顆粒物質(zhì)在豎直振動U 形管中遷移的離散元方法模擬

郭 宇，凡鳳仙，白鵬博，劉 舉

（上海理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，上海 200093）

顆粒物質(zhì)是由大量離散的固體顆粒相互作用而形成的具有內(nèi)在聯(lián)系的復(fù)雜體系，作為一種特殊的物質(zhì)形態(tài)，其在受到周期性振動激勵時呈現(xiàn)出復(fù)雜而奇特的行為[1]，如隆起和對流[2-3]、表面波和斑圖[4-5]、尺寸分離[6-7]及毛細(xì)效應(yīng)[8-10]等。近年來，顆粒在豎直振動U 形管內(nèi)發(fā)生遷移的現(xiàn)象引起了研究者的關(guān)注[11-20]，其表現(xiàn)為：對填充有顆粒物質(zhì)的U 形管施加豎直正弦振動，在適當(dāng)?shù)恼駝訌?qiáng)度下，經(jīng)過一段時間之后，U 形管內(nèi)顆粒運(yùn)動狀態(tài)將達(dá)到穩(wěn)定，此時U 形管兩分支內(nèi)顆粒柱形成一個穩(wěn)定的高度差，該穩(wěn)定高度差與初始高度差無關(guān)。

早在1976 年，Gutman[21]就發(fā)現(xiàn)了豎直振動U 形管中顆粒的遷移現(xiàn)象，并將其歸因于U 形管底部水平方向上間隙氣體壓力梯度作用；1991 年，Rajchenbach[2]在真空條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)顆粒遷移現(xiàn)象仍然發(fā)生，這表明間隙氣體不是顆粒遷移的必要條件，進(jìn)而提出了顆粒遷移的對流機(jī)理。即由于顆粒的隨機(jī)速度梯度引起顆粒由疏松區(qū)向密實(shí)區(qū)運(yùn)動，形成顆粒對流，導(dǎo)致了顆粒的遷移。然而根據(jù)該機(jī)理，U 形管一個分支內(nèi)顆粒柱高度增加，另一個分支內(nèi)顆粒柱高度下降，直至降為0，顆粒遷移才會停止，這與實(shí)際情況不符。1998 年，Ohtsuki 等[11]以插有豎直隔板而底部連通的顆粒床為研究對象，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了隔板位置、顆粒粒徑、振動頻率、振動強(qiáng)度對顆粒遷移具有重要影響，同時，利用二維離散元方法（discrete element method，DEM）模擬獲得了顆粒遷移受顆粒量、顆粒與管壁間摩擦系數(shù)的影響特性，展現(xiàn)了顆粒對流現(xiàn)象以及管壁對顆粒的平均剪切應(yīng)力；此外，基于穩(wěn)定狀態(tài)下豎直方向顆粒微元受力方程，推導(dǎo)出隔板兩側(cè)顆粒表面高度差的理論表達(dá)式。2001 年，Akiyama 等[12]在不同氣壓下針對隔板兩側(cè)等寬的顆粒床進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)增加氣壓對顆粒遷移起促進(jìn)作用，但氣壓不是顆粒遷移的必要條件；進(jìn)而在忽略環(huán)境空氣條件下開展DEM 模擬，給出了顆粒運(yùn)動狀態(tài)達(dá)到穩(wěn)定時顆粒的平均速度分布，但缺少對顆粒遷移動態(tài)過程的展示和分析。近年來，隨著振動顆粒行為研究興起，圍繞U 形管內(nèi)顆粒遷移的報道增多。2007 年，King 等[13]給出了浸沒在水中的顆粒物質(zhì)在插有隔板的容器內(nèi)的遷移特性，并基于壓力梯度作用機(jī)理對顆粒遷移進(jìn)行了解釋；在此基礎(chǔ)上，2009 年，Clement 等[14]對這一系統(tǒng)中顆粒物質(zhì)的遷移進(jìn)行了較為全面的研究。2009 年，Sánchez 等[15]通過實(shí)驗(yàn)研究給出了不同水平振動分量下U 形管兩分支顆粒柱高度差隨時間的演變情況；同時，基于循環(huán)流化思想建立了高度差增長模型，該模型適用于細(xì)顆粒、低頻率和有空氣存在的情況，粗大顆粒或無空氣時的遷移機(jī)制和規(guī)律仍有待探討。2011 年，Darias 等[16]通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，隨著振動強(qiáng)度的增大，U 形管內(nèi)顆粒物質(zhì)呈現(xiàn)出三種不同的行為，即振動強(qiáng)度很小時顆粒物質(zhì)表現(xiàn)出固體特性，不發(fā)生流動；在中等振動強(qiáng)度下，U 形管兩分支顆粒柱高度差隨時間呈指數(shù)增長，指數(shù)增長率隨振動強(qiáng)度的變化曲線呈S 形；當(dāng)振動強(qiáng)度很大時，顆粒表現(xiàn)出黏性流體行為，指數(shù)增長率突變?yōu)?。同年，Pérez 等[17]實(shí)驗(yàn)研究了顆粒與管壁間摩擦系數(shù)對U 形管兩分支顆粒柱高度差指數(shù)增長率的影響，發(fā)現(xiàn)隨著摩擦系數(shù)的增大，指數(shù)增長率減小，顆粒發(fā)生遷移所需的振動強(qiáng)度下限增大；將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與基于循環(huán)流化思想的理論模型[15]預(yù)測結(jié)果相對比，發(fā)現(xiàn)該模型在摩擦系數(shù)較低時和實(shí)驗(yàn)符合較好，但在摩擦系數(shù)高時和實(shí)驗(yàn)的差異很大。2012 年，Sánchez 等[18]對U 形管中顆粒遷移進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)和二維DEM 模擬，指出顆粒遷移可歸因于兩類機(jī)理：壓力梯度作用機(jī)理與壁面摩擦作用機(jī)理，兩者在不同的條件下起主導(dǎo)作用。2013 年，Darias 等[19]利用實(shí)驗(yàn)和二維DEM 模擬展示了間隙氣體作用可以忽略的情況下，豎直振動的準(zhǔn)二維U 形管兩分支內(nèi)顆粒柱高度差隨時間的演變過程，并通過二維DEM 模擬探討了管寬度、顆粒密度、顆粒與壁面間恢復(fù)系數(shù)對穩(wěn)定高度差的影響。2015 年，Sánchez 等[20]考慮到顆粒與U 形管之間延遲耦合，對基于循環(huán)流化思想的模型[15]進(jìn)行了改進(jìn)，得到了能夠預(yù)測出大振動強(qiáng)度下高度差指數(shù)增長率突變?yōu)? 的理論解析式，并據(jù)此研究了管內(nèi)顆粒總質(zhì)量、黏性系數(shù)、顆粒密度、U 形管截面積、振動強(qiáng)度和頻率對指數(shù)增長率的影響規(guī)律。

