簡支-撓性支撐梁的振動特性與軸向壓縮穩(wěn)定性研究

肖世富　陳學前　劉信恩

中國工程物理研究院總體工程研究所， 綿陽 621999； ? E-mail: sfxiao@pku.org.cn

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簡支-撓性支撐梁的振動特性與軸向壓縮穩(wěn)定性研究

肖世富?陳學前劉信恩

中國工程物理研究院總體工程研究所， 綿陽 621999； ? E-mail: sfxiao@pku.org.cn

針對可移動簡支具有撓性/不確定性的簡支梁系統(tǒng)， 采用柔性多體系統(tǒng)動力學相對描述方式， 建立可描述其整體轉動和相對變形的非線性動力學模型， 解析結合數(shù)值分析了可移動簡支剛度對系統(tǒng)模態(tài)和軸向壓縮穩(wěn)定性的影響。研究表明， 簡支梁可移動簡支剛度相對梁剛度偏小時， 對系統(tǒng)低階頻率、低階振型和失穩(wěn)模式影響顯著， 主要體現(xiàn)在梁的整體轉動特性上， 且相對描述方式中的低階振型也與經(jīng)典梁的模態(tài)不同， 體現(xiàn)了整體運動對相對變形模態(tài)的影響特性； 簡支梁可移動簡支剛度相對梁剛度偏大時， 主要對系統(tǒng)高階頻率和振型有一定影響， 而對低階頻率、振型和失穩(wěn)模式的影響很小。此研究成果和認識對于梁構件約束邊界設計與柔性多體動力學理論的應用具有重要意義。

柔性多體系統(tǒng)； 簡支梁； 邊界撓性； 模態(tài)分析； 穩(wěn)定性

北京大學學報（自然科學版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

傳統(tǒng)結構力學理論和工程領域經(jīng)常將細長構件的邊界條件簡化處理為簡支、固支、自由等理想邊界條件。然而， 很多實際結構（特別是復雜產(chǎn)品系統(tǒng)中的子結構）中， 由于材料性能不理想、結構設計的缺陷或受限制（重量、幾何空間等）、結構加工工藝、結構承受苛刻的載荷條件等因素， 使得邊界條件具有較大的不確定性， 在實際工程中體現(xiàn)出固支和簡支根部的撓性變形， 自由端受單面約束限制，邊界非光滑產(chǎn)生干摩擦、碰撞， 以及發(fā)生干涉而卡死等現(xiàn)象。這些因素可能對產(chǎn)品的性能和可靠性產(chǎn)生很大程度的影響， 例如很多產(chǎn)品質量下降和性能失效的主要原因之一就在于邊界連接問題。因此，研究邊界條件不確定性對結構力學性能的影響， 不僅具有很強的理論價值， 也是實際工程問題的需要。

對于經(jīng)典邊界條件下梁的動力學問題的研究已相當成熟。Trail-Nash 等［1］在理論上給出 6 類經(jīng)典邊界條件（簡支-簡支、簡支-自由、自由-自由、固支-固支、固支-自由和固支-簡支）下的頻率方程及部分振型函數(shù)， Huang［2］系統(tǒng)全面地解決了6類經(jīng)典邊界條件下的頻率方程和振型函數(shù)問題。不同于上述6類經(jīng)典邊界條件， 當邊界條件具有不確定性時，首先需要對其不確定性進行描述和量化； 同時， 邊界的不確定性將使得梁存在整體轉動和/或平動自由度， 以及位移和力邊界條件耦合， 使系統(tǒng)力學問題的求解非常復雜。對于懸臂梁根部存在撓性時的動力學問題， 文獻［3-13］將懸臂梁根部退化成線彈性彈簧約束， 分析了根部撓性對梁動態(tài)特性和響應的影響， 但沒有研究梁的整體運動特性。柔性多體系統(tǒng)動力學理論容易將邊界不確定性參數(shù)化以便于工程分析， 又能同時描述系統(tǒng)的整體運動和相對變形， 所以得到廣泛應用?；谌嵝远囿w系統(tǒng)動力學理論， 文獻［14］建立了撓性根部梁的嚴格非線性動力學模型； 文獻［15］進一步建立整體轉動狀態(tài)下?lián)闲愿苛旱膰栏穹蔷€性動力學模型， 分析系統(tǒng)的分岔與屈曲行為； 文獻［16］綜合考慮整體轉動和局部限制約束， 研究繞軸線自轉懸臂梁自由端受單側約束下的穩(wěn)定性， 獲得較豐富的非線性現(xiàn)象； 文獻［17］建立任意邊界梁的動力學模型， 得到廣義邊界條件下梁的橫向振動代數(shù)特征方程、特征函數(shù)及特征值的退化表達式， 通過算例分析邊界小擾動對固支-固支梁橫向振動特征的影響規(guī)律。

