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    勾股定理和方程更配哦

    2019-12-17 08:12:03柏黎平
    初中生世界·八年級 2019年11期
    關(guān)鍵詞:客輪貨輪勾股定理

    柏黎平

    同學(xué)們都知道勾股定理的重要性,它可以用等式a2+b2=c2(其中a、b是直角邊,c是斜邊)表示直角三角形三邊關(guān)系。方程思想是初中數(shù)學(xué)解題的重要思想方法,它利用等式作為數(shù)學(xué)思維工具解決問題,化未知為已知。勾股定理等式中如果存在未知數(shù),那么它就具備了方程的特性。因此我們在利用勾股定理計算邊長時,經(jīng)常會用到方程思想解決問題??梢哉f,勾股定理和方程是絕配。下面提供幾個實(shí)例,供同學(xué)們學(xué)習(xí)研究。

    一、直接求邊長,“源”來是方程

    例1 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,求AC的長。

    解:由勾股定理,AC2+62=102。

    解得AC=±8(負(fù)值舍去),∴AC=8。

    【說明】本題由勾股定理得出的等式AC2+62=102,其中含有的AC就是一個未知數(shù),可以看出方程思想的應(yīng)用。

    例2 如圖1,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB上有一點(diǎn)D,BD=10,BC=5,AD+AC=15,求斜邊AC的長。

    圖1

    解:設(shè)AC=x,則AD=15-x,AB=25-x。由勾股定理可得:

    (25-x)2+52=x2,

    解得x=13,∴AC=13。

    【說明】由勾股定理可知BC2+AB2=AC2,其中BC邊為已知邊,邊AB上的線段BD的長已知,線段AD和AC之間有數(shù)量關(guān)系,可設(shè)未知數(shù),并表示出AD、AC,利用勾股定理構(gòu)造方程,即可求解。

    二、巧設(shè)未知數(shù)列方程

    例3 如圖2,小紅用一張長方形紙片ABCD進(jìn)行折疊,已知該紙片寬AB為8cm,長BC為10cm。當(dāng)小紅折疊時,頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處(折痕為AE)。求△ECF的面積。

    圖2

    【分析】要求△ECF的面積,就需要求出Rt△ECF的直角邊CF和CE的長。

    解:由題意可知,AF=AD=BC=10cm,

    在Rt△ABF中,由勾股定理可得:

    BF=[AF2-AB2]=[102-82]=6,

    ∴CF=BC-BF=4cm。

    設(shè)CE=xcm,則EF=DE=(8-x)cm;在Rt△ECF中,由勾股定理可得:

    42+x2=(8-x)2,解得x=3。

    ∴S△CEF=[12]CF·CE=[12]×3×4=6cm2。

    【說明】本題同樣是考查方程思想在勾股定理中的應(yīng)用。Rt△ECF的邊長CE和EF都是未知的量,我們通過設(shè)CE的長為x,就可以巧妙地表示出與之有關(guān)系的線段DE和EF的長,然后還是利用勾股定理構(gòu)造方程解決問題。從中可以看出,勾股定理和方程果然是絕配啊。

    三、構(gòu)造直角三角形列方程

    例4 如圖3,客輪沿折線A-B-C從A出發(fā)經(jīng)B再到C勻速航行,貨輪從AC的中點(diǎn)D出發(fā)沿某一方向勻速直線航行,將一批物品送達(dá)客輪。兩船同時起航,并同時到達(dá)折線A-B-C上的某點(diǎn)E處。已知AB=BC=200海里,∠ABC=90°,客輪速度是貨輪速度的2倍。求貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了多少海里?

    【分析】由題意可分析得知客輪和貨輪的相遇點(diǎn)E必然在線段BC上且靠近點(diǎn)B處,為求出DE的長,需要自主構(gòu)造所需的直角三角形,利用勾股定理解決問題。考慮到構(gòu)造出的Rt△DEF有兩邊未知,因此還是需用方程解決問題。

    圖3

    解:過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,易得DF=CF=BF=100海里。設(shè)貨輪所行路程DE=x海里,可得客輪所行路程AB+BE=2x海里,于是EF=(300-2x)海里,在Rt△DEF中,有1002+(300-2x)2=x2。

    解得:x=200±[10063]。

    ∵200+[10063]>100[2](舍去),

    ∴DE=200-[10063]。

    答:貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了(200-[10063])海里。

    【說明】本題是一個較為復(fù)雜的實(shí)際應(yīng)用問題,其難點(diǎn)有兩個:一是構(gòu)造所需直角三角形;二是需要結(jié)合方程思想利用勾股定理求解,與前幾個例題不同的是列出的方程是一元二次方程。我們在用方程思想解決問題時,不僅要關(guān)注所設(shè)的未知數(shù)x,更要能較熟練地用含x的代數(shù)式表示等式中的其他數(shù)量。本題突破點(diǎn)就在于用含x的代數(shù)式表示線段EF的長。

    其實(shí),在很多幾何計算問題中,尤其是解決稍為復(fù)雜的問題時,方程思想往往是很重要的選擇。同學(xué)們在解題時要有方程意識,要善于利用問題中所給的數(shù)量關(guān)系,構(gòu)造已知量與未知量之間的等量關(guān)系,列出方程解決問題。

    (作者單位:江蘇省太倉市實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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