你行，我也行
——數(shù)學(xué)素養(yǎng)大賽一周研究歷程

浙江省杭州市文瀾實(shí)驗(yàn)學(xué)校 朱雅萍

最近，杭州市拱墅區(qū)舉行了數(shù)學(xué)素養(yǎng)大賽，賽題為三上數(shù)學(xué)《倍的認(rèn)識(shí)》單元練習(xí)之星號(hào)題：

賽題公布的文檔中有此內(nèi)容：星號(hào)題是拓展學(xué)生思維的重要載體，它不應(yīng)成為優(yōu)等生的專屬。如何以星號(hào)題為載體，基于全體學(xué)生，設(shè)計(jì)有層次的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓每一個(gè)孩子的思維都有較大提升，值得教師深思。

我們?cè)噲D：（1）讓學(xué)生覺(jué)得“難題不難”；（2）尋求解決問(wèn)題的有效策略。為此，確定研究主題為——數(shù)形結(jié)合，化難為易，以達(dá)到“你行，我也行”之目的。

一、目標(biāo)的確定

該問(wèn)題情境比較有趣，但數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜，需要逆向思維，解題的步驟較多，學(xué)生理解有一定困難。這是在學(xué)生掌握了“倍”的概念及其數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，需要學(xué)生運(yùn)用“倍的具體含義”、借助圖來(lái)理解題意、分析數(shù)量關(guān)系，并能靈活地解決。為此，確定的學(xué)習(xí)目標(biāo)為：

1.通過(guò)操作、畫(huà)圖等方式表示實(shí)際問(wèn)題中的相關(guān)信息，提高分析問(wèn)題的能力。

2.圖式結(jié)合，提高靈活解決問(wèn)題的能力。

3.采用獨(dú)立思考和合作交流相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式，用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言有條理地表達(dá)自己的思考過(guò)程，提升合作能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。

4.通過(guò)對(duì)比分析相關(guān)實(shí)際問(wèn)題的異同，提升推理和遷移能力。

二、路徑的突破

運(yùn)用“倍”的具體含義，借助圖示的直觀性，簡(jiǎn)潔、清晰、明了地反映數(shù)量之間的關(guān)系，給每個(gè)學(xué)生的思維以有效的支架。針對(duì)學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)的差異，以提示卡的形式對(duì)學(xué)生以分層、針對(duì)性的幫助；即時(shí)的評(píng)價(jià)與反饋，將靜態(tài)的解題思路變動(dòng)態(tài)的操作過(guò)程。

三、課堂的研磨

1.一磨：基于學(xué)情前測(cè)的實(shí)際。為了更精準(zhǔn)地掌握學(xué)生現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)水平，學(xué)情前測(cè)小組設(shè)計(jì)了前測(cè)卷：

