支付連續(xù)紅利的歐式脆弱期權(quán)定價(jià)

朱慶強(qiáng)，張二姚，費(fèi)為銀

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

信用衍生產(chǎn)品自1992年出現(xiàn)以來一直深受投資者喜愛，故而得以快速發(fā)展，其中場(chǎng)外交易(Over the Counter，OTC)總額占衍生品交易總額的大部分。在場(chǎng)外交易的過程中，交易對(duì)手的信用風(fēng)險(xiǎn)是一個(gè)必須考慮的因素，因此，對(duì)場(chǎng)外交易市場(chǎng)上含有信用風(fēng)險(xiǎn)期權(quán)定價(jià)問題的研究具有實(shí)際意義。Black[1]等提出了經(jīng)典的期權(quán)定價(jià)模型，該模型使得期權(quán)定價(jià)得到突破性進(jìn)展。Merton[2]創(chuàng)立了含信用風(fēng)險(xiǎn)公司債券定價(jià)的模型，該模型在假設(shè)公司資本由資產(chǎn)和負(fù)債組成，到期時(shí)如果資不抵債則發(fā)生違約的前提下，將期權(quán)定價(jià)公式引入零息債券信用風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)中。Johnson[3]等擴(kuò)展了Merton[2]的公司債券違約模型，提出了脆弱期權(quán)定價(jià)模型，考慮了信用風(fēng)險(xiǎn)條件，使得模型更貼合實(shí)際。Hull[4]等在標(biāo)的資產(chǎn)和交易對(duì)手的資產(chǎn)具有獨(dú)立性的前提下，假設(shè)違約可以發(fā)生在到期前的任何時(shí)候，得出脆弱期權(quán)的定價(jià)公式。Klein[5]放棄了Hull-White模型中可以提前違約的假設(shè)，而沿用Merton[2]的違約只能發(fā)生在到期時(shí)的假設(shè)，但對(duì)Johnson[3]等的債務(wù)假設(shè)進(jìn)行了擴(kuò)展，假定公司資本結(jié)構(gòu)中除了期權(quán)外，還包含有其他債務(wù)，并假定公司價(jià)值低于某一固定違約邊界時(shí)發(fā)生違約，在這些假設(shè)前提下，通過鞅測(cè)度得到一個(gè)顯式解。Klein[6]等在Klein[5]的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出一種歐式期權(quán)的解析公式，該公式受到衍生產(chǎn)品潛在價(jià)值和利率變化的影響。

上述文獻(xiàn)的分析公式通常是利用概率論推導(dǎo)出來的，這也是大多數(shù)學(xué)者所使用的方法。然而，根據(jù)定價(jià)問題的不同，基于Mellin變換的分析方法可能是更好的選擇，這種分析方法對(duì)于偏微分方程的變換是一個(gè)非常有用的工具。一般來說，如果Mellin變換技術(shù)對(duì)給定期權(quán)的定價(jià)是合理的，那么它就不需要像概率論那樣進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算。Panini[7]等使用Mellin變換分析方法得到了歐式標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)和一籃子期權(quán)的定價(jià)公式。Frontczak[8]等用Mellin變換來評(píng)估美式看漲期權(quán)價(jià)格。Elshegmani[9]等使用Mellin變換導(dǎo)出了一個(gè)亞式期權(quán)的解析解。Chandra[10]等將Mellin變換應(yīng)用于障礙期權(quán)和回望期權(quán)，得到了期權(quán)價(jià)格的解析積分公式。Frontczak[11]用Mellin變換技術(shù)求解了偏積分-微分方程，得到了期權(quán)在跳擴(kuò)散模型中的定價(jià)公式。Yoon[12]等利用雙Mellin變換研究了固定利率和隨機(jī)利率下的歐式脆弱期權(quán)。