綜上所述，豎直振動U 形管中顆粒遷移的相關(guān)研究主要集中在通過實(shí)驗(yàn)、理論和數(shù)值模擬探討顆粒遷移的宏觀效果（如高度差增長率和穩(wěn)定狀態(tài)下的高度差），雖然提出了顆粒遷移的間隙流體作用、對流、循環(huán)流化和壁面摩擦作用機(jī)理，但這些機(jī)理是不同的研究者在不同的研究條件下提出的，各機(jī)理的相互關(guān)聯(lián)和作用范圍尚不清楚。特別是對流和壁面摩擦作用機(jī)理均是為了解釋無間隙流體存在的情況下顆粒的遷移現(xiàn)象而提出的，顆粒對流與壁面摩擦的關(guān)聯(lián)有待探究。受測量手段、實(shí)驗(yàn)條件和顆粒物質(zhì)對外部激勵的非線性響應(yīng)特性的限制，這些問題難以通過實(shí)驗(yàn)和理論研究得到完全解決，而DEM 模擬能夠跟蹤到每個顆粒的運(yùn)動，且在參數(shù)設(shè)置上具有出色的靈活性，便于從顆粒尺度上探討不同條件下顆粒物質(zhì)的行為規(guī)律，是實(shí)驗(yàn)和理論研究的有力補(bǔ)充。雖然已有研究中也涉及到DEM 模擬，但這些模擬均為二維模擬，即在建模時將球形顆粒按片狀處理，使得數(shù)值模擬結(jié)果難以準(zhǔn)確反映實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，并且研究中只關(guān)注高度差演變的宏觀效應(yīng)，缺少對顆粒尺度動力學(xué)行為的探討?；诖?，本文對無間隙流體時豎直振動U 形管中顆粒的行為規(guī)律開展三維DEM 模擬，并結(jié)合文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證模擬的正確性，進(jìn)而對有、無摩擦情況下U 形管兩分支內(nèi)顆粒動力學(xué)行為進(jìn)行對比分析，為深入理解振動顆粒行為提供基礎(chǔ)。

