變利率下再保險(xiǎn)雙方聯(lián)合最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略

崔 永，夏登峰，苑偉杰

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

再保險(xiǎn)是一種保險(xiǎn)形式，它是保險(xiǎn)商為了分擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)而支付一定的保費(fèi)給再保險(xiǎn)商，即保險(xiǎn)商購(gòu)買(mǎi)的保險(xiǎn)。而投資能有效地使保險(xiǎn)商規(guī)劃其盈余來(lái)實(shí)現(xiàn)股東價(jià)值最大化。因此，再保險(xiǎn)-投資對(duì)保險(xiǎn)商很重要。

Lundberg[1]和Cramér[2]最早對(duì)風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程進(jìn)行了探究,提出的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程被稱(chēng)為C-L(Cramer-Lundberg)模型,該模型奠定了隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)模型的基礎(chǔ)。Schmidli[3]研究了在擴(kuò)散和C-L風(fēng)險(xiǎn)模型下的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)問(wèn)題。夏登峰[4]等考慮在含糊厭惡情形下的比例再保險(xiǎn)盈余模型，以股東紅利效用最大化為目標(biāo)，得到了最優(yōu)紅利和再保險(xiǎn)策略。關(guān)于再保險(xiǎn)雙方的聯(lián)合最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略問(wèn)題，黃婭[5]從最大化再保險(xiǎn)雙方盈余加權(quán)和的效用函數(shù)這一角度進(jìn)行了研究。此外，近年有學(xué)者[6-8]研究了隨機(jī)利率、通脹環(huán)境等情況下基于CEV(Constant Elasticity Of Variance)模型的再保險(xiǎn)-投資問(wèn)題。

再保險(xiǎn)策略涉及保險(xiǎn)商和再保險(xiǎn)商兩個(gè)主體，他們之間存在利益平衡。Borch[9]指出保險(xiǎn)商的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略對(duì)再保險(xiǎn)商不是最優(yōu)的。因此，把再保險(xiǎn)商的情況考慮進(jìn)去是必要的。例如Zhao[10]討論了CEV模型下保險(xiǎn)商與再保險(xiǎn)商共同利益的時(shí)間一致的再保險(xiǎn)投資策略。Li[11]研究了CEV模型下保險(xiǎn)商和再保險(xiǎn)商的最優(yōu)投資問(wèn)題。Huang[12]研究了保險(xiǎn)商和再保險(xiǎn)商產(chǎn)品的穩(wěn)健最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)問(wèn)題。Wang[13-14]研究了CEV模型下具有跳躍擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的保險(xiǎn)商和再保險(xiǎn)商最優(yōu)投資策略，以及Heston's SV(Heston's Stochastic Volatility)模型下保險(xiǎn)商與再保險(xiǎn)商之間的博弈。Hu[15]等考慮了跳擴(kuò)散下保險(xiǎn)商和再保險(xiǎn)商最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略。

以上研究均沒(méi)有考慮變利率情形，但由于通貨膨脹和貨幣政策的調(diào)整等不確定因素存在，考慮變利率是必要的?？紤]變利率下保險(xiǎn)商和再保險(xiǎn)商最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略問(wèn)題，分別構(gòu)造保險(xiǎn)商和再保險(xiǎn)商的財(cái)富過(guò)程，財(cái)富過(guò)程由跳擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型描述。金融市場(chǎng)由無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成，利率為確定性函數(shù)。同時(shí)假設(shè)保險(xiǎn)商和再保險(xiǎn)商是含糊厭惡型。采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法和對(duì)偶理論建立HJB方程，解出最優(yōu)策略。最后通過(guò)數(shù)值模擬，分析參數(shù)對(duì)再保險(xiǎn)-投資的影響。

1 再保險(xiǎn)-投資模型

考慮連續(xù)時(shí)間金融模型，并假設(shè)金融市場(chǎng)是無(wú)摩擦成本的，即保險(xiǎn)商可以連續(xù)交易，且交易中不涉及成本或稅收。設(shè)(Ω,F,{Ft}t∈[0,T],P)是一個(gè)完備的帶流概率空間，信息流{Ft,0≤t≤T}表示直到時(shí)間t為止可以獲得的全部市場(chǎng)信息，T>0表示終端時(shí)刻。

