習(xí)題設(shè)計(jì)漸臻數(shù)學(xué)猜想能力培養(yǎng)

周偉杰

摘要：猜想—驗(yàn)證—應(yīng)用是當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主流模式，可這種隨處可見(jiàn)的“猜想課堂”因?yàn)橐劳谢A(chǔ)薄弱、數(shù)理邏輯違和、視域局限狹窄、表達(dá)方式單一等問(wèn)題，影響了學(xué)生猜想能力培養(yǎng)的正面展開(kāi)。本文以翔實(shí)的習(xí)題課例研究為載體，圍繞數(shù)學(xué)猜想內(nèi)容的設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)猜想時(shí)機(jī)的選擇、數(shù)學(xué)猜想方法地展開(kāi)這三個(gè)方面展開(kāi)論述，進(jìn)一步闡明了數(shù)學(xué)猜想能力培養(yǎng)的重要性。

關(guān)鍵詞：習(xí)題設(shè)計(jì)? ?數(shù)學(xué)猜想能力? ?培養(yǎng)

猜想，是一種不確定的預(yù)見(jiàn)，更是一種想象。數(shù)學(xué)猜想則是數(shù)學(xué)思維不斷發(fā)展的媒介，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本能力之一。在當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，因?yàn)榇嬖诓孪胍劳谢A(chǔ)薄弱、數(shù)理邏輯違和、視域局限狹窄、表達(dá)方式單一等諸多問(wèn)題，影響了學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力培養(yǎng)的正面展開(kāi)。因此，要想實(shí)現(xiàn)“猜想課堂”，教師必須以學(xué)生的思維操作為基礎(chǔ)，以實(shí)際應(yīng)用的分析與驗(yàn)證嘗試為動(dòng)力，以“猜想—驗(yàn)證—應(yīng)用”的科學(xué)認(rèn)知定位為目標(biāo)，從多層面、多角度激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究潛能。

一、基點(diǎn)：數(shù)學(xué)猜想內(nèi)容的設(shè)計(jì)

教會(huì)學(xué)生猜想的第一步是設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)猜想的內(nèi)容，因?yàn)橐粋€(gè)優(yōu)質(zhì)猜想內(nèi)容的設(shè)計(jì)，能讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)聯(lián)系的過(guò)程中，有意識(shí)地對(duì)知識(shí)的真?zhèn)蜗扰袛嘣龠x擇、先猜想再驗(yàn)證，通過(guò)多種感官的參與，獲得自身需求的最大化。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)合理選擇和運(yùn)用相關(guān)的教學(xué)素材，通過(guò)多種教學(xué)方法，設(shè)計(jì)新穎、實(shí)效的猜想內(nèi)容，這也是豐盈“猜想課堂”的重要方式之一。

1.因“境”而生的數(shù)學(xué)猜想

在設(shè)計(jì)猜想內(nèi)容時(shí)，教師必須兼顧數(shù)學(xué)教學(xué)資源的科學(xué)性，通過(guò)多種情境創(chuàng)設(shè)的載體作用，為猜想氛圍提供充足的時(shí)間和空間，促進(jìn)學(xué)生預(yù)見(jiàn)性思考的形成。

案例一：植樹(shù)問(wèn)題

片段呈現(xiàn)：

教師說(shuō)：“植樹(shù)節(jié)到了，希望小學(xué)給五（2）班布置了綠化植樹(shù)的任務(wù)，校門口到食堂的路程長(zhǎng)30米，要求五（2）班的學(xué)生在路的左側(cè)每隔6米植一棵樹(shù)，猜一猜，他們班一共植了幾棵樹(shù)？

學(xué)生1說(shuō)：“5棵。”

學(xué)生2說(shuō)：“我覺(jué)得是6棵。”

教師問(wèn)：“還有其他不同的想法嗎？”

學(xué)生3說(shuō)：“我覺(jué)得可能是4棵?！?/p>

教師問(wèn)：“這么多的猜測(cè)到底誰(shuí)的想法是正確的呢？大家能用自己喜歡的方法證明一下嗎？”

