基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題例談

葉 珊

(福建省福安市第一中學(xué) 355000)

一、求解最值問(wèn)題

作為函數(shù)最值求解的一大重要工具，基本不等式在利用時(shí)要注意相應(yīng)的條件“一正、二定、三相等”.特別在配湊應(yīng)用時(shí)，要注意條件成立的條件，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng)利用基本不等式求解代數(shù)式的最值問(wèn)題中，運(yùn)用時(shí)往往需對(duì)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃?常用的變形技巧是：配方、拆添項(xiàng)、配湊因子和平方等)，創(chuàng)造應(yīng)用基本不等式的條件，要注意應(yīng)用條件“一正、二定、三相等”．

二、求解參數(shù)值問(wèn)題

在解決一些參數(shù)值的求解問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常借助基本不等式來(lái)處理，破解的關(guān)鍵是先通過(guò)猜測(cè)確定參數(shù)值，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式的等號(hào)成立時(shí)的條件來(lái)求解相應(yīng)的參數(shù)值問(wèn)題．

點(diǎn)評(píng)應(yīng)用基本不等式解決一些問(wèn)題時(shí)，往往要考慮等號(hào)成立時(shí)所滿足的條件，此時(shí)也為求解相應(yīng)的參數(shù)值提供條件．特別碰到一些已知相關(guān)的方程問(wèn)題來(lái)破解對(duì)應(yīng)參數(shù)值問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)合關(guān)系式的展開，利用基本不等式的應(yīng)用，再結(jié)合相關(guān)的不等式、方程等來(lái)確定相應(yīng)的參數(shù)值問(wèn)題．

三、處理恒等式問(wèn)題

在處理相關(guān)的恒等式問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是進(jìn)行合理分離參數(shù)，把相關(guān)原參數(shù)的取值范圍問(wèn)題化歸為相應(yīng)函數(shù)的最值問(wèn)題，再利用基本不等式來(lái)處理與解決.特別注意：a>f(x)恒成立?a>[f(x)]max，a

例3若函數(shù)f(x)=32x-(k+1)3x+2，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)>0恒成立，則k的取值范圍是( ).

點(diǎn)評(píng)將不等式恒成立問(wèn)題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化與化歸，得以轉(zhuǎn)化為參數(shù)恒成立問(wèn)題，再利用關(guān)系式的變形與配湊，借助函數(shù)的基本性質(zhì)與基本不等式來(lái)解決相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題，從而得以確定參數(shù)的取值范圍.注意在此過(guò)程中，經(jīng)常采用參數(shù)分離法來(lái)轉(zhuǎn)化.

四、確定取值范圍問(wèn)題

利用基本不等式確定相應(yīng)代數(shù)式的取值范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是巧妙借助基本不等式的變式加以應(yīng)用，從不同的角度確定相應(yīng)代數(shù)式的最大值與最小值即可．

例4(2018屆江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高三第四次模擬·14)已知x，y均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且x+y≤1，則4x2+4y2+(1-x-y)2的取值范圍為____．

點(diǎn)評(píng)根據(jù)基本不等式的有效轉(zhuǎn)化，通過(guò)不等式的確定2(x+y)2≤4(x2+y2)≤4(x+y)2，結(jié)合參數(shù)的引入，分別利用代數(shù)式的變換以及二次函數(shù)的配方，并結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)確定相應(yīng)的最大值與最小值，利用兩邊夾定理加以綜合，從而得以簡(jiǎn)單快捷破解．

五、證明不等式問(wèn)題

作為基本不等式的一大應(yīng)用，也經(jīng)常用來(lái)證明一些相關(guān)的不等式問(wèn)題.與綜合法相結(jié)合，借助所證明不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用基本不等式來(lái)轉(zhuǎn)化與處理．

點(diǎn)評(píng)利用基本不等式來(lái)證明對(duì)應(yīng)的不等式時(shí)，要注意基本不等式的結(jié)構(gòu)特征，與所要證明的不等式加以合理比較，進(jìn)行合理的化歸與轉(zhuǎn)化.證明時(shí)的關(guān)鍵就是對(duì)相應(yīng)的不等式進(jìn)行必要的變形與轉(zhuǎn)化，再結(jié)合基本不等式加以應(yīng)用.

六、解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

在解決實(shí)際問(wèn)題中，基本不等式也是用來(lái)解決最優(yōu)化問(wèn)題的一大工具.實(shí)際應(yīng)用時(shí)，要注意基本不等式的條件與實(shí)際問(wèn)題之間的聯(lián)系與區(qū)別.

例6(2017·江蘇·10)某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是____．

點(diǎn)評(píng)本題考查實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，基本不等式，考查應(yīng)用意識(shí)，運(yùn)算求解能力．此類問(wèn)題與求解最值問(wèn)題差不多，只是要根據(jù)實(shí)際生活問(wèn)題，往往對(duì)參數(shù)的取值有一定的限制，如取整點(diǎn)值、取正數(shù)值等，要與實(shí)際問(wèn)題相吻合．