本文考慮可移動簡支支撐具有撓性/剛度不確定性時簡支梁的振動特性與壓縮穩(wěn)定性問題， 采用柔性多體系統(tǒng)動力學理論的相對描述方式， 建立系統(tǒng)的大撓度非線性動力學模型， 分析邊界不確定性/撓性對系統(tǒng)振動特性與壓縮穩(wěn)定性的影響規(guī)律， 以提升對具有邊界不確定性結構力學性能的認識。

1　動力學建模

本文只考慮簡支梁的軸向可移動簡支支撐剛度存在不確定性/撓性（不可移簡支不確定性可類似處理）， 采用柔性多體系統(tǒng)相對描述理論， 將移動簡支支撐剛度的不確定性參數(shù)化的思路進行動力學建模， 如圖 1 所示。圖 1 中， -OXY~~為慣性坐標系， 單位矢量為i和j；O-XY 為描述梁相對變形的浮動坐標系， 其運動由可移動簡支邊不確定性導致的支撐彈性變形引起， 相對于坐標系的轉角為設梁長為L， 橫截面積為A， 轉動慣量為I，密度為ρ， 彈性模量為E， 梁在可移動簡支邊受OX方向的壓力F作用。

系統(tǒng)的建?；谝韵?個基本假定: 1） 柔性梁的變形運動在 O-XY 平面內(nèi)； 2） 只考慮梁的幾何非線性， 而材料本構特性仍假設為線性的； 3） 不考慮梁幾何和物理參數(shù)的不確定性， 僅考慮可移動簡支邊支撐剛度的不確定性， 基于柔性多體系統(tǒng)相對描述理論將其參數(shù)化， 假設可移動簡支邊不確定性導致的支撐彈性力滿足非線性強化彈性關系:其中， K為線彈性剛度， Λ為非線性彈性剛度， 均為不確定性參數(shù)。

引入以下記號: 1） 在浮動坐標系 O-XY 中， 柔性梁的變形使中軸線上原來自然狀態(tài)下的（x， 0）點，在t時刻變?yōu)椋╔， Y）， 且中軸線轉角為（，）xtθ； 2） 梁不可移動簡支邊端點到（X， Y）點的弧長為s（x， t）， 記為梁中軸線的伸長率。

下面采用廣義 Hamilton 原理， 建立系統(tǒng)的動力學方程。

在慣性坐標系-OXY~~中， 梁的位移場為

受完整幾何約束

作用， 式中X′和Y′表示對空間坐標x的偏導數(shù)。

梁的線性本構方程為

式中， N為軸力， M為彎矩。由梁的位移場（式（1））和本構關系（式（3））可計算得到梁的能量。

梁的動能為

式中， X˙和Y˙表示對時間坐標的偏導數(shù)。梁的勢能為

移動簡支不確定性導致的支撐彈性變形勢能為

移動簡支端壓力P所作的虛功為

由廣義 Hamilton 原理， 并采用 Lagrange 乘子法， 考慮約束方程（式（2））的影響， 有

式中， P和Q為Lagrange乘子， 其物理意義為梁在浮動坐標系中水平和垂直方向的內(nèi)力， 與梁的軸力和剪力S有以下關系

將已求得的動能、勢能及虛功表達式代入式（8）， 即可得到系統(tǒng)的動力學方程組:

及其邊界條件

考慮不可拉伸梁， 即（，）1xtγ≡， 引進無量綱化參數(shù)， 設

顯然， μ和η仍然為不確定性參數(shù)， 且與不確定性剛度參數(shù)K和Λ成正比。

記x為ξ， 則式（10）和（11）無量綱化為

對應的邊界條件為

不考慮軸向壓縮載荷的作用， 假設梁及其可移動彈性支撐均為小變形， 則對式（13）及其邊界條件（式（14））進行線性化， 可獲得梁橫向振動的線性化動力學模型:

