紙飛機(jī)的飛行原理數(shù)學(xué)建模

董曉紅 康平

摘 要：本文首先研究紙飛機(jī)的飛行原理，結(jié)合伯努利定律進(jìn)行受力分析，用AutoCAD軟件繪制受力分析圖，建立數(shù)學(xué)模型，從而得出紙飛機(jī)的最佳出手角度。采用控制變量法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并得出數(shù)據(jù)，繪制表格，進(jìn)行記錄，結(jié)合matlab軟件，繪制飛行軌跡曲線，得出使飛行距離盡可能遠(yuǎn)的最佳方案，設(shè)計(jì)出手角度。

關(guān)鍵詞：紙飛機(jī);飛行原理;數(shù)學(xué)建模

紙飛機(jī)自身沒有動(dòng)力，拋出瞬間獲得一定初速度，機(jī)翼使空氣分流，形成上下壓力差，產(chǎn)生機(jī)翼的升力，升力與阻力合成為空氣動(dòng)力，維持紙飛機(jī)的飛行。機(jī)翼與機(jī)身的比例要恰當(dāng)，合理調(diào)整紙飛機(jī)的重心、選擇最佳出手角度等因素是紙飛機(jī)飛的高，飛得遠(yuǎn)的關(guān)鍵。

1 問題重述

紙飛機(jī)有許多種折法，世界上有若干具有一定影響力的紙飛機(jī)比賽，通常的參賽規(guī)則是使用一張?zhí)囟ㄒ?guī)格的紙，例如A4大小的紙張，折成一架紙飛機(jī)。折好后在無風(fēng)的室內(nèi)環(huán)境投擲，并測量其留空時(shí)間和飛行距離等成績。我們假定紙飛機(jī)（以Suzanne為例）的翼面是精確的平面，需要建立合理的數(shù)學(xué)模型，計(jì)算出使飛行距離盡可能遠(yuǎn)，投擲出手的最佳角度。

2 問題分析

通過對(duì)紙飛機(jī)受力分析，研究紙飛機(jī)的拋出角度

紙飛機(jī)屬于無動(dòng)力滑行的飛行方式，因此問題一需要根據(jù)伯努利定律，對(duì)紙飛機(jī)進(jìn)行受力分析，研究紙飛機(jī)的受力情況，討論氣流遇到紙飛機(jī)時(shí)，如何被機(jī)翼分成上下兩股氣流，形成壓力差從而產(chǎn)生升力。

3 問題的求解

3.1 伯努利定律在紙飛機(jī)上的應(yīng)用

在空氣動(dòng)力學(xué)中伯努利定律最為重要，就是說空氣流速越快，壓強(qiáng)越小;反之空氣流速越慢，壓強(qiáng)越大。當(dāng)空氣遇到物體時(shí)會(huì)發(fā)生偏移，例如：紙飛機(jī)的機(jī)翼。當(dāng)空氣遇到機(jī)翼時(shí)，就會(huì)被分割成兩部分，一部分從機(jī)翼的上表面流走，一部分從機(jī)翼的下部分流走。由于機(jī)翼的上表面比下表面凸出，所以上表面的氣體流速比下表面的流速快，機(jī)翼的上表面壓力比機(jī)翼的下表面壓力小，產(chǎn)生壓力差。兩邊相互較力，產(chǎn)生向上的推力，推動(dòng)紙飛機(jī)向上。在這個(gè)流動(dòng)過程中會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜的速度和壓力變化。要產(chǎn)生升力，上下表面的平均壓力必須有差異。這個(gè)原理簡單的數(shù)字表達(dá)式就是伯努利定律，以下式表示，其中p表示壓力。

P+12ρv2=常數(shù)

3.2 氣流對(duì)機(jī)翼的作用

氣流遇到紙飛機(jī)時(shí)，被分為兩股氣流，流過機(jī)翼的上下表面，在飛機(jī)尾部匯聚成一股氣流。根據(jù)伯努利定理，由于機(jī)翼上表面氣流流速比機(jī)翼下表面流速小，造成機(jī)翼上表面的壓力比下表面的壓力小，造成壓力差從而產(chǎn)生升力使飛機(jī)克服地球引力，達(dá)到飛行的目的。

3.3 紙飛機(jī)受力原理

（1）動(dòng)力來源：紙飛機(jī)屬于無動(dòng)力滑行的飛行方式，它只能依靠被拋出時(shí)所受的瞬間推力，上升到一定高度時(shí)依靠自身重力向前滑行。（2）阻力原理：阻力來源于空氣對(duì)機(jī)身的摩擦力，為增進(jìn)飛行效率，紙飛機(jī)在設(shè)計(jì)應(yīng)盡量接近流線型，以減少阻力。（3）升力原理：升力來源于紙飛機(jī)的機(jī)翼與空氣接觸。其中影響升力的因素：空氣浮力：流體對(duì)物體的浮力是由上下壓力差而產(chǎn)生，相對(duì)于紙飛機(jī)來說，壓力差不大（紙飛機(jī)機(jī)翼很薄，機(jī)翼的上、下面與空氣的接觸面幾乎在同一高度），因此假設(shè)可忽略不計(jì)。（4）牛頓第三定律（作用力與反作用力定律）：對(duì)紙飛機(jī)的機(jī)翼做受力分析：拋出紙飛機(jī)時(shí)，一般都會(huì)與水平面成一定的夾角，斜向上投擲。此時(shí)機(jī)身與水平線的水平線的夾角稱為攻角?？諝鈺?huì)給紙飛機(jī)一個(gè)垂直于機(jī)翼的的力量，相對(duì)的機(jī)翼也會(huì)給空氣一個(gè)反作用力，這個(gè)力量的垂直分力即為飛機(jī)的升力，水平分力成為阻力的一部分。

3.4 紙飛機(jī)的受力分析

結(jié)論：當(dāng)拋出角度為45度時(shí)，紙飛機(jī)的升力達(dá)到最大值，所以，拋出角為45度時(shí)，飛行距離會(huì)提高。

4 總結(jié)

紙飛機(jī)的投擲方法：最佳投出角度約45°左右，選擇最佳的紙飛機(jī)結(jié)構(gòu)以及合適的投擲角度是紙飛機(jī)飛的高，飛得遠(yuǎn)的關(guān)鍵因素。

參考文獻(xiàn)：

[1]賈躍華.紙飛機(jī)的原理.百度文庫，2019-4-19.

[2]李煒璇.紙飛機(jī).校園文范，2003.

作者簡介：董曉紅（1983-），女，內(nèi)蒙古包頭人，理學(xué)碩士，講師，主要從事高等數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究工作。