變截面桿交界面處應(yīng)力均勻性問題計(jì)算機(jī)仿真

齊敏菊，高光發(fā)

(1. 淮南師范學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽 淮南 232001；2. 南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

為了利用一維彈性波理論分析變截面桿中應(yīng)力波在交界面上的透反射現(xiàn)象，假設(shè)兩桿雖然截面積不相等，但皆兩桿的界面遠(yuǎn)小于其長度，因而可以不考慮變截面處附近相對較長一段區(qū)域內(nèi)分應(yīng)力狀態(tài)[1-2]。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，這一條件不一定完全得到滿足，如在分離式Hopkinson壓桿試驗(yàn)過程中，試件的長度一般皆小于其直徑，此時(shí)分析交界面兩端區(qū)域的應(yīng)力場分布不均勻性就不得不考慮了。對于截面突變對應(yīng)力波傳播的研究由于應(yīng)力波理論的非線性，利用理論給出準(zhǔn)確的三維解析解較難，大多為定性的結(jié)論。同時(shí)利用廣義波阻抗理論所給出的結(jié)果在一定程度上能夠滿足當(dāng)前應(yīng)用需求，然而，隨著科研的深入，對科研定量結(jié)果的精度要求日益變高，不少學(xué)者利用數(shù)值仿真方法對變截面桿中應(yīng)力波彌散問題開展研究[3-8]，由于當(dāng)時(shí)數(shù)值仿真手段和計(jì)算機(jī)硬件的限制，這些研究大多側(cè)重于二維仿真研究，但也給出了相對準(zhǔn)確科學(xué)的結(jié)論。本文在此前提下，利用ABAQUS非線性動力學(xué)軟件，在量綱分析的基礎(chǔ)上，研究影響變截面桿兩側(cè)應(yīng)變場分布的因素及其影響規(guī)律，對分析應(yīng)力波在變截面桿中的傳播演化機(jī)制和精細(xì)化分離式Hopkinson壓桿試驗(yàn)的設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理有著一定的定量參考價(jià)值。

1 仿真模型與量綱分析

如圖1所示，假設(shè)桿長度無限，細(xì)長桿截面積分別為A1和A2，兩桿材料相同，其密度和聲速分別為ρ和C，設(shè)桿材料為彈性材料，不考慮其屈服強(qiáng)度；入射波為單脈沖壓縮加載波，其強(qiáng)度為P。

圖1 變截面桿簡化模型

由此可以知道交界面兩側(cè)紊亂區(qū)長度(自交界面起計(jì)算)雖不一定相等，但理論上皆可以寫為

L=f(ρ，C，P，A1，A2)

(1)

利用量綱分析理論即可得到

(2)

此問題為典型的軸對稱問題(見圖1)，利用ABAQUS軟件建立此仿真模型，其中大桿長度為500mm，截面直徑為10mm，小桿長度為250mm，其截面直徑分別為9mm、8mm、7mm、6mm、5mm、4mm、3mm、2mm和1mm，即面積匹配系數(shù)分別為0.81、0.64、0.49、0.36、0.25、0.16、0.09、0.04和0.01；桿材料密度為7.8mg/mm3，楊氏模量為210GPa，可以計(jì)算出桿材料聲速為5 189mm/ms。仿真模型為二維軸對稱模型，取二分之一模型為研究對象，網(wǎng)格尺寸為0.1mm×0.1mm。矩形脈沖波峰值應(yīng)力分別為100MPa、200MPa、300MPa、400MPa和500MPa。

根據(jù)波動理論，容易計(jì)算出不同面積匹配系數(shù)時(shí)的無量綱反射波和透射波強(qiáng)度

(3)

取桿中遠(yuǎn)離變截面區(qū)域的兩個(gè)截面，可以得到桿中準(zhǔn)一維波穩(wěn)定傳播階段的反射波和透射波強(qiáng)度，數(shù)值仿真結(jié)果與理論結(jié)果對比如圖1所示。