做線性變換

則式（15）中梁的變形方程可變換為

此即簡支-彈性支撐梁的經(jīng)典線性動力學方程， 具有混合邊界條件且未包含描述梁整體轉動的變量，不能描述剛性梁的轉動。線性方程組（式（15））采用相對描述方式， 同時具有描述梁相對變形和整體轉動的變量， 可描述剛性梁的整體轉動， 且梁變形控制方程的邊界條件非常簡單， 更有利于近似解析分析。

2　邊界不確定性對梁橫向振動特性的影響

當簡支梁可移動簡支支撐剛度存在不確定性時， 其線性動力學模型為式（15）， 其中μ是表征可移動簡支支撐剛度不確定性的無量綱化參數(shù)。令

將式（18）代入式（15）， 即可得到系統(tǒng)線性自由振動的無量綱化特征方程組:

將式（20）代入式（19）， 可得到代數(shù)特征值方程:

對應的振型函數(shù)為

由線性變換（式（16））， 可得到梁在慣性坐標系中的振型函數(shù):

顯然， 由于μ是不確定性參數(shù)， 因此特征值λ具有不確定性， 從而振型函數(shù)也具有不確定性。由于代數(shù)特征方程（式（21））不存在解析解， 所以采用數(shù)值方法分析移動簡支不同支撐剛度對系統(tǒng)前3階特征值的影響。為簡單， 本文假設支撐剛度具有區(qū)間型不確定性， 且取不確定性參數(shù)2μβ均值的±10%區(qū)間進行分析。

在不確定性參數(shù)2μβ均值的±10%區(qū)間內(nèi)對代數(shù)特征值方程（式（21））進行數(shù)值求解， 該不確定性參數(shù)均值對系統(tǒng)前3階均值（No.1， No.2和No.3）頻率的影響如圖2所示。

數(shù)值計算與圖2表明: 1） 系統(tǒng)前3階特征值隨可移動簡支支撐剛度的增加而升高， 隨著支撐剛度的增加， 趨近于簡支梁的前3階特征值； 2） 移動簡支支撐剛度的分散性對不同階特征值的影響不同，隨特征值階數(shù)的升高逐漸向支撐剛度增加的方向偏移（曲線斜率最大的區(qū)域）， 即簡支支撐剛度小時，對低階（特別是第一階）頻率影響大， 簡支支撐剛度大時， 對高階頻率影響大， 支撐剛度達到一定值后，簡支支撐的撓性對低階頻率的影響可忽略； 3） 在不確定性參數(shù)2

μβ均值的±10%區(qū)間內(nèi)， 第 1 階特征值的分散性在±3%以內(nèi)， 第 2 階特征值的分散性在±1.5%以內(nèi)， 第 3 階特征值的分散性在±1.1%以內(nèi)，即隨著特征值階數(shù)的升高， 其相對分散性將下降。

下面分析可移動簡支支撐剛度對簡支梁振型的影響。對于不同的支撐剛度， 梁在慣性坐標系中的振型函數(shù)如圖3所示， 各振型采用均方模1的方式進行標準化。實線是撓性簡支支撐梁的振型， 虛線是理想簡支梁的振型。

圖3表明: 1） 當簡支梁可移動簡支支撐剛度較小（實際的簡支-彈性支撐梁）時， 系統(tǒng)的第1階振動形態(tài)主要體現(xiàn)為梁的整體轉動， 對第 2， 3 階端部的約束也較小， 與簡支梁相應模態(tài)差別較大， 基本上破壞了其相對梁中間的對稱或反對稱性質； 2） 隨著簡支梁可移動簡支支撐剛度的增加， 其對梁端部的約束逐漸增強， 系統(tǒng)的第 1 階振動形態(tài)逐漸體現(xiàn)為梁的第 1 階橫向彎曲振型， 各階振型也逐漸趨近理想簡支梁的振型， 且低階比高階趨近速度更快， 與前面的特征值隨支撐剛度變化的趨勢一致。

