分層教學(xué)在大學(xué)線性代數(shù)與解析幾何教學(xué)中的初探

檀健

【摘 要】分層教學(xué)是一種組織形式，并非是要將學(xué)生分等級(jí)，而是要讓學(xué)生在不同的“層”中，各有所長、各有發(fā)展。本文介紹了分層教學(xué)理論，在本研究中，根據(jù)大學(xué)線性代數(shù)課堂教學(xué)的實(shí)際情況進(jìn)行分層教學(xué)的分析和設(shè)計(jì)，初步探討了其在大學(xué)線性代數(shù)與解析幾何課程教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用。研究發(fā)現(xiàn)，分層教學(xué)在大學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)用具有較大的發(fā)展?jié)摿蛢r(jià)值。

【關(guān)鍵詞】分層教學(xué);線性代數(shù)與解析幾何;教學(xué)實(shí)踐;個(gè)性化教學(xué)

中圖分類號(hào)： G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2019）33-0125-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.33.062

Discussion on Stratified Teaching in Linear Algebra and Analytic Geometry Course

TAN Jian

（School of Science，Nanjing University of Posts & Telecommunications，Nanjing Jiangsu 210023，China）

【Abstract】Stratified teaching is an organizational form.The goal is not to classify students，but to allow students to develop themselves in different“l(fā)ayers”.In this paper，we introduce the theory of stratified teaching and discuss its application in the teaching practice of linear algebra and analytic geometry in universities.

【Key words】Stratified teaching;Linear algebra and analytic geometry;Teaching practice;Personalized teaching

信息化時(shí)代，各式各樣的技術(shù)不斷在推進(jìn)因材施教。當(dāng)下，技術(shù)還未發(fā)展到能夠?yàn)閭€(gè)性化學(xué)習(xí)提供完備的教學(xué)支撐。全球各個(gè)國家，尤其是我國，仍然無法脫離傳統(tǒng)的大班額的教學(xué)環(huán)境，教師無法隨時(shí)關(guān)注到每一位學(xué)生的情況，并在此基礎(chǔ)上做出即時(shí)反應(yīng)。這種情況下，分層教學(xué)作為實(shí)現(xiàn)個(gè)性化教學(xué)的重要途徑，應(yīng)當(dāng)受到關(guān)注。大學(xué)課堂學(xué)生來源多樣，有必要對(duì)學(xué)生差異進(jìn)行深入分析，進(jìn)行分層教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施。

0 引言

分層教學(xué)的實(shí)踐可追溯到1876年，在美國圣路易洲實(shí)行的Harris W.T.計(jì)劃，其目的是快速提升小學(xué)階段較聰明的學(xué)生的成績(jī)[1]。19世紀(jì)末20世紀(jì)初，為了解決學(xué)生水平參差不齊，留級(jí)嚴(yán)重的問題，“西方現(xiàn)代教育派”提出來在學(xué)校進(jìn)行分層教學(xué)的要求[2]。到20世紀(jì)末，分層教學(xué)已經(jīng)在全球范圍內(nèi)流行，包括澳大利亞、法國、日本、新西蘭、韓國等國家。目前來看，分層教學(xué)已經(jīng)成為英國、美國的傳統(tǒng)——美國高中主要采用學(xué)科分層模式，并開始豐富多樣的興趣班[2];在英國，90%以上的中小學(xué)都采用分層教學(xué)形式[3]。

近年來，由于高校招生數(shù)不斷擴(kuò)充，學(xué)生層次有著不小的差異，從而在高校里開展的分層教學(xué)實(shí)踐研究是非常必要的。本文主要以大學(xué)線性代數(shù)與解析幾何課程[4]為例，初步探討在大學(xué)課堂中實(shí)施分層教學(xué)法的重要性。

1 分層教學(xué)的實(shí)施

本文以理工科（非數(shù)學(xué)專業(yè)）的W班為例進(jìn)行分層教學(xué)理論的初步應(yīng)用的研究。W教學(xué)班包含2個(gè)行政小班，總共由71名學(xué)生構(gòu)成。首先，通過過程化管理與隨堂測(cè)驗(yàn)，根據(jù)測(cè)驗(yàn)成績(jī)對(duì)所在在班級(jí)的學(xué)生進(jìn)行同質(zhì)分組;再者，以學(xué)生為中心，為不同層次的學(xué)生設(shè)置不同的學(xué)習(xí)目標(biāo)與學(xué)習(xí)任務(wù);最后，在真實(shí)的課堂教學(xué)環(huán)境下實(shí)施線性代數(shù)的教學(xué)，時(shí)間為一個(gè)學(xué)期。整個(gè)學(xué)期分為三個(gè)階段進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，三個(gè)階段的教學(xué)情況如下。