《“倍”的應(yīng)用》前測(cè)練習(xí)（1稿）

（1）蘋(píng)果有4只，梨的只數(shù)是蘋(píng)果的3倍，請(qǐng)畫(huà)圖表示題目的意思。

（2）媽媽有11張卡片，小明有5張卡片，媽媽要給小明幾張卡片，兩人一樣多？

（3）弟弟有3張卡片，哥哥給弟弟2張后，哥哥的卡片是弟弟的2倍，哥哥原來(lái)有幾張？（請(qǐng)你用自己喜歡的方式解決這個(gè)問(wèn)題）

（4）弟弟有6張卡片，哥哥有18張，哥哥要給弟弟幾張卡片后，哥哥是弟弟的2倍？（請(qǐng)你用自己喜歡的方式解決這個(gè)問(wèn)題）

《“倍”的應(yīng)用》前測(cè)練習(xí)（2稿）

（1）弟弟有4張卡片，哥哥卡片的張數(shù)是弟弟的3倍，請(qǐng)你用自己喜歡的方式表示題目的意思。

（2）哥哥有11張卡片，弟弟有5張卡片，哥哥要給弟弟幾張卡片，兩人一樣多？（請(qǐng)你用自己喜歡的方式解決這個(gè)問(wèn)題）

（3）弟弟有3張卡片，哥哥給弟弟2張后，哥哥的卡片是弟弟的2倍，哥哥原來(lái)有幾張？（請(qǐng)你用自己喜歡的方式解決這個(gè)問(wèn)題）

前測(cè)卷1、2稿調(diào)整的依據(jù)：一是將不同情境調(diào)整為同一情境，因?yàn)榍叭}是遞進(jìn)的關(guān)系。

二是去掉了原來(lái)的第4題，因?yàn)椴恍枰獙?duì)變式練習(xí)進(jìn)行前測(cè)。

我們對(duì)三個(gè)班級(jí)共127名學(xué)生進(jìn)行前測(cè)，前測(cè)卷分析如下：

第1題：弟弟有4張卡片，哥哥卡片的張數(shù)是弟弟的3倍，請(qǐng)你用自己喜歡的方式表示題目的意思。[單選題]

【數(shù)據(jù)分析】

圖1：“倍”這一知識(shí)點(diǎn)的理解程度的統(tǒng)計(jì)情況。

圖1

從圖1可以看出，總的來(lái)說(shuō)，有近八成的學(xué)生能夠用實(shí)物圖或線段表示出對(duì)倍數(shù)關(guān)系的理解。

第2題：哥哥有11張卡片，弟弟有5張卡片，哥哥要給弟弟幾張卡片，兩人一樣多？（請(qǐng)你用自己喜歡的方式解決這個(gè)問(wèn)題）[多選題]

【數(shù)據(jù)分析】

圖2“同樣多”的問(wèn)題的思考方式的統(tǒng)計(jì)情況。

圖2

從圖2中可以看出，學(xué)生對(duì)“同樣多”的思考方式比較多元，有的用列舉法，有的用實(shí)物或線段，更多的是用抽象的算式來(lái)表示思考過(guò)程。并且有超過(guò)九成的學(xué)生已經(jīng)掌握“同樣多”這一題型。

第3題：弟弟有3張卡片，哥哥給弟弟2張后，哥哥的卡片是弟弟的2倍，哥哥原來(lái)有幾張？（請(qǐng)你用自己喜歡的方式解決這個(gè)問(wèn)題）[多選題]

【數(shù)據(jù)分析】

圖3：學(xué)生對(duì)于這類問(wèn)題不同思考方法的統(tǒng)計(jì)情況。

圖3

從圖3可以看出，這個(gè)班超過(guò)半數(shù)的學(xué)生已經(jīng)初步理解了這類問(wèn)題。通過(guò)前測(cè)數(shù)據(jù)的分析，可以清楚看到，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生擅長(zhǎng)用自己熟悉的思考方法解題。為此，設(shè)計(jì)了三個(gè)問(wèn)題情境：

對(duì)比一二度教學(xué)設(shè)計(jì)，主要調(diào)整為：

（1）問(wèn)題情境1中的數(shù)量進(jìn)行調(diào)整，使每一組的數(shù)量都不一樣，這樣更易比較得出“倍”的本質(zhì)含義。

（2）問(wèn)題情境1的最后一個(gè)情境加以重點(diǎn)利用，溝通與問(wèn)題情境2的聯(lián)系，更好地起到對(duì)情境2的鋪墊作用。

（3）任務(wù)2展示學(xué)生的不同表示方法后，引導(dǎo)追問(wèn)每個(gè)算式的意思，讓學(xué)生能結(jié)合圖真正理解每個(gè)算式的意思。

（4）重點(diǎn)引導(dǎo)孩子梳理解決問(wèn)題的基本步驟“讀題－分析－列式－檢驗(yàn)”，提高孩子解決問(wèn)題的能力。

（5）畫(huà)圖作為幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系的工具反而成了孩子的障礙，在任務(wù)三中將畫(huà)圖作為檢驗(yàn)的方式，讓學(xué)生結(jié)合圖解釋算式的意思。從學(xué)生出發(fā)，讓孩子選擇自己喜歡的方法，內(nèi)化學(xué)習(xí)策略。