對于不同的支撐剛度， 梁在相對坐標系中的振型函數(shù)如圖 4 所示， 各振型同樣采用均方模 1 的方式進行標準化。

圖 4 表明: 可移動簡支支撐剛度對簡支梁相對坐標系中的第 1 階振型影響很小， 但對第 2， 3 階等高階振型的影響非常顯著， 在支撐剛度偏低的較大范圍內(nèi)， 前兩階振型都沒有節(jié)點（與經(jīng)典梁模態(tài)節(jié)點的基本定性性質［18］不同）， 表明多體系統(tǒng)動力學離散建模時， 需慎重采用結構的經(jīng)典模態(tài)進行離散。

3　邊界不確定性對簡支梁軸向壓縮穩(wěn)定性的影響

移動簡支支撐剛度具有不確定性的簡支梁的無

量綱化靜力學方程組及其邊界條件可由式（13）和（14）獲得:

方程組（24）是強非線性連續(xù)體微分-代數(shù)方程組， 無解析解。本文僅考慮其梁的一階失穩(wěn)， 依據(jù)上節(jié)分析， 可采用簡支梁的一階模態(tài)離散方程組（24）的連續(xù)體微分方程組， 即設

式中，1v為廣義坐標。方程組（24）中的幾何約束方程

在保留到廣義坐標1v的3階項時， 可近似為

仍然保留廣義坐標1v、轉角α及其耦合的3階項， 則方程組（24）中梁的變形勢能為

將式（25）和（28）代入式（29）， 對廣義坐標1v變分， 并結合方程組（24）中轉角滿足的代數(shù)方程， 可獲得移動簡支支撐剛度具有不確定性簡支梁的無量綱化近似靜態(tài)平衡方程組:

由式（30）可得到移動簡支支撐剛度具有不確定性時壓縮簡支梁的穩(wěn)定性。

平衡方程（30）的穩(wěn)定性分析表明: 當移動簡支支撐剛度較小， 使得無量綱參數(shù)滿足時，軸向壓縮簡支梁首先發(fā)生整體轉動失穩(wěn)， 隨著壓縮載荷的進一步增大， 梁才可能發(fā)生彎曲失穩(wěn)； 當移動簡支支撐剛度加大， 使得無量綱參數(shù)滿足μ≥時， 只發(fā)生梁的彎曲失穩(wěn)， 而沒有整體轉動，即簡支梁支撐剛度的小不確定性不影響其軸向壓縮穩(wěn)定性。

下面對上述軸向壓縮穩(wěn)定性問題的近似解析分析進行初步驗證和補充。首先是臨界失穩(wěn)值， 由于方程組（24）的初始平衡解是平凡解， 在其鄰域線性化可得特征值問題:

特征方程（34）的特征值為

顯然， 近似分析的臨界值與式（35）的前兩階相同，即近似解析分析的失穩(wěn)臨界值是正確的。

當壓縮載荷進一步增大， 特別是桿的整體剛性轉動和屈曲耦合時， 需要由方程組（24）數(shù)值求解，壓桿的整體剛性轉動和屈曲值有一定修正， 但分岔和屈曲的模式不會有太大的變化（可以由式（31）和（32）近似表示）， 本文不再做進一步的分析。

4　結束語

本文面向實際工程普遍存在的邊界不確定性，應用柔性多體系統(tǒng)動力學相對描述理論， 建立了可移動簡支剛度具有不確定性簡支梁的非線性動力學模型， 解析結合數(shù)值分析了可移動簡支剛度不確定性對系統(tǒng)振動特性和軸向壓縮穩(wěn)定性的影響， 得到以下結論和認識。

1） 應用相對描述方式建立具有邊界不確定性系統(tǒng)的動力學模型， 可以刻畫邊界不確定性導致的系統(tǒng)整體運動特性， 而絕對描述方式難以直觀刻畫此特性。