圖2 不同截面積匹配系數(shù)下數(shù)值仿真與理論結(jié)果對比

從圖2可以看出，數(shù)值仿真結(jié)果與理論結(jié)構(gòu)基本一致，說明了該數(shù)值仿真模型的科學(xué)與準(zhǔn)確性。

2 應(yīng)力紊亂區(qū)的特征分析

以面積匹配系數(shù)為D=0.01為例，從仿真結(jié)果可以看出，如圖2所示，應(yīng)力波到達(dá)變截面處發(fā)射和透射波在附近區(qū)域呈現(xiàn)紊亂狀態(tài)，而且由于兩桿的直徑不同，其紊亂區(qū)間的長度不同，容易看出，小直徑部分紊亂區(qū)間較小，而大直徑部分紊亂區(qū)間較大。呈現(xiàn)此現(xiàn)象主要原因是因?yàn)樵救肷浯笾睆綏U中應(yīng)力是均勻的且剪應(yīng)力存在，當(dāng)應(yīng)力到達(dá)交界處時(shí)，由于中間區(qū)域與小直徑桿直接接觸，而外部區(qū)域交界面則為自由面，其應(yīng)力波反射應(yīng)變場的不均勻?qū)е缕鋺?yīng)力場的紊亂，沿著徑向方向存在剪應(yīng)力，如圖3所示，圖3中取面積匹配系數(shù)為0.25時(shí)交界面處大直徑桿一側(cè)單元上的剪切應(yīng)力參數(shù)，為對比不同入射強(qiáng)度時(shí)該界面上的剪切應(yīng)力，定義縱坐標(biāo)為無量綱剪切應(yīng)力

(4)

式中：σ12表示單元上的剪切強(qiáng)度。

圖2 應(yīng)力波到達(dá)“交界面”處透反射波的紊亂現(xiàn)象

圖3 不同入射強(qiáng)度剪切應(yīng)力沿徑向方向上的分布

從圖3中可以看出，不同入射強(qiáng)度時(shí)交界面處大口徑桿上的剪切應(yīng)力沿徑向坐標(biāo)的變化而變化的趨勢和無量綱數(shù)值基本相同；當(dāng)徑向坐標(biāo)為0時(shí)，即中心點(diǎn)上單元所受剪切應(yīng)力接近于0，隨著徑向坐標(biāo)逐漸增大，即逐漸從對稱軸中心線向外時(shí)，單元上的剪切應(yīng)力逐漸增大，直到到達(dá)小桿最外側(cè)對應(yīng)的大桿接觸點(diǎn)處達(dá)到最大，此時(shí)剪切應(yīng)力均達(dá)到接近入射壓縮強(qiáng)度值；坐標(biāo)繼續(xù)增大式，此時(shí)單元即為大桿自由端面上的單元，其剪切應(yīng)力急劇減小至0。

對于不同面積匹配系數(shù)而言，當(dāng)入射強(qiáng)度相同時(shí)，其剪切應(yīng)力的徑向分布特征類似，如定義兩桿交界面上大桿側(cè)單元的徑向坐標(biāo)與小桿半徑之比為無量綱徑向坐標(biāo)，可以得到圖4。從圖中可以看出隨著面積不匹配系數(shù)的增大，即截面積逐漸接近，桿中心周圍的剪應(yīng)力越小，其意味著壓應(yīng)力越均勻。同樣，也可以得到從交界面起沿著兩桿中心軸線方向上其正應(yīng)力的分布圖，如圖5～圖6所示。

圖4 不同面積匹配系數(shù)剪切應(yīng)力沿徑向方向上的分布

圖5 小桿中正應(yīng)力沿軸線方向上的不均勻分布

從圖5和圖6中可以看出：在小桿中，從兩桿交界面向小桿方向沿軸線坐標(biāo)增大時(shí)，其軸向正應(yīng)力逐漸增大，直到應(yīng)力達(dá)到均勻區(qū)；在大桿中，從兩桿交界面向大桿方向驗(yàn)證軸線坐標(biāo)增大時(shí)，其軸向正應(yīng)力逐漸減小，直到達(dá)到均勻區(qū)。

3 應(yīng)力紊亂區(qū)的長度及其影響因素

從圖5和圖6也可以看出，當(dāng)面積匹配系數(shù)小時(shí)沿著兩桿中心軸線方向上的應(yīng)力梯度大，而隨著面積匹配系數(shù)的增大，其應(yīng)力梯度逐漸減小，其意味著隨著面積匹配系數(shù)增大，應(yīng)力均勻性越好。如果我們定義一個(gè)應(yīng)力不均勻度

(5)

式中：σ22表示桿中心軸向正應(yīng)力，σuni表示均勻區(qū)桿中心軸向正應(yīng)力；從定義可以看出，應(yīng)力不均勻度越低桿中應(yīng)力越均勻，等于零時(shí)完全均勻。我們可以計(jì)算出不同面積匹配系數(shù)時(shí)小桿中的最大應(yīng)力不均勻度，如圖7所示。從圖7中可以看出，隨著面積匹配系數(shù)的增大，小桿中最大應(yīng)力不均勻度逐漸呈二次函數(shù)從26.2%減小到8.2%；對于大桿而言，最大應(yīng)力不均勻度從694.1%降低到112.2%。