1 DEM 模型與數(shù)值計算方法

1.1 DEM 模型

根據(jù)牛頓第二定律，顆粒系中任意顆粒i 的運(yùn)動方程可寫為

式中：mi和Ii分別為顆粒i 的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；和分別為顆粒i 的速度和角速度；t 為時間；g為重力加速度；N 為與顆粒i 相接觸的顆粒的個數(shù)；和分別為顆粒i 和與它相接觸的顆粒j 之間的法向和切向作用力；為顆粒j 對顆粒i 的切向作用力產(chǎn)生的力矩；為顆粒j 對顆粒i 的滾動摩擦力產(chǎn)生的力矩。

由于顆粒形狀和物性的差別，描述接觸顆粒的相互作用力的模型有多種[22-24]。本文利用黏彈性接觸模型[25]描述法向作用力，采用修正的Cundall-Strack 模型[26]描述切向作用力，切向作用力由切向變形位移和切向動能損失計算，但切向作用力的極值受到顆粒摩擦系數(shù)與法向作用力乘積的限制，當(dāng)切向作用力大于該極值時，兩顆粒在接觸面發(fā)生滑動。因此，有

此外，式（4）的積分路徑path 為兩顆粒接觸期間在接觸點(diǎn)的相對位移。

根據(jù)定向恒轉(zhuǎn)矩模型[30]，可寫為

式中：μr為滾動摩擦系數(shù)；為顆粒i 與j 的相對角速度，。

對于顆粒i 與管壁的相互作用，按照上述模型將管壁視為粒徑無限大的顆粒處理。

1.2 數(shù)值計算方法

基于DEM 模型，借助開源顆粒系統(tǒng)數(shù)值模擬軟件LIGGGHTS[31]對豎直振動U 形管中顆粒物質(zhì)的動力學(xué)行為進(jìn)行數(shù)值模擬。在數(shù)值計算中，考慮摩擦?xí)r，采用與Darias 等[19]的實(shí)驗(yàn)一致的U 形管結(jié)構(gòu)（圖1）、顆粒物性參數(shù)、振動條件，具體參數(shù)如表1 所示；不考慮摩擦?xí)r，則令摩擦系數(shù)為0。Darias 等[19]的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中，U 形管內(nèi)填充有聚甲醛樹酯球形顆粒，信號發(fā)生器與音頻放大器相連，驅(qū)動揚(yáng)聲器產(chǎn)生振幅為（3.9±0.1）mm，角頻率為（73.5±0.1）rad/s 的豎直正弦振動；利用數(shù)碼照相機(jī)記錄實(shí)驗(yàn)照片。表1 中顆粒物性參數(shù)——楊氏模量、泊松比、恢復(fù)系數(shù)和摩擦系數(shù)，依據(jù)實(shí)驗(yàn)顆粒類型從文獻(xiàn)[32-33]中獲取。

圖 1 U 形管示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the U-tube

表 1 數(shù)值模擬參數(shù)Tab.1 Parameters used in numerical simulations

數(shù)值模擬時，首先將一定數(shù)目的顆粒隨機(jī)地加入計算區(qū)域，然后令顆粒在重力作用下沉降，由于重力作用、管壁的約束、顆粒與管壁的相互作用和顆粒之間的相互作用，U 形管內(nèi)顆?？倓幽芟仍龃蠛鬁p小并最終顆粒趨于總動能為0 的松弛狀態(tài)，如圖2 所示。在顆粒達(dá)到松弛狀態(tài)后，在豎直方向?qū) 形管施加振幅為A，角頻率為ω 的正弦振動，使得U 形管的豎直方向位移az隨時間t 的變化關(guān)系滿足az=Asin（ωt），并將施加振動的時刻作為計時0 點(diǎn)，即t=0。