考慮到期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)常有紅利支付，很多學(xué)者展開了對(duì)有紅利支付的期權(quán)定價(jià)問題的討論。早在1973年，Merton便在考慮支付紅利對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響后對(duì)Black-Scholes公式作了推廣。Krausz[13]，Shackleton[14]等，Chang[15]等給出了支付連續(xù)紅利的歐式期權(quán)定價(jià)公式。李曉雷[16]等研究了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格具有連續(xù)支付紅利和定期支付紅利兩種情形下的歐式期權(quán)定價(jià)模型和公式。王繼霞[17]等研究了在Heston隨機(jī)波動(dòng)模型下，支付連續(xù)紅利的timer期權(quán)定價(jià)的Black-Scholes-Merton型公式。程志勇[18]等考慮了支付連續(xù)紅利的情形，建立了次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的期權(quán)定價(jià)模型，并且得到了支付紅利的次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式。

在文獻(xiàn)[12]研究的基礎(chǔ)上，假設(shè)股票價(jià)格和公司價(jià)值存在連續(xù)紅利支付，使其更為貼合實(shí)際，基于Mellin變換分析方法得到了不完備信息下含有信用風(fēng)險(xiǎn)的歐式脆弱期權(quán)定價(jià)解析公式。

1 基本模型

令St為期權(quán)在t時(shí)刻的標(biāo)的股票價(jià)格，μs和σs分別為標(biāo)的股票價(jià)格的常數(shù)漂移率和波動(dòng)率。并且令Vt為期權(quán)t時(shí)刻的公司價(jià)值，μv和σv分別為公司價(jià)值的常數(shù)漂移率和波動(dòng)率。因此，St和Vt的隨機(jī)微分方程為

考慮支付連續(xù)紅利會(huì)對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)的股票價(jià)格和公司價(jià)值造成影響，假設(shè)紅利收益率為q，利用Girsanov定理，上述方程在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下可轉(zhuǎn)換成如下隨機(jī)微分方程

設(shè)T是期權(quán)的到期日，對(duì)于歐式脆弱期權(quán)，邊界條件由收益函數(shù)所決定，取決于t=T時(shí)刻下公司財(cái)務(wù)危機(jī)情況。一個(gè)歐式脆弱看漲期權(quán)的收益函數(shù)可以表示為

P(t,s,v)=E*[e-(r-q)(T-t)h(ST,VT)|St=s,V=v],

(1)

利用Feynman-Kac公式，在終端條件P(T,s,v)=h(s,v)下，價(jià)格P(t,s,v)變成如下偏微分方程的解

￡P(guān)(t,s,v)=0,t

(2)

其中,I為單位算子。

2 歐式脆弱期權(quán)定價(jià)公式

假設(shè)將Pn(t,s,v)定義為

Pn(t,s,v)=E*[e-(r-q)(T-t)hn(ST,VT)|St=s,V=v]，

(3)

在終端條件P(T,s,v)=h(s,v)下，將PDE ￡P(guān)(t,s,v)=0,t

(4)

式(4)的解為

(5)

為了計(jì)算式(5)，令

(6)

式(6)就是eA(s*,v*)(T-t)雙Mellin變換的逆。由式(4)和τ=T-t可得，B(τ,s,v)為

(7)

為了準(zhǔn)確地計(jì)算b(τ,s,v*)，將用如下引理。

證明 令s=ω+β，那么

這里c*=c+β。如果s=c*+iz，則f(x)可以表示為

于是引理得證。

由引理1，式(7)的b(τ,s,v*)可變換為

因此式(7)就如同

(8)

再次運(yùn)用引理1，式(8)可表示為

(9)

將式(9)代入式(8)可得

此時(shí)，為了計(jì)算式(5)的Pn(t,s,v)，將會(huì)用到引理2。

證明參見文獻(xiàn)[19]中定義1。

然后取極限n→∞得到

(10)

在定理1中，分別計(jì)算P1(t,s,v)和P2(t,s,v)，然后得到期權(quán)價(jià)格P(t,s,v)的封閉型解析公式。

定理1 由式(1)可以得到，支付連續(xù)紅利的歐式脆弱看漲期權(quán)的價(jià)格為

P(t,s,v)=sN2(a1,a2,ρ)-e-(r-q)(T-t)KN2(b1,b2,ρ)+

(11)

式中,

P1(t,s,v)=

P10(t,s,v)-P11(t,s,v)。

(12)