圖6 大桿中正應(yīng)力沿軸線方向上的不均勻分布

圖7 桿中不均勻度與面積匹配系數(shù)之間的關(guān)系

假設(shè)當(dāng)|(σ22-σuni)/P|×100%<1%時(shí)認(rèn)為桿中應(yīng)力達(dá)到均勻，否則就處于應(yīng)力紊亂區(qū)，并定義一個(gè)無量綱應(yīng)力紊亂區(qū)長度為

(6)

可以從仿真結(jié)果中得到當(dāng)入射強(qiáng)度為100MPa時(shí)，在不同面積匹配系數(shù)條件下兩桿中的應(yīng)力紊亂區(qū)長度，如圖8所示。從圖中可以看出，隨著面積匹配系數(shù)的提高，兩桿中的應(yīng)力紊亂區(qū)無量綱長度均有下降的趨勢，而且大桿中更為明顯：小桿中當(dāng)面積匹配系數(shù)為0.09時(shí)，其最大應(yīng)力紊亂區(qū)無量綱長度為0.60，面積匹配系數(shù)達(dá)到0.81時(shí)，其最大應(yīng)力紊亂區(qū)無量綱長度降為0.51，降幅達(dá)到15%；而大桿中面積匹配系數(shù)為0.09時(shí)，其最大應(yīng)力紊亂區(qū)無量綱長度為1.00，面積匹配系數(shù)達(dá)到0.81時(shí)，其最大應(yīng)力紊亂區(qū)無量綱長度降為0.7，降幅為30%。

圖8 桿中應(yīng)力紊亂區(qū)無量綱長度

圖9 入射強(qiáng)度對桿中中心軸向上應(yīng)力分布的影響

當(dāng)入射強(qiáng)度從100MPa上升到200MPa、300MPa和400MPa時(shí)，計(jì)算結(jié)果顯示以上規(guī)律基本一致，而且在桿中心軸線上，其無量綱正應(yīng)力(正應(yīng)力與入射強(qiáng)度之比)與入射強(qiáng)度為100MPa時(shí)基本一致，因此，可以認(rèn)為在彈性階段，對于同一種桿材料而言，入射波強(qiáng)度對于桿中紊亂區(qū)長度影響可以不予考慮，影響兩桿中應(yīng)力紊亂區(qū)應(yīng)力分布和應(yīng)力紊亂區(qū)無量綱長度的只有面積匹配系數(shù)。

4 結(jié)論

在材料的分離式Hopkinson桿動態(tài)力學(xué)性能試驗(yàn)過程中，兩個(gè)基本假設(shè)之一即是認(rèn)為應(yīng)力波在桿和試件中均勻的以平面波的形式傳播，然而，在實(shí)際過程中，由于試件和桿截面的不匹配會導(dǎo)致在兩桿與試件的接觸面附近產(chǎn)生應(yīng)力紊亂，了解并定量確定紊亂區(qū)的應(yīng)力不均勻程度和長度對于確定試件的徑向與軸線尺寸以及提高試驗(yàn)的準(zhǔn)確性具有重要的指導(dǎo)意義。以此為背景，開展系列仿真研究，并得到了以下主要結(jié)論。

首先，分析表明，影響應(yīng)力紊亂區(qū)應(yīng)力分布情況和長度最重要的兩個(gè)因素即為無量綱入射波強(qiáng)度和面積匹配系數(shù)，而數(shù)值仿真顯示，無量綱入射波強(qiáng)度對于應(yīng)力紊亂并沒有明顯的影響；因此，影響應(yīng)力紊亂區(qū)應(yīng)力不均勻度和長度的主要是面積匹配系數(shù)。

其次，產(chǎn)生應(yīng)力紊亂區(qū)的主要原因是由于界面兩端由于面積不匹配導(dǎo)致在大桿側(cè)單元產(chǎn)生存在應(yīng)力梯度的剪切應(yīng)力；隨著面積匹配系數(shù)的增加，兩桿中應(yīng)力不均勻度皆逐漸降低；同時(shí)，兩桿中紊亂區(qū)無量綱長度也隨之逐漸降低，但在絕對尺寸上，當(dāng)大桿直徑不變時(shí)，隨著小桿直徑的減小，小桿中應(yīng)力紊亂長度卻也隨之減小。

第三，當(dāng)面積匹配系數(shù)為0.09～0.81區(qū)間內(nèi)的值時(shí)，應(yīng)力紊亂區(qū)長度在大桿和小桿中的相對尺寸基本分別在0.70～1.00和0.51～0.60之間，因此，考慮到大桿的尺寸與應(yīng)力波測量方式，對于大桿中應(yīng)力波測量并沒有影響，而試件一般長徑比皆約為0.5作用，因此面積匹配系數(shù)對試件中的應(yīng)力不均勻分布有著明顯的影響。