2.二磨：基于學(xué)習(xí)過(guò)程的觀察。課堂觀察組從“獨(dú)立思考—小組合作—全班交流”三方面將觀察量表進(jìn)行細(xì)化。將獨(dú)立思考的過(guò)程聚焦到每個(gè)組員的畫(huà)圖形式和列式方法上；將小組合作的過(guò)程精準(zhǔn)到每個(gè)組員的發(fā)言內(nèi)容上；將全班匯報(bào)的過(guò)程投射到學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)題的價(jià)值上。

（1）關(guān)于獨(dú)立思考的觀察。通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，該班級(jí)的同學(xué)均能比較認(rèn)真地獨(dú)立思考。學(xué)生獨(dú)立思考，不僅在策略上表現(xiàn)較大的差異，從解決問(wèn)題的層次水平上也有較大的區(qū)別。全班約為四分之一的同學(xué)，在獨(dú)立思考時(shí)憑借自己的能力，成功解決了任務(wù)二的問(wèn)題。在錯(cuò)誤的四分之三同學(xué)中，有的是只算到了熊媽媽現(xiàn)在有16個(gè)，沒(méi)有周密考慮到問(wèn)題問(wèn)的是熊媽媽原來(lái)有多少個(gè)。這類同學(xué)的思維水平僅次于前四分之一同學(xué)。而最不理想的是，剩余的約一半的同學(xué)，不能準(zhǔn)確地判斷一份是多少，所以對(duì)本題束手無(wú)策或方法完全不對(duì)。

（2）關(guān)于小組合作的觀察。從9個(gè)小組交流記錄的情況來(lái)看，有的組用除法思路移第一題的比較多，也有一些是1個(gè)1個(gè)嘗試著移的，然后每一次用除法或乘法來(lái)檢驗(yàn)的，有部分同學(xué)在交流的時(shí)候就直接說(shuō)移3個(gè)圓片到第1行，這樣第2行就是第1行的2倍，而有的同學(xué)思路的闡述就會(huì)更清晰些。第二題大部分同學(xué)是嘗試著移圓片，先移1個(gè)，看看不符合就再移一個(gè)，到符合為止，只有個(gè)別同學(xué)是用和倍問(wèn)題的思路來(lái)解決的。

（3）關(guān)于全班交流的觀察。經(jīng)過(guò)兩次觀察量表的改進(jìn)，我們發(fā)現(xiàn)第三次的觀察量表能夠更加關(guān)注到學(xué)生解決問(wèn)題方式的多樣性，關(guān)注到學(xué)生的思維過(guò)程。在獨(dú)立思考階段，學(xué)生呈現(xiàn)在紙上的就是他的思維的結(jié)果，問(wèn)題情境一中就是移完之后的情況，對(duì)于他是怎么想的，我們是無(wú)法考察的，如果是原來(lái)的一張量表，我們可能也就是記錄了這樣一個(gè)結(jié)果。但是，有了組內(nèi)交流的觀察量表之后，我們就會(huì)去記錄孩子的思考過(guò)程，來(lái)不及記錄的也會(huì)先錄音再整理，學(xué)生的思考過(guò)程就暴露出來(lái)了。所以從多方面用多種工具觀察學(xué)生，可以發(fā)現(xiàn)更多深層次的問(wèn)題。

3.三磨：基于學(xué)習(xí)方式的優(yōu)化

（1）直觀——抽象。在“任務(wù)一”移動(dòng)圓片環(huán)節(jié)中，紙筆的學(xué)習(xí)方式要求先劃掉第二行的圓片，再在第一行補(bǔ)上一個(gè)，劃一個(gè)補(bǔ)一個(gè)，被劃去的圓片對(duì)學(xué)生解題存在干擾，只能達(dá)到靜態(tài)呈現(xiàn)的單一效果。而采用iPad新學(xué)習(xí)方式后，學(xué)生借助iPad直接移動(dòng)圓片，提高了操作性，增強(qiáng)直觀性，便于學(xué)生理解。