在教學(xué)實(shí)施的第一個(gè)階段，主要講授行列式以及矩陣內(nèi)容。在課前隨機(jī)談話抽查提前了解所在班級(jí)的學(xué)生大致的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)期望，并根據(jù)課堂表現(xiàn)與前幾次的課后作業(yè)情況，并在此期間進(jìn)行第一次階段性測(cè)驗(yàn)，從而對(duì)W班的學(xué)生有更深入的了解，逐漸以262模式對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，即前20%的學(xué)生列為A組，中間60%的學(xué)生列為B組，其他列為C組。對(duì)于A組的學(xué)生，其教學(xué)目標(biāo)應(yīng)要高于為本專業(yè)制定的教學(xué)大綱要求，參考線性代數(shù)研究生入學(xué)考試大綱和數(shù)學(xué)類高等代數(shù)與解析幾何的教學(xué)要求;C組的教學(xué)目標(biāo)，能夠達(dá)到本專業(yè)要求的最低教學(xué)大綱的基本目標(biāo)，能保證基本知識(shí)與能力的培養(yǎng)，并有部分學(xué)生能在后面階段向B組靠近;B組的學(xué)生在保證完成現(xiàn)有的教學(xué)目標(biāo)基礎(chǔ)上，注意引導(dǎo)和適當(dāng)拔高，使得部分學(xué)生逐漸走向A組。

第一階段的日常教學(xué)課程中，要時(shí)時(shí)注意不同組學(xué)生們的學(xué)習(xí)狀態(tài)。在備課時(shí)候，教學(xué)設(shè)計(jì)要有層次感，先易后難，難度適中，結(jié)合不同組的學(xué)生設(shè)計(jì)若干引例與例題。在課堂教學(xué)時(shí)候，要注意不同組的學(xué)生的反饋，適當(dāng)調(diào)整教學(xué)速度與教學(xué)安排。比如，在教授矩陣的逆時(shí)候，從最簡(jiǎn)單的例子出發(fā)，啟發(fā)引導(dǎo)式學(xué)習(xí)，環(huán)環(huán)相扣，得到矩陣可逆的充分必要條件，并給出其嚴(yán)格的證明。最后針對(duì)3組學(xué)生設(shè)計(jì)3道難度不同的例題，從具體到抽象，從而培養(yǎng)學(xué)的數(shù)學(xué)思維，而不僅僅是形式上的邏輯推導(dǎo)或機(jī)械性計(jì)算。

教學(xué)第二階段主要講授空間解析幾何與向量運(yùn)算、n維向量以及線性方程組。在該階段，學(xué)生在該課程學(xué)習(xí)的分層更加明顯。通過進(jìn)一步談話抽查，A組學(xué)生往往有繼續(xù)深造的意向，他們都有非常強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)欲望，知識(shí)掌握扎實(shí)且不滿足現(xiàn)有的課程內(nèi)容;然而C組有部分學(xué)生僅僅是為了應(yīng)付考試，學(xué)習(xí)主動(dòng)性不強(qiáng)。對(duì)于前者，在課余時(shí)間補(bǔ)充適當(dāng)?shù)膬?nèi)容，并給出一些指導(dǎo)建議，還可以運(yùn)用思維導(dǎo)圖等工具讓學(xué)生回顧知識(shí)，逐漸形成自己的線性代數(shù)與解析幾何的智慧圖，最終對(duì)線性代數(shù)有著更系統(tǒng)與全面的認(rèn)識(shí)。對(duì)于后者，通過談話與交流，讓學(xué)生意識(shí)到課程的重要性，并適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行集中輔導(dǎo)與個(gè)別輔導(dǎo)。尤其在教學(xué)過程中，結(jié)合不同層次的學(xué)生，在教授新的知識(shí)也可以適當(dāng)復(fù)習(xí)前一階段的知識(shí)。比如，在講授向量組的線性相關(guān)性時(shí)候，可以通過線性方程組來引入相關(guān)概念并利用線性方程組解的判定定理來得出等價(jià)定義，然后再回到空間向量的平行和共面的關(guān)系上，最后給出若干個(gè)向量組的線性相關(guān)性判定定理及其嚴(yán)格證明。這樣從具體到抽象，再到具體，最后又回到抽象。這樣既能滿足不同層次的學(xué)生的需求，也能達(dá)到既定的教學(xué)目標(biāo)。

