.1053C.1073D.1093

(1)將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱CC1上，求l沒入水中部分的長度；

(2)將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒入水中部分的長度．

錯因：“沒入”既可以理解為入水，也可以理解為未入水，學(xué)生不同的理解就會得出不同的答案.

點(diǎn)評：命制試題時要注意用詞不能引起歧義.

類型三：設(shè)問不適宜

5.已知函數(shù)f(x)=2ex-x3ex.

(1)求函數(shù)f(x)在(0,f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)≤0，證明：a≤1-b.

敗因：對于(2)問，因?yàn)閒(x)≤0，所以f(1)=a-1+b≤0，直接得結(jié)論a≤1-b.

點(diǎn)評上述兩題來自高三模擬試題，設(shè)問可以由條件直接快速得出，失去了壓軸題考查學(xué)生能力和區(qū)分水平的功效，在試題命制中應(yīng)反復(fù)斟酌，避免這類“烏龍”題.

類型四：定義不符合

7.若f(cosx)=sin2x，則f(sinx)=( ).

A.sinxB.-sin2xC.cosxD.-cos2x

點(diǎn)評不符合函數(shù)定義的這類題目在教輔資料里比較多見，對函數(shù)概念不清的學(xué)生造成了很大困擾.

類型五：結(jié)果不檢驗(yàn)

8.(2013年高考浙江理15題)設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)P(-1,0)的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)．若|FQ|=2，則直線l的斜率等于____.

點(diǎn)評在數(shù)學(xué)解題過程中，要注意變形的等價性，也要注意對結(jié)果的檢驗(yàn)，尤其是出現(xiàn)答案多解的情況更要提高警惕.

類型六：“模型”不存在

9.一個等比數(shù)列{an}共有2n+1項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則an+1為.

錯因一方面，由a1a3…a2n+1=100，a2a4…a2n=120作商有

點(diǎn)評這類錯題可謂“深藏不露”，若不深入探究不知“錯”在哪里，還會自以為“是”，因此是流傳更為廣泛的一類錯題.

類型七：“模型”不唯一

11.(2010年福建高考理12題)若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖1所示，則其表面積等于.

錯因標(biāo)準(zhǔn)答案是按照圖2給出，事實(shí)上，根據(jù)條件得到的三棱柱可能是圖3(調(diào)整角度后的圖，便于讀者理解)，即側(cè)棱未必與底面垂直，這樣本題的答案就不確定了.

點(diǎn)評這類錯題產(chǎn)生的原因就是條件過于“開放”，導(dǎo)致模型不唯一，此類錯題多出現(xiàn)在立體幾何試題中，如，給定的三視圖對應(yīng)的幾何體未必是唯一的.

類型八：條件不相容

12.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足條件f(x+2)=-f(x)，當(dāng)-2

A.-1 B.0 C.2017 D.2018

事實(shí)上，定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足則f(x+2)=-f(x)，則也有f(-x-2)=f(x)，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，與-2

點(diǎn)評題目的已知條件制約關(guān)系太多，若充分挖掘就會發(fā)現(xiàn)自相矛盾，這也是一類流傳較多的錯題，值得關(guān)注.

類型九：答案不正確

13.(2005年福建理12題)若f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f(2)=0，在區(qū)間(0,6)內(nèi)f(x)=0的解的個數(shù)的最小值是( ).

A.3 B.4 C.5 D.6

錯因本題標(biāo)準(zhǔn)答案給的是C，根據(jù)條件容易知道f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0，忽略了f(1.5)=f(4.5)=0，故正確答案應(yīng)該是7.

類型十：試題不可解

14.不等式(x-1)2

點(diǎn)評可以將本題改編為“不等式(x-1)2>logax對x∈(0,1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.”遇到錯題時可以適當(dāng)交給學(xué)生探究和討論，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著學(xué)會解題，而想要學(xué)會解題，好的數(shù)學(xué)題目是關(guān)鍵.我們急需深刻總結(jié)和反思命制好題的經(jīng)驗(yàn)，更要汲取錯題命制的教訓(xùn)，力爭命制出高質(zhì)量的好題.