（2）同步——分層。在前兩次試教活動(dòng)中，學(xué)生在完成“任務(wù)二”時(shí)出現(xiàn)一下子找不到解題思路的情況。新的教學(xué)設(shè)計(jì)中利用iPad增設(shè)提示卡，解題稍有困難的學(xué)生可根據(jù)提示卡完成解題，體現(xiàn)教學(xué)分層，是學(xué)習(xí)方式得到優(yōu)化的體現(xiàn)。

（3）局部——整體。傳統(tǒng)的課堂學(xué)習(xí)，大多局限于小組內(nèi)的交流。利用iPad分享圈的功能，便于將作品上傳至班級(jí)，學(xué)習(xí)圈瞬間變大，學(xué)生的討論交流與作品分享從小組圈擴(kuò)大到班級(jí)圈。

（4）傳統(tǒng)——技術(shù)。利用iPad進(jìn)行本節(jié)課的教學(xué)成為一大亮點(diǎn)。iPad項(xiàng)目組老師重點(diǎn)指導(dǎo)了教師機(jī)互動(dòng)模塊與學(xué)生機(jī)并聯(lián)的方法。我們將繼續(xù)探究iPad在不同學(xué)段、不同課型、不同時(shí)段中的應(yīng)用，完善教學(xué)資源庫(kù)，進(jìn)一步探索iPad課堂教學(xué)模式。

四、歷程的回顧

1.以一道習(xí)題的解決，促一種數(shù)學(xué)思想的啟迪。在研究解答這道習(xí)題的過(guò)程中，自主地運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)思想方法，靈活、有效地解決實(shí)際問(wèn)題。

2.由一節(jié)短課的交流，催一場(chǎng)數(shù)學(xué)思維的碰撞。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，人的內(nèi)心深處都渴望自己是一名探索者、求異者。在“求異”中勢(shì)必促進(jìn)思維的發(fā)散，勢(shì)必引起思維的碰撞，在碰撞中產(chǎn)生不同的想法，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)生成性資源的共享，讓課堂更加精彩。

3.憑一方iPad的應(yīng)用，尋一場(chǎng)教學(xué)技術(shù)的革命。基于iPad的智慧課堂教學(xué)模式，利用信息技術(shù)去創(chuàng)設(shè)情境以聯(lián)結(jié)學(xué)生、組織合作、討論問(wèn)題、提煉觀點(diǎn)、總結(jié)方法，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)處理海量信息，不斷處理材料，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

4.歷一次數(shù)據(jù)的分析，促一種教研方式的轉(zhuǎn)型。一份科學(xué)合理的前測(cè)題和課堂觀察量表的設(shè)計(jì)，以及科學(xué)、精準(zhǔn)的后續(xù)數(shù)據(jù)分析，證實(shí)了教師從經(jīng)驗(yàn)型向研究型的轉(zhuǎn)變。并以此指導(dǎo)教師教學(xué)實(shí)踐，讓我們每一位教師更加致力于從效果出發(fā)研究教學(xué)、改進(jìn)教學(xué)。

5.用一周時(shí)間的共商，聚一個(gè)團(tuán)隊(duì)智慧的結(jié)晶。我校數(shù)學(xué)教研組全員參與，分八個(gè)小組。異質(zhì)分組，青藍(lán)互促。

6.借一場(chǎng)賽事的開(kāi)展，推一種教研模式的形成。活動(dòng)不僅提升了我校原有的對(duì)學(xué)生層面開(kāi)展的“任務(wù)導(dǎo)學(xué)”的研究，而且促進(jìn)了我校新增的對(duì)教師層面開(kāi)展的“任務(wù)導(dǎo)研”的探索。

本次活動(dòng)真正達(dá)到了兩個(gè)面向全體——面向全體學(xué)生，面向全體老師。不僅是學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，而且也是老師的深度學(xué)習(xí)，兩個(gè)層面的深度學(xué)習(xí)，真正實(shí)現(xiàn)了教學(xué)相長(zhǎng)。