釋概念晰內(nèi)涵滲方法

【摘要】本文以數(shù)軸的教學(xué)為例論述概念教學(xué)的策略，認(rèn)為在概念教學(xué)中，教師要激活學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在結(jié)構(gòu)重組中深入理解概念;深入探究習(xí)得概念內(nèi)涵，在構(gòu)建體系中深化感知;緊扣教學(xué)版塊，巧妙滲透數(shù)學(xué)思想。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 概念教學(xué) 激活已有經(jīng)驗(yàn) 深入探究 滲透思想

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）10A-0134-02

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的重要思想，數(shù)軸作為數(shù)字與圖像結(jié)合的典型代表，在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中具有重要的價值。數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，新課標(biāo)對數(shù)軸教學(xué)提出了“還原數(shù)軸”“理解數(shù)軸”“滲透思想”的要求。如何達(dá)成這一版塊的教學(xué)要求呢？筆者結(jié)合自身的教學(xué)，分享自己的實(shí)踐與思考。

一、激活已有經(jīng)驗(yàn)，喚醒思維意識

數(shù)軸是重要的研究性工具。學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)對數(shù)軸有了初步的感性接觸，積累了一定的經(jīng)驗(yàn)。對學(xué)生而言，初中階段數(shù)軸的學(xué)習(xí)不是從零開始，教學(xué)應(yīng)該建立在學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)上。此外，數(shù)軸的概念相對抽象，但生活中有著可視化的模型，教師可以借助學(xué)生對常見實(shí)物形成的經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生理解數(shù)軸的本質(zhì)。

小學(xué)階段的學(xué)生能夠在直線上的點(diǎn)上寫出具體的數(shù)字，教師緊扣這一知識點(diǎn)對學(xué)生原始經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行拓展，深化學(xué)生對數(shù)軸的認(rèn)知。首先，教師出示一個數(shù)軸，不同的點(diǎn)對應(yīng)著不同數(shù)量的、具體的事物，要求學(xué)生在括號處填寫對應(yīng)的數(shù)值。數(shù)軸上的點(diǎn)依序排列，可以有效地讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)軸上數(shù)值的大小關(guān)系。數(shù)字與點(diǎn)位之間的對應(yīng)聯(lián)系以及直線的延伸方向，對初中生理解“直線”“點(diǎn)”“數(shù)”等概念有重要意義。其次，教師利用生活中常見的溫度計和直尺讓學(xué)生理解刻度排列的價值，如思考刻度“0”的內(nèi)涵以及如何利用溫度計表示“零上3℃”和“零下3℃”。據(jù)此，教師相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生繪制一條能夠用點(diǎn)分別表示正負(fù)數(shù)和0的直線，從而順勢引出后續(xù)的活動。實(shí)踐操作的方式激發(fā)學(xué)生的探究興趣，并強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)軸概念的認(rèn)知。具體活動的過程如下：繪制一條水平直線，取其中一點(diǎn)設(shè)置數(shù)值為0，定為原點(diǎn);確定直線向右為正方向，向左為負(fù)方向，并用箭頭加以表示;在直線上以合理的長度為單位“1”的標(biāo)準(zhǔn)值，分別向左和向右間隔一個單位取點(diǎn)設(shè)值，標(biāo)注出“1”“2”“3”“4”和“-1”“-2”“-3”“-4”……這樣的繪制活動，依托于直尺和溫度計，讓學(xué)生在繪制過程中明晰原點(diǎn)、方向和單位長度的相關(guān)概念，教師完成了對數(shù)軸概念的教學(xué)。

縱觀整個教學(xué)流程，教師在教學(xué)數(shù)軸概念時，從激活學(xué)生原始經(jīng)驗(yàn)入手，喚醒了學(xué)生對數(shù)軸中“數(shù)與點(diǎn)”的認(rèn)知，緊扣生活，利用實(shí)實(shí)在在的事物，組織學(xué)生在實(shí)踐操作中理解數(shù)軸的三個核心概念。如此教學(xué)，契合了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，不僅實(shí)現(xiàn)了知識之間的巧妙過渡，更在實(shí)踐操作過程中提升了學(xué)生的思維意識和繪圖操作能力，可謂一舉兩得。

二、深入探究，深化感知

數(shù)軸“表示”作用主要體現(xiàn)在：數(shù)軸上的點(diǎn)與數(shù)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，可以運(yùn)用點(diǎn)的方式來體現(xiàn)數(shù)值。對數(shù)軸進(jìn)一步地學(xué)習(xí)需要借助數(shù)軸直觀的“表示”作用，達(dá)成數(shù)系在數(shù)軸上的完整構(gòu)建，尤其是要借助適切的策略轉(zhuǎn)入到無理數(shù)的學(xué)習(xí)，引領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)軸“表示”作用的深刻內(nèi)涵。

在學(xué)生初步掌握數(shù)軸的核心概念之后，教師可以相機(jī)設(shè)置練習(xí)，讓學(xué)生通過在數(shù)軸上標(biāo)注具體的數(shù)值來感受數(shù)軸的“表示”作用。比如在數(shù)軸上表示“-2”“-[13]”“0.3”“2.4”，同時提出要求：將點(diǎn)標(biāo)注在橫線上，數(shù)值標(biāo)注在點(diǎn)的下面，在觀察數(shù)軸之后思考：①借助數(shù)軸，提煉出數(shù)值與點(diǎn)之間的關(guān)系;②上面的數(shù)值是否都可以在數(shù)軸上標(biāo)注出來？教師根據(jù)練習(xí)中分?jǐn)?shù)、小數(shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)的不同類型，提煉出數(shù)值在數(shù)軸上“表示”的內(nèi)在規(guī)律：數(shù)軸上的點(diǎn)可以表示所有的有理數(shù)。而對于無理數(shù)的點(diǎn)，可以采用簡單繪圖的方式進(jìn)行思考和及時性總結(jié)，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷從形象性到抽象性的過渡，實(shí)現(xiàn)數(shù)值與點(diǎn)之間的對應(yīng)感知。

