強(qiáng)化求導(dǎo)后的“運(yùn)算” 彰顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

許國行

(江蘇省板浦高級中學(xué) 222021)

一、直接求解型

例1求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x的單調(diào)區(qū)間.

解與析先令f′(x)=3x2-6x-9>0，即可直接解出該不等式的解：x<-1或x>3，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-,-1)和(3,+)，減區(qū)間為(-1,3).

注此題在求導(dǎo)后, 解不等式f′(x)>0時, 直接利用一元二次不等式知識求解即可.

二、觀察求解型

例2若對任意x∈(1,+), 不等式ex(x-1)-x-a>0都成立, 求實數(shù)a的取值范圍.

解與析分參后得: ex(x-1)-x>a恒成立, 令f(x)=ex(x-1)-x, 即轉(zhuǎn)化為求a0,即xex-1>0, 因為x>1, 所以ex>e,即xex>1×e=e,即不等式xex-1>0在x∈(1,+)內(nèi)恒成立, 從而f′(x)>0在x∈(1,+)內(nèi)恒成立, 所以f(x)在x∈(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增, 即f(x)>f(1)=-1, 所以a≤-1.

此題在求導(dǎo)后, 解不等式f′(x)>0時, 此不等式xex-1>0不是常規(guī)的一元一次不等式或一元二次不等式, 不能夠直接求解, 需要通過觀察來幫助求解，重在觀察的意識和觀察的方向，可觀察其范圍和單調(diào)性來輔助求解不等式.

三、引值求解型

例3已知函數(shù)f(x)=ex-lnx，求證：f(x)>2.

同理可得：x∈(x0,+)時,f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(x0,+)上遞增.故f(x)min=f(x0)=ex0-lnx0.

四、二次求導(dǎo)型

例4不等式ex-x2-m>0對任意的x∈(0,+)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解與析分參后得: ex-x2>m恒成立, 即m<(ex-x2)min.設(shè)f(x)=ex-x2, 令f′(x)=ex-2x>0,再設(shè)h(x)=f′(x)=ex-2x, 令h′(x)=ex-2>0,得x>ln2,所以h(x)在(0,ln2)內(nèi)遞減,在(ln2,+)內(nèi)遞增, 即h(x)min=h(ln2)=eln2-2ln2=2-2ln2=2(1-ln2)>0,所以h(x)=f′(x)>0在x∈(0,+)恒成立, 從而f(x)在x∈(0,+)內(nèi)為遞增函數(shù), 即f(x)>f(0)=1,所以a≤1.

注此題在求導(dǎo)后, 解不等式f′(x)=ex-2x>0時,觀察法,或圖像法都不能夠順利求解，只好選擇二次求導(dǎo),再研究h(x)=f′(x)=ex-2x的單調(diào)性,從而順利證出f(x)在x∈(0,+)內(nèi)為遞增函數(shù),即可求出最值.近年來,各省市的高考數(shù)學(xué)卷的中檔及以下習(xí)題的分值, 約占百分之八十,每年閱卷老師都發(fā)現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算方面失分較為嚴(yán)重, 制約了數(shù)學(xué)水平的提升,關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)問題,它還涉及學(xué)生的心理,運(yùn)算的策略及運(yùn)算的習(xí)慣等諸多因素,希望在平時的教學(xué)中老師和學(xué)生都能及時研究數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升.

五、問題的變式

變式已知函數(shù)f(x)=|x-a|+ex.

(1)若a=2,求函數(shù)f(x)的最小值;

(2)對任意的x∈(0,+),不等式f(x)≥4恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

六、教學(xué)啟示

1.運(yùn)算能力未必是教出來的

解題是基本的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形式之一,一位教師要面對多位思路活躍且思維有差異的學(xué)生,有些運(yùn)算思路并不是教出來的,是學(xué)生自己根據(jù)經(jīng)驗和知識儲備構(gòu)建出來的,有時雖不完美或順暢, 但其運(yùn)算思路值得關(guān)注和借鑒,教師若只是一味地將成功的運(yùn)算方法呈現(xiàn)給學(xué)生,讓其模仿,顯然是不夠的,不同的學(xué)生,不同的想法,都有其合理性,完善和拓展其運(yùn)算的思路或方向是老師的責(zé)任和義務(wù),這有利于學(xué)生和老師自己的運(yùn)算能力的提升.

2.給學(xué)生展示運(yùn)算的機(jī)會

快節(jié)奏的多輪復(fù)習(xí),是現(xiàn)在高三復(fù)習(xí)的特有現(xiàn)象,然而也忽略了給學(xué)生展示的機(jī)會,有些老師也就是能給學(xué)生展示思維方法的機(jī)會,很少能給學(xué)生自己運(yùn)算的機(jī)會,認(rèn)為方法有了,就能得分,這是片面的想法,每年的高考閱卷,都發(fā)現(xiàn)學(xué)生的運(yùn)算能力才是決定高分的關(guān)鍵因素,因而我想提倡大家多給學(xué)生展示運(yùn)算的機(jī)會,老師與學(xué)生交流的陣地在課堂,課堂中要舍得給學(xué)生時間去驗算等,課下,組建學(xué)生學(xué)習(xí)研究小組,研究運(yùn)算方法,總結(jié)運(yùn)算的一些技巧等.

3.多激發(fā)學(xué)生思維，在比較中提升學(xué)生的運(yùn)算能力

羅增儒教授在文獻(xiàn)中指出：一個數(shù)學(xué)問題，如果我們只有一個解法，不管是自己想出來的還是翻答案看到的，都肯定會存在認(rèn)識上的局限性.只有在得出兩個或多個解法之后，才會對問題的實質(zhì)有真正的了解，才能體會不同的思維所引起的不同運(yùn)算方式，學(xué)生的運(yùn)算能力在不同的思維中得以比較，提升學(xué)生對常規(guī)習(xí)題的運(yùn)算能力.