本課教學(xué)旨在通過(guò)猜測(cè)、驗(yàn)證（操作），讓學(xué)生理解植樹(shù)問(wèn)題的三種關(guān)系，并運(yùn)用這種關(guān)系模型解決日常生活中的其他問(wèn)題。因此，在本課教學(xué)中，教師融入了新穎的生活情境，為學(xué)生提供了猜想的平臺(tái)，讓學(xué)生在相互爭(zhēng)論中認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)驗(yàn)證的必要性，提高了學(xué)生的自主參與度，并感受了數(shù)學(xué)問(wèn)題隱藏的趣味性。

2.因“疑”而生的數(shù)學(xué)猜想

問(wèn)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起因，是知識(shí)獲取的經(jīng)過(guò)，更是知識(shí)運(yùn)用的最終結(jié)果。教師利用問(wèn)題引起學(xué)生猜測(cè)的本能，不僅能引導(dǎo)學(xué)生快速、準(zhǔn)確地接受知識(shí)，還能在解決問(wèn)題的過(guò)程中，促使學(xué)生形成猜想意識(shí)，提高學(xué)生積極思考問(wèn)題的能力。

案例二：三角形的分類練習(xí)

教師出示課件，如圖1所示：

圖1

教師問(wèn)：“有3個(gè)三角形被紙遮住了一部分，你能快速判斷出那是什么三角形嗎？”

學(xué)生1說(shuō)：“A是鈍角三角形，B是鈍角三角形，C是直角三角形?！?/p>

教師問(wèn)：“你們都是這樣想的嗎？”

學(xué)生2說(shuō)：“我覺(jué)得B也可能是直角三角形?！?/p>

教師問(wèn)：“哦，說(shuō)說(shuō)你的想法？”

學(xué)生2說(shuō)：“因?yàn)橛幸粋€(gè)角是直角的三角形是直角三角形，如果我們看到的這個(gè)角剛好是直角三角形中兩個(gè)銳角中的一個(gè)，那它不就是直角三角形嗎？”

教師問(wèn) ：“其他同學(xué)有什么想說(shuō)的嗎？”

學(xué)生3說(shuō)：“我贊同他的想法。這個(gè)可能是存在的，而且我想補(bǔ)充，這個(gè)三角形也可能是鈍角三角形。”

教師問(wèn)：“通過(guò)這個(gè)的練習(xí)，你們有什么話想說(shuō)？”

學(xué)生1說(shuō)：“只看到一個(gè)銳角，并不一定是銳角三角形?！?/p>

學(xué)生2說(shuō)：“判斷一個(gè)三角形的類型最好要確定兩個(gè)角?！?/p>

小學(xué)生的思維活動(dòng)是獨(dú)特又具有個(gè)性化的，經(jīng)常會(huì)有許多奇思妙想，但有時(shí)他們的猜想往往缺乏理論依據(jù)，這就需要教師隨時(shí)調(diào)整問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)提供的練習(xí)素材，通過(guò)想象和對(duì)比，運(yùn)用一些數(shù)學(xué)解題方法，對(duì)新情況、新問(wèn)題做出具有一定方向的、有理有據(jù)的猜想。本案例教學(xué)旨在通過(guò)三角形分類的練習(xí)，進(jìn)一步理解各種三角形的特征，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。在本教學(xué)案例中，教師利用三個(gè)被遮住一部分的三角形讓學(xué)生進(jìn)行辨析。為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)全面地思考問(wèn)題，教師通過(guò)“你們對(duì)他的想法有什么想說(shuō)的”這一問(wèn)題，將學(xué)生的猜想引到合理的方向，規(guī)避學(xué)生不切實(shí)際的猜想，達(dá)成練習(xí)的最終目標(biāo)。

二、焦點(diǎn)：數(shù)學(xué)猜想時(shí)機(jī)的選擇

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最初級(jí)的思維過(guò)程是指學(xué)生能最簡(jiǎn)單地分析、推理、探究一些數(shù)學(xué)表象，然后捕捉新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，這樣的能力可以廣義地稱之為猜想。猜想不是一種臆想，它除了以一定素材為載體，還需要以時(shí)機(jī)上的合理安排為依托，通過(guò)追溯學(xué)生猜想背后的想法，探究活動(dòng)開(kāi)展的立體面。

1.因操作萌發(fā)的數(shù)學(xué)猜想

天性好玩的小學(xué)生和抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之間存在很大的差異性，為了減少這樣的差異性，在數(shù)學(xué)練習(xí)過(guò)程中，教師應(yīng)給學(xué)生提供大量實(shí)踐操作的機(jī)會(huì)，有目的、有組織地讓學(xué)生觀察和操作，檢驗(yàn)猜測(cè)的科學(xué)性。這樣一來(lái)，不僅可以滿足學(xué)生的好奇心，還可以引導(dǎo)學(xué)生在觀察操作中進(jìn)行合理猜想。