事實(shí)上，數(shù)軸上的點(diǎn)不僅可以表示有理數(shù)，還可以表示無理數(shù)，這也正是數(shù)軸表示內(nèi)涵的完整展現(xiàn)，教師應(yīng)該本著構(gòu)架完整數(shù)系的原則，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)軸上表示無理數(shù)的意義并思考：數(shù)軸上可以表示出來的點(diǎn)有多少？事實(shí)上，這些點(diǎn)無論多少，都無法將一條數(shù)軸全部布滿，這就意味著數(shù)軸還可以表示哪些數(shù)呢？至此，教師可以設(shè)置兩個教學(xué)活動：第一，有一個正方形面積為2，邊長x是一個無理數(shù)，如何在數(shù)軸上將它表示出來呢？第二，圓周率π是一個典型的無限不循環(huán)小數(shù)，是否也可以在數(shù)軸上將其表示出來？這兩個活動旨在通過思考無理數(shù)的表示方法，讓學(xué)生借助無理數(shù)與線段對應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，確定無理數(shù)在數(shù)軸上的具體點(diǎn)位。

對學(xué)生來說，用數(shù)軸表示無理數(shù)是一個相對復(fù)雜的過程，但卻是學(xué)習(xí)數(shù)軸“表示”內(nèi)涵的重要組成部分，也是構(gòu)建完整數(shù)系的重要一環(huán)。教師可以借助鮮活的圖形作為學(xué)生理解的支撐，讓學(xué)生真正洞察數(shù)軸“表示”的豐富內(nèi)涵。

三、緊扣教學(xué)版塊，滲透數(shù)學(xué)思想

對初中數(shù)軸內(nèi)容的教學(xué)，不能局限在固有的知識內(nèi)容中，需要在學(xué)生吸收內(nèi)容、理解消化的基礎(chǔ)上，滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想。對數(shù)軸概念概括、提煉的過程，需要利用生活中溫度計的0刻度、單位長度和方向等，以保障提煉過程中的合理性、完整性、準(zhǔn)確性。在最后的教學(xué)版塊可以讓學(xué)生嘗試?yán)脭?shù)學(xué)語言對數(shù)軸進(jìn)行描述，即借助數(shù)軸三個核心要素以系統(tǒng)化、精準(zhǔn)化的語言對其進(jìn)行建模性描述，引導(dǎo)學(xué)生在深入實(shí)踐的過程中積累抽象、概括的方法，也可以依托辨析性的數(shù)軸問題，檢測學(xué)生對抽象性概括過程的理解程度。

在借助溫度計建立數(shù)軸的過程中，我們不能將學(xué)生的思維局限在教學(xué)的知識點(diǎn)上，而需要以滲透建模思想為歸宿，以生活中常見的實(shí)物為原型，提煉出探究性問題的數(shù)學(xué)模型，然后聚焦數(shù)軸這一研究對象，實(shí)現(xiàn)建模思想的雙向傳遞。而比較數(shù)軸上數(shù)值大小的關(guān)系的過程，可以相機(jī)滲透類比的思想。比如，借助溫度計與數(shù)軸的對應(yīng)圖，先組織學(xué)生厘清溫度計數(shù)值之間的內(nèi)在關(guān)系，并與數(shù)軸左右之間的數(shù)值關(guān)系進(jìn)行類比，借助數(shù)值大小變化與溫度計數(shù)值之間的聯(lián)系，讓學(xué)生輕松地認(rèn)識到數(shù)軸上數(shù)值從左到右依次增大。整個過程中，類比思想的滲透更有利于學(xué)生進(jìn)行規(guī)律的提煉與總結(jié)。

數(shù)軸上數(shù)值與點(diǎn)位的對應(yīng)，是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)，但是具有一定的隱蔽性和復(fù)雜性，需要教師在教學(xué)的過程中加以滲透。如圖所示，在數(shù)軸上標(biāo)有P點(diǎn)，與坐標(biāo)a對應(yīng)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)與數(shù)軸上的b對應(yīng)，由此兩點(diǎn)所形成的線段應(yīng)該如何表示？這一問題看似只是借助數(shù)軸表示兩點(diǎn)之間的距離，但實(shí)際上是一種代數(shù)的運(yùn)算，需要用到數(shù)形結(jié)合思想。結(jié)合數(shù)軸正方向唯一性的特點(diǎn)，能夠得出b>a，因此PQ=b-a。純粹地借助代數(shù)分析，并不能很好地確定b和a之間的大小關(guān)系，而巧妙地利用數(shù)軸，通過數(shù)形結(jié)合的思想就能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)符號表述幾何圖形，實(shí)現(xiàn)兩點(diǎn)距離之間的精準(zhǔn)求解。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，是新課改以來中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求。在數(shù)軸這一版塊的教學(xué)中，教師需要結(jié)合具體的問題，引導(dǎo)學(xué)生深入實(shí)踐、改變思維方式，真正促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的提升。

數(shù)軸作為典型的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，承載著讓學(xué)生理解概念、明晰內(nèi)涵以及向?qū)W生滲透思想的教學(xué)價值，教師要循序漸進(jìn)、緊扣教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)展開教學(xué)，為豐富學(xué)生認(rèn)知、豐富認(rèn)知內(nèi)涵、積淀數(shù)學(xué)思想服務(wù)。

作者簡介：覃永（1979— ），男，中學(xué)高級教師。研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。