高斯消元法的教學(xué)創(chuàng)新與實踐

何章鳴 馬正芳

摘要：在高斯消元法教學(xué)中有一個怪現(xiàn)象：很多學(xué)員“講解快懂，做題快懵”。作者查閱國內(nèi)外經(jīng)典教材中高斯消元法講義后，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致上述現(xiàn)象的關(guān)鍵原因是：傳統(tǒng)解法“消元一回代一寫解”的步驟指代不清。在信息時代背景下，文章提出了“提取一變換一還原一移項一補齊”五步變換法，該方法更具體、更規(guī)范。結(jié)合數(shù)學(xué)軟件MATLAB將該方法付諸教學(xué)實踐，結(jié)果表明新方法過程具體、操作性強，可有效提高學(xué)員的學(xué)習(xí)效率。

關(guān)鍵詞：課程設(shè)置;教學(xué)創(chuàng)新;線性代數(shù);高斯消元法;數(shù)學(xué)軟件

中圖分類號：G642.3 文獻標(biāo)識碼：A 收稿日期：2019-06-04 文章編號：1674-120X（2019） 29-0104-02

一、引言

線性代數(shù)以向量、線性空間、線性變換和線性方程組等為對象，研究秩的等價不變性、特征值的相似不變性和慣性數(shù)的合同不變性，被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)和社會科學(xué)中。在線性代數(shù)教材[1][2]的內(nèi)容組織架構(gòu)中，線性方程組是各章節(jié)的樞紐工具。因而，線性代數(shù)關(guān)注點可歸結(jié)為兩個方面：第一，回答線性方程解的唯一性、存在性和結(jié)構(gòu)性問題;第二，相似性和二次型可以看成方程組的應(yīng)用。高斯消元法（Gaussian Elimination）印證了線性方程組和線性代數(shù)的實用性。[3]查閱國外經(jīng)典教材[4]和國內(nèi)教材可發(fā)現(xiàn)高斯消元法解線性方程組的主要工作是對增廣矩陣（Augmented Matrix）進行初等行變換，常把高斯消元法分解為三個步驟：步驟一，消元（Variable Elimination）：把增廣矩陣化為行階梯形，如果最后一個階梯的非零元素出現(xiàn)在最后，則方程組無解，否則方程有解;步驟二，回代（BackSubstitution）：在有解的情況下把行階梯形化為最簡行階梯形;步驟三，寫解（Write Solution）：把最簡行階梯形還原為同解方程組，求出所有解。

上面的解題步驟存在三個問題：問題一：步驟一忽略了消元前的增廣矩陣的提取過程，容易導(dǎo)致學(xué)員解題開端困難;問題二：步驟一和步驟二界線模糊，未考慮到常用數(shù)學(xué)軟件MATLAB并沒有行階梯形對應(yīng)的命令。因為行階梯形 “不唯一”，容易導(dǎo)致學(xué)員解題不規(guī)范、易出錯;問題三：步驟三中“求出所有解”指代不清，隱藏大量細節(jié)步驟，容易導(dǎo)致學(xué)員解題丟三落四、得分率低。下面將進一步分析傳統(tǒng)高斯消元法的問題，最后給出對應(yīng)的解決方案。

二、問題分析與解決方案

（一）問題分析

問題一：傳統(tǒng)方法忽略了增廣矩陣提取過程。例如，如圖1所示，二維平面上的一條直線的方程為。1。該方程非常簡單，而它的增廣矩陣并不是顯而易見的。教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，大量學(xué)員提取出錯誤的增廣矩陣，例如提取的增廣矩陣為[A，b]=[1，1]。經(jīng)分析，原因可歸納為兩個方面：第一，自以為直線方程x=1是一維空間，其實該直線不經(jīng)過零點，并不能構(gòu)成線性空間，其實，該直線只是二維平面{[x，y]|x， y是實數(shù)}的一個子集，可表示為{[1，y]|y是實數(shù)};第二，方程x=1省略了0和1，實際上這是不規(guī)范的寫作習(xí)慣，容易導(dǎo)致提取出錯誤的增廣矩陣。實際上，x=1的完整式為1*x+0*y=1。對應(yīng)的，增廣矩陣為[A，b]=[1，0， 1]。

問題二：傳統(tǒng)高斯消元法中，變換過程被分解為“消元”和“回代”兩部分。但是由于行階梯形不唯一，導(dǎo)致“消元”過程指代不清，不同學(xué)員獲得的行階梯形就不同，因而很難跟蹤和判斷答案是否正確。把“消元”和“回代”合二為一是必要的，即用“變換”直接獲得最簡行階梯形，原因有兩個：第一，最簡行階梯形是唯一的，學(xué)員能夠清晰地跟蹤和判斷答案是否正確，“一桿到底”更符合多數(shù)人的解題心理。行階梯形只是一個中間過程，不需要跟蹤其正確性。正因如此MATLAB和MATHMATICA沒有求解階梯形的命令。第二，合二為一后，規(guī)則簡單，容易上手，更符合信息時代背景。實際上MATLAB存在最簡行階梯形的命令，即RREF，為Reduce Row Echelon Form的縮寫。傳統(tǒng)的“消元”和“回代”的劃分方法符合計算機資源匱乏的手算時代。盡管行階梯形不唯一，但是若能提前判斷方程沒有解，則沒有必要將增廣矩陣化簡為最簡行階梯形，這樣就可以節(jié)約少量計算機資源。在信息時代背景下，教學(xué)計算機的計算性能冗余，筆者認為“規(guī)則簡單，機器判別”比“節(jié)約少量日算資源”更加可取。

問題三：傳統(tǒng)方法的“寫解”非常籠統(tǒng)，過程任務(wù)指代不清，學(xué)員無法理解其中的內(nèi)涵，在解題時不知如何下手。實際上，“寫解”需要規(guī)范地分解為三個步驟：第一，把最簡行階梯形還原為線性方程組，“還原”是“提取”的逆過程，提取和還原構(gòu)成了線性方程組求解的一個閉環(huán);第二，移項：非階梯元所對應(yīng)的變量就是自由變量，將自由變量移到方程組的右邊，即用自由變量表示非自由變量;第三，補齊：把自由變量代表的恒等式補齊?！把a齊”是“省略”的逆過程，此時非齊次方程組的特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系已經(jīng)出現(xiàn)。

（二）解決方案

基于上述分析，提出過程規(guī)范的、操作性更強的、更適合教員教學(xué)和學(xué)員解題的線性方程組解法，所示，該方法包含“提取一變換一還原一移項一補齊”五個步驟，因此又稱該方法為“五步變換法”。

圖2刻畫了傳統(tǒng)高斯消元法與五步變換法的對應(yīng)關(guān)系，區(qū)別有三個方面：第一，增加了“提取”過程。第二，將“消元”和“回代”合并為“變換”。第三，將“寫解”劃分為 “還原”“移項”“補齊”。

接下來，用“五步變換法”求解二維平面上的直線方程x=1。步驟一，提取：從x=1提取出增廣矩陣，得[A，b]=[1，0，1];步驟二，變換：將增廣矩陣變換為最簡行階梯形，[A，b]=[1， 0， 1]本身是最簡行階梯形”y自由變量，x為非自由變量，rank[A，b]=rankA=1，故方程有解;步驟三，還原：將最簡行階梯形還原為階梯方程組，得1*x+0*y=1;步驟四，移項：將自由變量移到方程右邊，得1*x=1+0*y;步驟五，補齊：將自由變量恒等式補齊，得到線性方程組的規(guī)范答案1*x=1+0*y， y=0+1*y，即[x，y]=[1，0]+y[0，1]。