圖 2 施加振動前顆?？倓幽茈S時間的變化關(guān)系Fig.2 Total kinetic energy of the particles as a function of time before applying vibration

對于給定的顆粒系統(tǒng)，DEM 模擬的準(zhǔn)確性及其時間成本主要受時間步長的影響，時間步長Δt 可依據(jù)顆粒碰撞時間tc進(jìn)行選擇。對于無阻尼、非黏附碰撞，碰撞時間tc可由式（8）估算[29]。

式中：meff為有效質(zhì)量，；νimp為碰撞速度。

在DEM 模擬中，時間步長Δt 常取為tc/50 ～ tc/10。本文取νimp=1 m/s 估算碰撞時間，得到tc≈ 3.2×10-5s，因此，時間步長取為Δt = tc/30 ≈ 10-6s。

2 結(jié)果與討論

2.1 豎直振動U 形管中顆粒物質(zhì)的行為模式

圖3 給出了不同情況下豎直振動U 形管中顆粒物質(zhì)的行為模式。圖3（a）為文獻(xiàn)[19]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，圖3（b）～3（d）依次為采用與實(shí)驗(yàn)相同的參數(shù)（有摩擦），顆粒與管壁間摩擦系數(shù)為0，顆粒與顆粒間摩擦系數(shù)為0 時的數(shù)值模擬結(jié)果。圖3 中，T 為U 形管振動周期，T= 2π/ω= 0.085 5 s。數(shù)值模擬結(jié)果中，顆粒顏色表征振動起始時刻顆粒位置。對比圖3（a）和圖3（b）可見，DEM 模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好，兩者都表明，對初始時刻兩分支顆粒柱等高的U 形管施加豎直振動后，一個分支顆粒柱高度逐漸上升，另一個分支顆粒柱高度逐漸下降，從而兩分支顆粒柱出現(xiàn)高度差，且高度差逐漸增加，直至最終達(dá)到一個穩(wěn)定值。與實(shí)驗(yàn)相比，數(shù)值模擬可以展現(xiàn)更為豐富的顆粒流動過程信息，具有實(shí)驗(yàn)無法比擬的優(yōu)越性。由圖3（b）可以看出：a. U 型管的振動帶動顆粒運(yùn)動，顆粒失穩(wěn)而發(fā)生重排，豎直分支內(nèi)顆粒進(jìn)入水平段，由于兩分支顆粒堆積的細(xì)微差別，從其中一個分支進(jìn)入水平段的顆粒數(shù)目較另一個分支多，因此，兩分支顆粒柱出現(xiàn)高度差；b. 在U 形管右分支顆粒向左分支遷移進(jìn)而形成高度差的過程中，右分支內(nèi)側(cè)壁面附近的顆粒下降速度更為迅速，左分支中心區(qū)域顆粒的上升速度大于兩側(cè)壁面附近顆粒的；c. U 形管兩分支呈現(xiàn)出截然不同的顆粒對流現(xiàn)象，相對右分支，左分支內(nèi)顆粒對流較弱。圖3（c）和3（d）則反映出無論是顆粒與管壁間摩擦系數(shù)為0 還是顆粒與顆粒間摩擦系數(shù)為0，豎直振動U 形管中顆粒定向遷移并最終穩(wěn)定的現(xiàn)象消失，這表明摩擦是顆粒在U 形管內(nèi)發(fā)生遷移的必要條件。對比圖3（c）和3（d）發(fā)現(xiàn)，兩種情況下顆粒的行為模式差別很大。圖3（c）表明，在顆粒與管壁間無摩擦的情況下，兩分支均是靠近內(nèi)側(cè)壁面的顆粒下降，靠近外側(cè)壁面的顆粒上升，形成顆粒對流?？梢?，U 形管內(nèi)顆粒對流現(xiàn)象的產(chǎn)生與器壁摩擦沒有必然的聯(lián)系。圖3（d）顯示，在顆粒與顆粒間摩擦系數(shù)為0 的情況下，無顆粒對流出現(xiàn)。此外，需要指出的是，在多次實(shí)驗(yàn)中由于顆粒初始堆積狀態(tài)的隨機(jī)性引起顆粒遷移方向的隨機(jī)性，文獻(xiàn)[19]中多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)表明，U 形管左分支顆粒柱高度Hl大于右分支顆粒柱高度Hr的概率與U 形管右分支顆粒柱高度大于左分支顆粒柱高度的概率相等，但顆粒柱高度差的最終穩(wěn)定值（|Hl-Hr|）不變；在數(shù)值模擬中，筆者將顆粒隨機(jī)加入到U 形管兩分支內(nèi)不同高度范圍的區(qū)域，并使顆粒沉降，以產(chǎn)生不同的初始顆粒堆積狀態(tài)，得到了和實(shí)驗(yàn)一致的結(jié)論。

