一類含時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的熱傳導(dǎo)與膜振動(dòng)問題的解

慕 文，李春源，葛志新

(安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院,安徽馬鞍山243032)

現(xiàn)代物理中人們已經(jīng)對(duì)非牛頓流體、軟物質(zhì)等相關(guān)事物[1]的性質(zhì)進(jìn)行廣泛研究。由于這些物質(zhì)具有遺傳性或者說具有記憶效應(yīng)，整數(shù)階導(dǎo)數(shù)已經(jīng)不足以描述其變化過程，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)已經(jīng)以成熟的理論出現(xiàn)在人們面前，如文獻(xiàn)[2]系統(tǒng)地闡述了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及其性質(zhì)和應(yīng)用。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)由于特殊內(nèi)涵，含有函數(shù)的卷積，可以表達(dá)自變量的歷史遺傳性或累積效應(yīng)，及記憶效應(yīng)，因此自產(chǎn)生以來引起廣泛興趣。各領(lǐng)域原有的問題在新概念下會(huì)發(fā)生新變化，產(chǎn)生各種新的內(nèi)在規(guī)律，如文獻(xiàn)[3]比較了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與其他導(dǎo)數(shù)的特點(diǎn)；文獻(xiàn)[4]闡述了處理分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的一種方法；文獻(xiàn)[5-6]討論了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)解的分叉影響；文獻(xiàn)[7]闡述了在一類奇攝動(dòng)微分方程中怎么處理分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。

薄片的熱傳導(dǎo)與膜振動(dòng)問題在物理學(xué)上是兩個(gè)不同的物理過程，描述它們的方程既有相同點(diǎn)又有不同點(diǎn)[8]。不同在于熱傳導(dǎo)問題中關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是一階的，在膜振動(dòng)問題中關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是二階的。由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)，這兩類可以統(tǒng)一成一類方程，只是關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的變化范圍發(fā)生變化。因此兩類問題有著內(nèi)在的關(guān)系，研究它們的解的變化規(guī)律有重要意義。文獻(xiàn)[9-10]闡述了小參數(shù)方程的的奇攝動(dòng)理論和應(yīng)用的基本知識(shí)，其中文獻(xiàn)[9]闡述了波動(dòng)方程邊界發(fā)生正弦振動(dòng)變化時(shí)，解的振幅關(guān)于小參數(shù)ε 的變化規(guī)律，問題與時(shí)間無關(guān)，并且不含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。本文在文獻(xiàn)[8-9]的啟發(fā)下，研究含有時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的邊界發(fā)生正弦波動(dòng)時(shí)膜振動(dòng)問題振動(dòng)規(guī)律和熱傳導(dǎo)問題的傳導(dǎo)規(guī)律，并進(jìn)一步探討方程(1)～(3)中時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)解的影響。

問題描述如下

1 漸近解

將ux(x,1+ε sinkωx,t)在y=1處展開，得

引入多重尺度x0=x,x1=εx，則

并將式(4)～(7)代入式(1)～(3)中,比較ε 的0次冪和1次冪的系數(shù)得

利用分離變量法,式(8)～(10)的解為u0(x0,x1,y,t)=X(x0)Y(y)Z(t)，由方程形式可以解出方程，其中

Z(t)由

2 側(cè)面絕熱的薄片熱傳導(dǎo)問題

其中Eα,α(λtα)是Mittag-Leffler函數(shù)。

為了產(chǎn)生有效的漸近解，對(duì)式(8)～(10)取兩個(gè)任意模態(tài)解。設(shè)式(8)～(10)的通解為

避免產(chǎn)生共振引入解諧參數(shù)σ，設(shè)

將式(18)代入式(17)得

即

尋找形如下式的解

將式(20)代入式(16)、(19)得

因?yàn)榉匠?21)是自伴的，取伴隨問題的解u=cosnπy。方程(21)兩邊均乘以u(píng)=cosnπy，并在[0,1]上積分，利用分部積分法，可以得到可解性條件

即

即

同理，由式(23)～(24)，當(dāng)m ≠0 時(shí)，

設(shè)An=c1eiγ1x1,Am=c2eiγ2x1,γ1=γ2+σ 其中c1,c2,γ1,γ2均為復(fù)數(shù)，由式(25)～(26)得

由式(27)～(28)和γ1=γ2+σ 得

所以方程(1)～(3)的近似解為

其中γ1,γ2由式(29)～(30)確定。

特別地,若u(x0,x1,y,0)=b，α=1時(shí),近似解是

3 沒有外力的膜振動(dòng)問題

此時(shí)

其中γ1,γ2由式(29)～(30)確定。特別地，當(dāng)α=2 時(shí)，

4 結(jié) 論

當(dāng)0 ＜α ≤1時(shí)，方程(1)～(3)是側(cè)面絕熱的薄片熱傳導(dǎo)問題，該近似解是

當(dāng)1 ＜α ≤2 時(shí)，方程(1)～(3)是沒有外力的膜振動(dòng)問題，該近似解是

其中γ1,γ2由式(29)～(30)確定。