二次函數(shù)最值在解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題中的重要應(yīng)用

馬洪云

摘 要：二次函數(shù)主要研究數(shù)量的變化規(guī)律，是解決函數(shù)問題中非常重要的一個數(shù)學(xué)模型，利熟練的掌握和應(yīng)用二次函數(shù)不僅能夠讓同學(xué)們在考試中取得優(yōu)異的成績，同時也能用來解決實(shí)際生活中的問題，這個是當(dāng)前教育發(fā)展的重心。新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，函數(shù)是一個具有普遍意義的數(shù)學(xué)模型，與實(shí)際生活有著十分密切的聯(lián)系，希望教師在教學(xué)的過程中能夠引導(dǎo)同學(xué)們對問題進(jìn)行全面地分析，并利用二次函數(shù)的最值來解決相關(guān)問題。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù);應(yīng)用;最值;一般步驟;典型例題

二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，拋物線的頂點(diǎn)，總會是拋物線的最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)，而在這兩個點(diǎn)處就會取得函數(shù)的最大值或者最小值，所以利用二次函數(shù)來求解函數(shù)的最大值和最小值的實(shí)際問題，就可以運(yùn)用抽象的二次函數(shù)模型，利用最值的求解方法來解決問題。

一、利用最值解決二次函數(shù)問題的一般步驟。

遇到此類問題時，同學(xué)們應(yīng)該首先想到二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，并且根據(jù)題目中，或者是實(shí)際問題給出的已知條件來寫出二次函數(shù)的解析式，從而結(jié)合著實(shí)際的意義來確定自變量的大小范圍，利用自變量的大小求解二次函數(shù)的最大值或者最小值，即可求出最終答案。

二、常見的可以利用二次函數(shù)的最值來求解的問題。

1.有明確自變量范圍的二次函數(shù)最值。

在求解相關(guān)的二次函數(shù)時，根據(jù)題目條件，給出的最只并不一定是整個函數(shù)的最大值或最小值，因?yàn)槿绻宰兞坑幸欢ǖ姆秶?，最大值和最小值不一定會是二次函?shù)圖像的頂點(diǎn)。

所以，在進(jìn)行相關(guān)題目的解答時，一定要先判斷函數(shù)圖像的頂點(diǎn)，是否在自變量的范圍內(nèi)，如果在就有最小值或最大值，如果不在就要根據(jù)函數(shù)的增減性進(jìn)行解答。如果題目中給出的已知條件的圖像，只是拋物線中的一段，那么就會有可能是既有最大值，又有最小值，要結(jié)合的實(shí)際情況進(jìn)行分析。

例題1：

已知現(xiàn)有鐵柵欄32米，要想在圍墻邊上設(shè)計(jì)一個長方形的車棚，可以用一邊利用圍墻，剩余3個邊用鐵柵欄來圍制完成，而且還要在平行于強(qiáng)的那一側(cè)留下一個寬為2米的門。試問要想讓車棚的面積最大，該如何設(shè)計(jì)車棚的長度和寬度。

分析：

在解答這個問題的時候，我們首先應(yīng)該對于這個車棚的長和寬進(jìn)行未知數(shù)的設(shè)定，假設(shè)長方形的長為χ，則長方形的寬就可以用（32-χ+2）/2來表示，然后再利用長方形的面積公式，就能夠求解出最后的答案。

解：

假設(shè)長方形車棚的長為χ，則垂直于圍墻的長方形車棚的寬的長度為（34-χ）/2，設(shè)長方形的面積為y，則存在公式y(tǒng)=χ?（34-χ）/2，即y=-1/2χ2+17χ通過對此二次函數(shù)進(jìn)行分析，可知函數(shù)圖像開口向下，函數(shù)存在最大值，而當(dāng)函數(shù)存在最大值的時候求解出來的χ的值為17，所以（34-χ）/2為8.5。即要想讓車棚的面積最大，長和寬分別應(yīng)該為17米和8.5米。

2.利用二次函數(shù)求利潤的最值問題。

利潤是我們?nèi)粘Ｉ钪斜容^常見的一種問題，在利用二次函數(shù)求解利潤問題時，我們可以根據(jù)已知條件，把利潤表示成價(jià)格的二次函數(shù)，即價(jià)格是自變量，利潤是因變量，然后再通過列舉二次函數(shù)解析式的方法求解問題，在解決這種問題時，應(yīng)該注意自變量的取值范圍，要讓實(shí)際問題有實(shí)際意義。

例題2：

假設(shè)某商店要購進(jìn)一批文具盒，進(jìn)貨價(jià)是8元，商店決定，每個文具盒的售出價(jià)格為10元，這樣一來每天就可以銷售200件文具盒，如果提高售價(jià)，進(jìn)貨量就會減少，利潤也會隨之變化，已知這個文具盒每漲價(jià)0.5元，銷售量就會減少10件，問售價(jià)定在多少的時候，才能讓每天的獲得利潤最多，并求出最大利潤是多少。

分析：

在解決這道題目時，題目中已經(jīng)給出了一個等量條件。題目中存在的已知條件的等量關(guān)系表現(xiàn)在價(jià)格上漲或下調(diào)了之后，賣出的商品的數(shù)量也會有所變化，而變化之后的總售價(jià)仍能取得最大的利潤，而最大的利潤需要減掉文具盒的成本價(jià)格。

解：

假設(shè)售價(jià)定為χ元時，才能使每天獲得的利潤最大為y元，則存在

y=（χ-8）[200-（χ-10）/0.5?10]

=（χ-8）（400-20χ）=-20χ2+560χ-3200

對此函數(shù)解析式求解最值，此函數(shù)存在最大值，且當(dāng)χ=-560/（2×（-20））=14時，有最大值y=720。即應(yīng)將售價(jià)定為14元時，才能使每天獲得的利潤最大，最大利潤為720元。

三、總結(jié)

二次函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的一部分，在整個中學(xué)階段乃至高等數(shù)學(xué)教育中，都會有很重要的應(yīng)用，作為學(xué)生，必須要掌握的一類重要的數(shù)學(xué)題型，尤其是求解最值問題時，更需要同學(xué)們有扎實(shí)的基礎(chǔ)，并且熟練地掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和概念。利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，選擇正確的方法，把握題目中的數(shù)量關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，給函數(shù)關(guān)系賦予更加實(shí)際的意義，從而解決生活中的實(shí)際問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]張峰.關(guān)于二次函數(shù)最值問題的教學(xué)研究.科學(xué)大眾（科學(xué)教育）.2017年：20

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