案例三：長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)

片段呈現(xiàn)：

教師問(wèn)：“同學(xué)們，你們猜一猜長(zhǎng)方形的四條邊之間有什么關(guān)系？”

學(xué)生1說(shuō)：“上下兩條邊長(zhǎng)一些，左右兩條邊短一些。”

學(xué)生2說(shuō)：“上下兩條邊一樣長(zhǎng)，左右兩條邊一樣長(zhǎng)?！?/p>

教師說(shuō)：“我們來(lái)驗(yàn)證一下這些猜想正確嗎？你們有什么好方法能證明嗎？請(qǐng)小組之間交流一下，選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)驗(yàn)證自己的猜想?！?/p>

學(xué)生3說(shuō)：“我們組的結(jié)論是四條邊兩兩相等。我們選擇了用直尺測(cè)量，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩條長(zhǎng)邊是10厘米，是相等的。兩條短邊是7厘米，也是相等的?！?/p>

學(xué)生4說(shuō)：“我們想到折一折的方法，把長(zhǎng)方形上下對(duì)折，結(jié)果發(fā)現(xiàn)上下兩條邊完全重合，說(shuō)明上下兩條邊一樣長(zhǎng)。接著，又左右對(duì)折，發(fā)現(xiàn)也是重合的，證明兩條短邊一樣長(zhǎng)。”

教師說(shuō)：“通過(guò)量一量、折一折，我們驗(yàn)證了長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等?？磥?lái)猜測(cè)固然重要，但驗(yàn)證也很重要?！?/p>

科學(xué)研究證明，教師應(yīng)允許學(xué)生借用自己的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)進(jìn)行大膽的假說(shuō)創(chuàng)造。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師必須深入思考如何開(kāi)發(fā)學(xué)生的猜想能力。在本教學(xué)案例中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行了多種合理猜想，接著以小組合作交流的方式進(jìn)行了實(shí)踐活動(dòng)（操作驗(yàn)證），通過(guò)尺子量、圖形對(duì)折的方法，讓每個(gè)學(xué)生都調(diào)動(dòng)多種感官參與學(xué)習(xí)活動(dòng)。在整個(gè)探究過(guò)程中，學(xué)生不僅享受了學(xué)習(xí)的快樂(lè)，還探究了新知。

2.因聯(lián)想激發(fā)的數(shù)學(xué)猜想

猜想是一種創(chuàng)造新思維，每個(gè)人都有猜想的潛力，為了充分發(fā)揮學(xué)生的潛在能力，教師必須培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度觀察和思考遇到的問(wèn)題，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解釋數(shù)量關(guān)系與空間形式的能力。因此，教師要采取多種教學(xué)方法激活學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，挖掘?qū)W生的潛能，以相應(yīng)的習(xí)題為載體，不斷強(qiáng)化學(xué)生的思維習(xí)慣，促使學(xué)生迸發(fā)出創(chuàng)新的火花。

案例四：四邊形的分類綜合練習(xí)

片段呈現(xiàn)：

教師問(wèn)：“信封里是一個(gè)四邊形，猜一猜可能是什么形狀？（露出一個(gè)銳角）”

教師問(wèn)：“你能猜出它是哪種四邊形嗎？會(huì)是長(zhǎng)方形和正方形嗎？為什么？（露出一個(gè)直角）”

教師問(wèn)：“它會(huì)是什么形狀呢？可能是平行四邊形嗎？如果露出的這個(gè)角是鈍角呢？”

教師問(wèn)：“我們繼續(xù)猜，我這里的一個(gè)平面圖形可以剪成高相等的一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形，你們猜一猜，這個(gè)平面圖形原來(lái)是什么形狀？”

在本教學(xué)案例中，教師以“猜圖形”的游戲情境作為習(xí)題呈現(xiàn)的載體，通過(guò)層層遞進(jìn)的問(wèn)題情境進(jìn)行串聯(lián)，讓學(xué)生自覺(jué)聯(lián)系原有的知識(shí)儲(chǔ)備，合理猜測(cè)不同四邊形的特征。學(xué)生在加深理解四邊形知識(shí)的同時(shí)，也掌握了利用“遷移”的方法、“遷移”的思考方式來(lái)解決問(wèn)題。