式(12)中被積函數(shù)的指數(shù)形式為

式中，

并且D1=0由待定系數(shù)法確定。另一方面，P11(t,s,v)為

(13)

利用待定系數(shù)法，式(13)中被積函數(shù)的指數(shù)形式可以由如下式子給出

式中,

并且D2=-rτ。

因此，假設(shè)

得到

sN2(a1,a2,ρ)-e-(r-q)τKN2(b1,b2,ρ)。

(14)

其次，用自變量x和y表示，式(10)可表示為

運(yùn)用對(duì)P1(t,s,v)的計(jì)算方法，P2(t,s,v)可變?yōu)?/p>

(15)

式中,

最后結(jié)合式(14)和式(15)可以得到式(11)，定理1得證。

推論1 由定理1，可知支付連續(xù)紅利的歐式脆弱看跌期權(quán)的價(jià)格為

P*(t,s,v)=-sN2(-a1,a2,ρ)+e-(r-q)(T-t)KN2(-b1,b2,ρ)-

(16)

3 數(shù)值分析

看漲期權(quán)價(jià)值會(huì)隨著紅利支付減少，而看跌期權(quán)價(jià)值會(huì)隨著紅利支付增加。為了驗(yàn)證式(11)和式(16)的科學(xué)有效性，也為了更好地說明紅利收益率對(duì)歐式脆弱期權(quán)定價(jià)的影響，參照大多數(shù)商業(yè)情況，通過調(diào)節(jié)相關(guān)系數(shù)獲得最符合實(shí)際市場(chǎng)的期權(quán)定價(jià)。因此數(shù)值分析中脆弱期權(quán)的計(jì)算基于以下參數(shù)值σS=0.3,σV=0.3，α=0.6,ρ=0.5,r=0.05,s=40,v=5,D=5,D*=5,K=35,T=1,t=0.75。

將紅利收益率q在[0,0.05]之間取值，可得紅利收益率與期權(quán)定價(jià)的關(guān)系圖。紅利收益率q與看漲期權(quán)價(jià)格P關(guān)系圖如圖1所示。紅利收益率q與看跌期權(quán)價(jià)格P*關(guān)系圖如圖2所示。由圖1和圖2可知，紅利收益率的增加會(huì)導(dǎo)致看漲期權(quán)價(jià)格隨之遞減，而看跌期權(quán)價(jià)格隨之遞增，這與實(shí)際相符，原因是紅利的支付會(huì)降低股票價(jià)格，從而影響公司價(jià)值。由于看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等于股票價(jià)格減去期權(quán)的兌現(xiàn)價(jià)值，而連續(xù)紅利的支付降低了股票價(jià)格，因此紅利收益率的增加會(huì)降低歐式脆弱看漲期權(quán)的價(jià)格。反之，會(huì)提高歐式脆弱看跌期權(quán)的價(jià)格。

圖1 紅利收益率q與看漲期權(quán)價(jià)格P關(guān)系圖 圖2 紅利收益率q與看跌期權(quán)價(jià)格P*關(guān)系圖

4 結(jié)論

由于連續(xù)紅利的支付會(huì)引起標(biāo)的股票價(jià)格和公司價(jià)值的下降，因此，需要研究一種模型來說明標(biāo)的股票和公司價(jià)值存在連續(xù)紅利支付在脆弱期權(quán)定價(jià)中的影響。與大多數(shù)文獻(xiàn)不同的是，研究利用雙Mellin分析方法推導(dǎo)出了歐式脆弱期權(quán)的定價(jià)模型，并且由于運(yùn)用的是雙Mellin變換分析方法，規(guī)避了偏微分理論的繁瑣運(yùn)算，得到了一種帶有連續(xù)紅利支付的歐式脆弱期權(quán)的閉型解，同時(shí)也為后面研究隨機(jī)波動(dòng)率下歐式脆弱期權(quán)定價(jià)提供了方法。數(shù)值結(jié)果表明，紅利收益率的增加會(huì)引起歐式脆弱看漲期權(quán)定價(jià)值的減少和歐式脆弱看跌期權(quán)定價(jià)值的增加。