第三個(gè)階段開始講授矩陣相似對(duì)角化與二次型。在第三階段開始前，我們進(jìn)行了第二次階段性測(cè)驗(yàn)。通過測(cè)驗(yàn)的結(jié)果顯示，學(xué)生分層是個(gè)動(dòng)態(tài)演變的過程，一些B組學(xué)生進(jìn)入了A組，一些C組學(xué)生進(jìn)入了B組，W班的學(xué)生慢慢形成了361模式。最后除了C組這一小部分學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣仍然不夠好，且學(xué)習(xí)態(tài)度不夠端正，絕大部分學(xué)生都展現(xiàn)出比較積極的學(xué)習(xí)狀態(tài)。對(duì)于C組的學(xué)生，通過聯(lián)系輔導(dǎo)員和班主任，深入了解這些學(xué)生的情況后進(jìn)行相應(yīng)的個(gè)別輔導(dǎo);A組與B組的學(xué)生繼續(xù)保持目前學(xué)習(xí)狀態(tài)，完成或者超額完成教學(xué)目標(biāo)。由于最后兩章會(huì)反復(fù)利用前面章節(jié)的概念與知識(shí)，為了帶動(dòng)中后層的學(xué)生復(fù)習(xí)，在教學(xué)安排中會(huì)注意適當(dāng)溫習(xí)前面的知識(shí)。因此在教學(xué)題目的講解中，可以借助思維導(dǎo)圖等工具將解題思路理清。比如，在講授用正交變換法將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型的時(shí)候，可以將矩陣、行列式、線性方程組、特征值、特征向量、正交化、線性無關(guān)等各個(gè)概念串聯(lián)一起，這樣可以有效地提高大學(xué)生的線性代數(shù)知識(shí)吸收效率。

通過三個(gè)階段的分層教學(xué)實(shí)施，在實(shí)踐中不斷調(diào)整和完善課程目標(biāo)和內(nèi)容，最終完成了一個(gè)學(xué)期的線性代數(shù)的教學(xué)。值得一提的是，學(xué)生在分層教學(xué)的課堂中也取得了較好成績(jī)。

在課程評(píng)價(jià)中，針對(duì)線性代數(shù)與解析幾何課程，施行考教分離、流水批改試卷的評(píng)價(jià)策略。通過一個(gè)學(xué)期的分層教學(xué)實(shí)踐，我們?nèi)〉昧吮容^不錯(cuò)的成績(jī)。W班期末成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：90分以上（優(yōu)秀）人數(shù)占32.39%，80-89分（良好）占39.44%，70-79分（中等）占15.49%，60-69分（及格）占4.23%，60分以下占8.45%。

2 結(jié)論與展望

實(shí)踐結(jié)果表明，分層教學(xué)在該課程中起了很重要的作用。面對(duì)不同的學(xué)生，洞察學(xué)生的特點(diǎn)，發(fā)揮每個(gè)學(xué)生的長處，因材施教。再者，通過關(guān)注每個(gè)層次的學(xué)生，結(jié)合過程化管理，精心做好教學(xué)設(shè)計(jì)，充分研討不同層次學(xué)生的教學(xué)方法，讓每位學(xué)生都能參與到課堂上來，由被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變成主動(dòng)學(xué)習(xí)。最終讓學(xué)生不僅僅在乎最后的期末成績(jī)，而且能夠愛上了線性代數(shù)與解析幾何這門課程。

本研究的分層教學(xué)模式比較單一，主要是使用了班內(nèi)同質(zhì)分組教學(xué)模式。我們還可以結(jié)合FEGA模式，即在一個(gè)共同的教學(xué)階段之后，根據(jù)學(xué)習(xí)能力將學(xué)習(xí)者分為高級(jí)學(xué)程、擴(kuò)充學(xué)程、基礎(chǔ)學(xué)程、接合學(xué)程，高級(jí)學(xué)程學(xué)習(xí)更多的擴(kuò)充材料，接合學(xué)程獲得更多的教學(xué)幫助。數(shù)學(xué)后進(jìn)生可選擇增加適量的學(xué)時(shí)并進(jìn)行集中輔導(dǎo)與個(gè)別輔導(dǎo)使其掌握基本知識(shí)，從而提高學(xué)業(yè)成績(jī);數(shù)學(xué)優(yōu)秀生可提供一些學(xué)習(xí)材料和實(shí)驗(yàn)課題，比如利用該課程知識(shí)解決區(qū)組設(shè)計(jì)、圖論、數(shù)論等問題?？傊?，在大學(xué)中實(shí)施分層教學(xué)，還要進(jìn)一步了探究與運(yùn)用分層教學(xué)法，因材施教，讓每個(gè)學(xué)生都能積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)，培養(yǎng)他們具有數(shù)學(xué)的思維方式，使其受益終身。

【參考文獻(xiàn)】

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