1.1 保險(xiǎn)商的財(cái)富過(guò)程

在沒(méi)有再保險(xiǎn)和投資的情況下，保險(xiǎn)商的盈余過(guò)程R(t)通過(guò)跳擴(kuò)散模型描述：

當(dāng)考慮再保險(xiǎn)時(shí)，設(shè)q1(t)∈[0,1]是再保險(xiǎn)比例，當(dāng)?shù)趇次索賠Ki發(fā)生時(shí)，保險(xiǎn)商僅支付q1(t)Ki，再保險(xiǎn)商支付(1-q1(t))Ki。再保險(xiǎn)保費(fèi)率通過(guò)期望值原理有：c1=(1+η)λμ，其中，再保險(xiǎn)安全負(fù)荷η>0。于是，在再保險(xiǎn)策略q1(t)下，保險(xiǎn)商盈余過(guò)程為：

假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格S0(t)滿(mǎn)足如下微分方程：

dS0(t)=r(t)S0(t)dt,

其中利率r(t)是確定性函數(shù)。

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格S(t)滿(mǎn)足以下方程：

式中，σ>0,W(t)是定義在(Ω,F,{Ft}t∈[0,T],P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足E[dW1(t)dW(t)]=ρdt，其中ρ∈[-1,1]是相關(guān)系數(shù)。

1.2 再保險(xiǎn)商的財(cái)富過(guò)程

在比例再保險(xiǎn)中,再保險(xiǎn)商盈余過(guò)程R2(t)滿(mǎn)足:

其中,q2(t)是再保險(xiǎn)商選取的再保險(xiǎn)比例策略。

2 保險(xiǎn)商的最優(yōu)策略

假設(shè)保險(xiǎn)商采用指數(shù)效用函數(shù):

(1)

式中，γ1>0代表絕對(duì)厭惡風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)，λ1>0和m>0是常數(shù)。

對(duì)于每一對(duì)可容許策略(q1,π1)∈∏1，可以定義值函數(shù):

其中邊際條件H(T,x)=U1(x)。如果值函數(shù)H(t,x)和其偏導(dǎo)數(shù)Ht，Hx，Hxx在[0,T]×R+是連續(xù)的，則H(t,x)滿(mǎn)足HJB方程

(2)

式中，對(duì)于任何(t,x)∈[0,T]×R+，其邊際條件H(T,x)=U1(x)。

由一階條件可得：

(3)

把式(3)代入HJB方程式(2)，得到

(4)

式中，H(T,x)=U1(x)。猜測(cè)式(4)有以下形式的解：

因?yàn)镠(t,x)=U1(x)，所以h(T)=0，得到：

Ht=(H(t,x)-λ1)[-γ1xer(t)(T-t)×(rt(t)T-rt(t)t-r(t))-ht(T-t)]，

E[H(t,x-q1(t)K)-H(t,x)]=(H(t,x)-λ1)[MK(γ1q1(t)er(t)(T-t))-1],

(5)

把式(5)代入式(4)，得到:

(6)

其中,

f(q1(t))=λ(H(t,x)-λ1)×[-μγ1(1+η)q1(t)er(t)(T-t)+MK(γ1q1(t)er(t)(T-t))-1]。

(7)

對(duì)式(7)關(guān)于q1(t)求導(dǎo)，得到:

因此，f(q1(t))是凹的，其最大值q1(t)滿(mǎn)足以下方程:

(8)

引理1 方程(8)有唯一正根ε。

證明令

則

v′(ε)=-E[K2eεK]<0,v″(ε)=-E[K3eεK]<0,

因?yàn)関(ε)是遞減的凹函數(shù)，并且v(0)=μη>0,因此v(ε)與橫坐標(biāo)軸交于唯一點(diǎn)。以上說(shuō)明式(8)有唯一正根ε。

證畢。

把上式代入式(6)，得到:

(9)

于是隨機(jī)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)關(guān)于值函數(shù)H(t,x)的偏微分方程。下面將通過(guò)Legendre變換運(yùn)用邊際條件H(T,x)=U1(x)求解方程(9)。