三、落點(diǎn)：數(shù)學(xué)猜想方法的展開(kāi)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師反對(duì)將簡(jiǎn)單、有限的知識(shí)聚合視為學(xué)生學(xué)習(xí)的終極目標(biāo)，而是提倡通過(guò)漸進(jìn)式的處理方式，培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力，教會(huì)學(xué)生正確的猜想方法，并結(jié)合數(shù)學(xué)習(xí)題讓學(xué)生從多角度汲取知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，同時(shí)運(yùn)用學(xué)到的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。

1.因練習(xí)衍生的數(shù)學(xué)猜想

少鋪墊，少過(guò)程，是當(dāng)前教材呈現(xiàn)出的軟肋之處，這會(huì)讓學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)知識(shí)如嚼“頑石”，難以理解。因此，教師要從練習(xí)課的題源入手，進(jìn)行二度開(kāi)發(fā)，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，并借助新舊知識(shí)間的矛盾沖突，形成多次鋪墊，創(chuàng)設(shè)“豐厚”的內(nèi)隱，讓學(xué)生在此基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)正確的猜想。

圖2

筆者設(shè)計(jì)了一道練習(xí)題，如圖2所示，以5個(gè)裝有糖果的禮盒為學(xué)習(xí)的媒介，教師借用建構(gòu)主義的教學(xué)觀分層展開(kāi)，設(shè)計(jì)了框架式的題組，猜一猜每個(gè)禮盒里有多少顆糖果，以幫助學(xué)生正確地展開(kāi)猜想。

在第一層練習(xí)時(shí)，教師先讓學(xué)生無(wú)序地猜測(cè)每個(gè)盒子中糖果的顆數(shù)，并試著讓學(xué)生列出相應(yīng)的乘法算式。在廣泛獲取信息的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過(guò)討論、歸納發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：雖然猜的顆數(shù)不一樣，但都有5個(gè)幾，就可以用乘法算式5×（）來(lái)表示。緊接著，教師確定每盒的顆數(shù)是7，如果有9盒、20盒、100盒……n盒，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生試著列出相應(yīng)的乘法算式。在比較、歸結(jié)中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)雖然盒數(shù)都不一樣，都是表示有幾個(gè)7，就可以寫成7×（）。這樣一來(lái)，既拓寬了學(xué)生思維活動(dòng)的空間，又溝通了相同加數(shù)與相同加數(shù)的個(gè)數(shù)知識(shí)間的聯(lián)系，將無(wú)形的數(shù)學(xué)思想方法以問(wèn)題解決的方式加以鞏固，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深刻地反思與提煉，感悟數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值性。

2.因總結(jié)拓延的數(shù)學(xué)猜想

數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，雖隱于知識(shí)之中，卻無(wú)時(shí)無(wú)刻不主導(dǎo)著學(xué)生知識(shí)的形成與發(fā)展?？墒?，無(wú)形的數(shù)學(xué)思想方法最容易被教師忽視、隱藏，久而久之，就影響了學(xué)生知識(shí)的全面獲得。因此，在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要將猜想不斷延伸，深層次地挖掘教學(xué)素材背后的隱性思想方法，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深刻的反思與提煉，感悟猜想方法的價(jià)值。如在教授新內(nèi)容后，教師可以讓學(xué)生猜一猜以后可能學(xué)習(xí)什么內(nèi)容，也可以猜想今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容有什么作用。這樣一來(lái)，不僅能激發(fā)學(xué)生對(duì)后面知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣，還能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)更具系統(tǒng)性和完整性。

教學(xué)過(guò)程是一個(gè)不斷變化的過(guò)程，正是因?yàn)橛羞@樣或那樣的不確定，才使得知識(shí)獲得的過(guò)程更具生動(dòng)性。猜想是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要方法，為了最大限度地發(fā)揮猜想的價(jià)值，教師要從實(shí)際出發(fā)，把控和創(chuàng)造各種猜想因素和時(shí)機(jī)，靈活運(yùn)用科學(xué)的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理有效的猜想，并在完整驗(yàn)證的過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知水平的提升和思維的飛躍。

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（作者單位：浙江省天臺(tái)縣坦頭鎮(zhèn)中心小學(xué)）