圖 3 不同情況下豎直振動U 形管中顆粒物質(zhì)的行為模式Fig.3 Behavior modes of granular matter in the vertically vibrating U-tube under different conditions

2.2 豎直振動U 形管中兩分支顆粒柱高度差隨時間的演變

為了定量描述施加豎直振動后U 形管左、右分支內(nèi)顆粒柱高度Hl和Hr隨時間的演變，將U 形管豎直分支沿其高度方向（z 向）劃分為若干個連續(xù)的單元，各單元高度Δz = 2dp，利用下式計算各單元內(nèi)顆粒的容積份額

式中：φ（z）為中心高度為z 的單元內(nèi)顆粒的容積份額；Np（z）為中心高度為z 的單元內(nèi)顆粒數(shù)目；Vp為顆粒體積，；Vc為單元體積，。

取滿足φ（z）＞0.1 的單元的中心高度最大值z 為顆粒柱高度。據(jù)此，獲得Hl和Hr，并采用ΔH=Hl-Hr表示U 形管兩分支顆粒柱高度差。

圖4 給出了數(shù)值模擬得到的U 形管左、右分支顆粒柱高度及高度差隨時間的變化關(guān)系。由圖4（a）可以看出，在有摩擦的情況下，U 形管兩分支顆粒柱高度的演變過程可分為兩個階段：在0 ＜ t ＜ 300T 時，隨著振動時間的延長，U 形管左分支顆粒柱高度逐漸增加，而右分支顆粒柱高度逐漸減小，從而兩分支顆粒柱高度差增加，可稱為增長階段；t ＞ 300T 時，U 形管兩分支顆粒柱高度達(dá)到穩(wěn)定，兩分支形成一個穩(wěn)定的顆粒柱高度差，可稱為穩(wěn)定階段。由圖4（b）則可以看出，在顆粒與管壁間摩擦系數(shù)為0 時，U 形管兩分支顆粒柱高度在初始高度附近上下波動，使得高度差時而為正，時而為負(fù)。圖4（c）的結(jié)果表明，在顆粒與顆粒間摩擦系數(shù)為0 時，U 形管兩分支顆粒柱高度幾乎保持不變，高度差約為0。

2.3 顆粒豎直方向平均速度分布

為了探討U 形管兩分支內(nèi)顆粒的運(yùn)動特性，將兩分支沿水平方向劃分為等體積的5 個區(qū)域，分別計算施加豎直振動后特定時間內(nèi)不同區(qū)域顆粒豎直方向平均速度。

式中：N'為計算時間范圍內(nèi)保存數(shù)據(jù)文件的個數(shù)，本模擬中每個周期內(nèi)以相等時間間隔保存40 個數(shù)據(jù)文件；和分別為第i 個數(shù)據(jù)文件中計算區(qū)域內(nèi)顆粒平均速度和顆粒數(shù)目。對于顆粒與管壁、顆粒與顆粒間均有摩擦的情況，時間選擇為0～300T，即U 形管兩分支高度差增長階段；對于顆粒與管壁或顆粒與顆粒間無摩擦的情況，時間選擇為0 ～ 500T，即整個計算時間。

圖 4 不同摩擦系數(shù)條件下U 形管兩分支顆粒柱高度及高度差隨時間的變化關(guān)系Fig. 4 Granular column heights in two branches of the U-tube and the height difference as a function of time under different friction coefficients