定義2 設(shè)H:R→R是一個(gè)凸函數(shù)。對(duì)于z>0，定義Legendre變換:

函數(shù)L(z)為H(x)的Legendre對(duì)偶函數(shù)。

為求解方程式(9)，定義以下Legendre變換：

(10)

在終端時(shí)刻T，有H(T,x)=U1(x)，所以

因此，得到:

(11)

式(11)表明g(T,z)是邊界效用的逆。

(12)

(13)

其中，

式(13)關(guān)于z求導(dǎo)，并令ρ2=1，有

(14)

最優(yōu)投資策略(3)可表示為式(15)：

(15)

解決式(14)的對(duì)偶g(t,z)，并將其替換為式(15)以得到最優(yōu)策略。

由式(1)和式(11)可知,

構(gòu)造式(14)的解為:

其中，a(T)=1,b(T)=0。于是，

(16)

將式(16)代入式(14)，有

進(jìn)一步，有

a(t)r(t)-at(t)=0,

把邊際條件a(T)=1，b(T)=0代入，可得:

綜合以上討論，可得以下定理。

(2)如果γ1≤ε≤γ1er(t)T，最優(yōu)再保險(xiǎn)策略為:

最優(yōu)投資策略為：

若r(t)為正常數(shù)r時(shí)，最優(yōu)投資策略為：

3 再保險(xiǎn)商的最優(yōu)策略

假設(shè)再保險(xiǎn)商的效用函數(shù)如式(17)所示：

(17)

式中，γ2>0代表絕對(duì)厭惡風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)。λ1>0和m>0是常數(shù)。

對(duì)于每一對(duì)可容許策略(q2,π2)∈∏2，可以定義值函數(shù):

式中，邊際條件H(T,y)=U2(y)。相應(yīng)的HJB方程是:

(18)

式中，邊際條件H(T,y)=U2(y)，值函數(shù)H(t,y)的偏導(dǎo)數(shù)分別為Ht，Hy，Hyy。

類(lèi)似于式(8)，對(duì)于再保險(xiǎn)商，有

其中,

(19)

類(lèi)似于定理3，得到定理4。

(2)如果γ2≤ε≤γ2er(t)T，最優(yōu)再保險(xiǎn)策略為

最優(yōu)投資策略為：

若r(t)為正常數(shù)r時(shí)，最優(yōu)投資策略為：

4 數(shù)值模擬

進(jìn)一步可以得到，

利用Matlab數(shù)值模擬，為了方便分析，假設(shè)r(t)為正常數(shù)r，除特殊說(shuō)明外，基本參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 各項(xiàng)參數(shù)

圖1 η對(duì)的影響 圖2 γi對(duì)的影響

圖3 γi對(duì)的影響

此外，當(dāng)γ1=γ2時(shí)，保險(xiǎn)商和再保險(xiǎn)商的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略和為1，反映了保險(xiǎn)商和再保險(xiǎn)商之間的博弈過(guò)程。

5 結(jié)論

在研究中同時(shí)考慮了保險(xiǎn)商和再保險(xiǎn)商終端財(cái)富效用最大化時(shí)，各自的最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略問(wèn)題。應(yīng)用隨機(jī)控制理論得出相應(yīng)的HJB方程，再考慮指數(shù)效用最大化情形下的最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略。對(duì)比雙方的最優(yōu)投資策略，保險(xiǎn)商的再保險(xiǎn)策略不同于再保險(xiǎn)商的策略，最優(yōu)再保險(xiǎn)策略與再保險(xiǎn)商的安全負(fù)荷和索賠分布有關(guān)。當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)模型和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格存在相關(guān)性時(shí)，金融市場(chǎng)和保險(xiǎn)市場(chǎng)參數(shù)都會(huì)影響最優(yōu)投資策略。否則，投資策略?xún)H被金融市場(chǎng)參數(shù)和投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好影響。當(dāng)保險(xiǎn)商和再保險(xiǎn)商具有相同的絕對(duì)回歸風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)，兩個(gè)最優(yōu)保留比例和為1，說(shuō)明了保險(xiǎn)商和再保險(xiǎn)商之間的利益沖突。最后，分析了參數(shù)對(duì)最優(yōu)策略的影響并且給出數(shù)值模擬及相關(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。