2） 可移動簡支支撐剛度對系統(tǒng)不同階特征值的影響不同， 小剛度簡支支撐相對對低階（特別是第 1 階）頻率的影響大， 大剛度簡支支撐相對對高階頻率的影響大， 支撐剛度達到一定值后， 可移動簡支支撐的撓性對低階頻率的影響即可忽略。對于支撐剛度不確定性對系統(tǒng)振動頻率的影響， 當移動簡支支撐剛度參數(shù)KL3/EI的分散性在均值的±10%區(qū)間內(nèi)時， 簡支梁無量綱特征值參數(shù)λ（4λ=的第 1 階的分散性在±3%以內(nèi)， 第 2階的分散性在±1.5%以內(nèi)， 第 3 階的分散性在±1.1%以內(nèi)， 即隨著特征值階數(shù)的升高， 其相對分散性將下降。

3） 對于慣性坐標系中的振型， 當簡支梁可移動簡支支撐剛度較?。▽嶋H的簡支-彈性支撐梁）時， 系統(tǒng)第 1 階振動形態(tài)主要體現(xiàn)為梁的整體轉動， 第 2，3 階也與簡支梁相應模態(tài)差別較大， 基本上破壞了梁模態(tài)的對稱或反對稱性質； 隨著簡支梁可移動簡支支撐剛度的增加， 各階振型也逐漸趨近理想簡支梁的振型， 且低階比高階趨近速度更快。

4） 對于相對坐標系中的振型， 與慣性坐標系中的影響不同， 可移動簡支支撐剛度對第 1 階振型影響很小， 但對第 2， 3 階等高階振型的影響非常顯著，在支撐剛度偏低的較大范圍內(nèi)， 前兩階振型都沒有節(jié)點（與經(jīng)典梁模態(tài)節(jié)點基本定性性質不同）， 體現(xiàn)了整體運動對梁固有振動行為的影響特性， 表明在多體系統(tǒng)動力學離散建模時， 需要慎重采用結構的經(jīng)典模態(tài)進行離散。例如應用假設模態(tài)法離散連桿機構時， 若簡單采用梁的經(jīng)典模態(tài)進行離散， 其計算精度可能難以保障。

5） 對于可移動簡支支撐剛度不確定性對軸向壓縮簡支梁穩(wěn)定性的影響， 當移動簡支支撐剛度較小， 滿足時， 軸向壓縮簡支梁首先發(fā)生整體轉動失穩(wěn)， 隨著壓縮載荷的進一步增大， 梁才可能發(fā)生彎曲失穩(wěn)； 當移動簡支支撐剛度加大， 滿足時， 系統(tǒng)只發(fā)生梁的彎曲失穩(wěn)， 而沒有整體轉動， 即簡支梁支撐剛度的小不確定性不影響其軸向壓縮穩(wěn)定性。

本文研究成果和認識對于梁構件約束邊界設計、柔性多體動力學理論的建模及其應用具有重要意義。

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Study on the Vibration Characteristic and Axial-Compressive Stability of the Beam with Simple and Flexible Supports

XIAO Shifu?， CHEN Xueqian， LIU Xinen
Institute of Systems Engineering， China Academy of Engineering Physics， Mianyang 621999； ? E-mail: sfxiao@pku.org.cn

For the beam with simple and flexible supports， a nonlinear dynamic model is established by applying the flexible multi-body dynamic theory. The model can describe both the global rotation and the relative deformation of the beam. The modal and axial-compressive stability of the system are investigated by using analytical and numerical method， and the effect of the movable support stiffness are obtained. The results show that there is great influence on the lower-order frequencies， vibration shape and the buckling mode of the system while the movable support stiffness is smaller than the beam. In this case， they behave to the global rotation characteristic and the lower-order vibration shape in the floating coordinate system is also different to the classical beam， which is affected by the global rotation. However， when the movable support is very stiff， the influence on the lowerorder frequencies， vibration shape and the buckling mode of the system are extremely slight and the uncertainty of the movable support stiffness only lightly affects the higher-order frequencies and vibration shape of the system. The results are important to the constraint boundary design of the beam and the application of the flexible multibody dynamic theory.

flexible multi-body systems； simply-supported beam； boundary flexibility； modal analysis； stability

O317

10.13209/j.0479-8023.2016.085

中國工程物理研究院重點學科項目“計算固體力學”和中國工程物理研究院科學技術發(fā)展基金（2013A0203007）資助

2015-11-23；

2016-02-25； 網(wǎng)絡出版日期: 2016-07-12