圖5 給出了不同摩擦系數(shù)條件下U 形管左、右分支顆粒豎直方向平均速度沿水平方向的分布情況。圖中，橫坐標(biāo)為相對位置，即各區(qū)域中心距U 形管相應(yīng)分支內(nèi)側(cè)壁面的距離與U 形管分支寬度的比值，其中，xin為內(nèi)側(cè)壁面橫坐標(biāo)，xout為外側(cè)壁面橫坐標(biāo)，xout-xin=Wtube。由圖5（a）可知，在顆粒與管壁、顆粒與顆粒間均有摩擦的情況下，左分支中緊靠內(nèi)側(cè)壁面的顆粒具有向下的平均速度，且速度值很小0.05 m/s），緊靠外側(cè)壁面的顆粒平均速度幾乎為0，中間的3 個區(qū)域顆粒平均速度均向上，且中心區(qū)域顆粒平均速度最大；右分支中除中心區(qū)域顆粒和緊靠右側(cè)具有向上的平均速度外，其余區(qū)域顆粒的平均速度均向下，兩分支內(nèi)顆粒豎直方向平均速度特性與左分支內(nèi)顆粒柱高度增加、右分支內(nèi)顆粒柱高度減小的現(xiàn)象相符。由圖5（b）可以看出，顆粒與壁面間摩擦系數(shù)為0 時，U 形管兩分支內(nèi)對應(yīng)區(qū)域顆粒豎直方向平均速度較為接近，都表現(xiàn)出距離內(nèi)側(cè)壁面較近的區(qū)域內(nèi)豎直方向顆粒平均速度向下，而其余區(qū)域豎直方向顆粒平均速度向上，這種速度分布特性使得U 形管兩分支呈現(xiàn)類似的顆粒對流現(xiàn)象。由圖5（c）可以得到，顆粒與顆粒間摩擦系數(shù)為0 時，U 形管兩分支壁面鄰近的顆粒豎直方向平均速度幾乎為0；中心區(qū)域的顆粒豎直方向平均速度向上，與中心區(qū)域鄰近的兩區(qū)域顆粒具有豎直向下的平均速度，3 個區(qū)域內(nèi)顆粒的凈質(zhì)量通量約為0，因此，U 形管兩分支顆粒柱無明顯高度差。此外，豎直振動U 形管中的顆粒受到3 種力的作用，分別是管壁對顆粒的作用力、顆粒之間的相互作用力以及顆粒自身的重力。圖5（c）中，U 形管通過豎直壁面的摩擦作用和水平壁面的法向力作用對系統(tǒng)輸入動能，引起U 形管內(nèi)顆粒發(fā)生運(yùn)動。但由于顆粒之間不存在摩擦，U 形管中心區(qū)域顆粒因摩擦而耗散的動能為0，與壁面附近顆粒以及顆粒之間有摩擦的情況相比動能耗散較小。因此，中心區(qū)域顆粒速度達(dá)到最大值，且該最大值較圖5（a），5（b）中速度最大值大。

圖 5 不同摩擦系數(shù)條件下顆粒豎直方向平均速度隨相對位置的變化關(guān)系Fig. 5 Average vertical velocity of particles as a function of relative position under different friction coefficients

3 結(jié) 論

利用DEM 方法對豎直振動U 形管中顆粒的遷移運(yùn)動進(jìn)行三維數(shù)值模擬，將有摩擦、無摩擦情況下顆粒的動力學(xué)行為進(jìn)行對比分析，得到以下結(jié)論：

a. 利用基于DEM 方法的三維數(shù)值模擬，再現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)中得到的U 形管兩分支顆粒柱高度差隨時間演變的歷程，展現(xiàn)了顆粒的對流現(xiàn)象等顆粒尺度動力學(xué)信息。

b. 當(dāng)顆粒與管壁間摩擦系數(shù)為0 時，U 形管兩分支顆粒柱高度交替增減，兩分支內(nèi)顆粒對流現(xiàn)象類似；而當(dāng)顆粒與顆粒間摩擦系數(shù)為0 時，U 形管兩分支顆粒柱高度差幾乎為0，顆粒對流現(xiàn)象消失。

c. 摩擦系數(shù)均不為0 時，U 形管兩分支顆粒的豎直方向平均速度分布差異很大；當(dāng)顆粒與管壁間或顆粒與顆粒間摩擦系數(shù)為0 時，U 形管兩分支內(nèi)顆粒的豎直方向平均速度存在一定的一致性。