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    例談“極端化策略”法在解題中的運用

    2014-09-16 21:06:31沈岳夫
    中學數(shù)學雜志(初中版) 2014年4期
    關鍵詞:極端化動點重合

    沈岳夫

    文[1]分別從退一步、轉視角、借數(shù)感、縝推演四個方面,闡述數(shù)學中考壓軸題的解題策略,筆者拜讀后受益匪淺.現(xiàn)結合筆者在教學實踐中積累的經(jīng)驗,談談“極端化策略”在解題中的一些做法,以與同行交流.

    1用“極端化策略”法探求函數(shù)關系中的變化規(guī)律

    對動點產(chǎn)生的圖形和圖象的函數(shù)關系式問題,有時考慮極端情形,如量的最大、最小,圖形特殊位置或臨界位置等,能找到解題的突破口,從極端情形的討論和研究找到解決最值問題的方法,進而確定函數(shù)關系的大致圖象.

    例1如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2,D是AB邊上的一個動點(不與點A、B重合),過點D作CD的垂線交射線CA于點E.設AD=x,CE=y,則下列圖象中,能表示y與x的函數(shù)關系圖象大致是().

    分析由于點D是AB邊上的一個動點,雖然不與點A、B重合,但我們可考慮其重合的情況,這樣把問題退到特殊情形.當點D與點A重合時,由于DE⊥DC,此時點E也與點A重合,則根據(jù)題意易求CE=AC=3;當點D在AB中點時,則CD=AD,∠ECD=∠DAC=30°,進而求得CE=233;當點D與點B重合時,由于DE⊥DC,此時點DE與AC平行,雖然x不能取到2,但y應該是無窮大.

    解因為∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2,所以BC=1,AC=3.當x=0時,y的值是3;當x=1時,y的值是233;當x=2時,由于DE⊥DC,此時點DE與AC平行.雖然x不能取到2,但y應該是無窮大,故結合圖象,分析可知y與x的函數(shù)關系圖象大致是B.

    點評本例直接處理,難度很大.但由于題目(包括已知條件、待求結論和圖形)中提取一些暗示信息,如D是AB邊上的一個動點(不與點A、B重合)退到特殊位置——重合,繼而對圖形進行定性、定量分析,將幾何圖形的直觀描述與代數(shù)的精確刻畫有機結合.這不僅找到了解題的切入口,而且迅速破解了問題的結論,并對此類問題的解決具有一定的導向作用.

    2用“極端化策略”法探求線段比值中的定值問題

    對于某些求解幾何圖形中的線段比值問題,若從所給圖形入手很難找到解題突破口.此時,我們?nèi)舨捎靡恍缀巫儞Q手段,如平移、翻折、旋轉等,使某些圖形回歸到特殊位置,蘊涵在其中的數(shù)量關系和位置關系的便會由隱變顯,從而達到順利而又簡捷地解決問題的目的.

    例2如圖2,四邊形ABCD和AEGH都是正方形,求GC∶HD的值.

    分析觀察圖形,直接求GC∶HD的值確實不知道從何處入手.但注意到四邊形ABCD和AEGH都是正方形,我們不妨把圖2退到圖3的特殊位置,此時因為正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上,所以∠GAE=∠CAB=45°,AE=AH,AB=AD,則A,G,C共線,AB-AE=AD-AH,進而得HD=BE,因為AG=AEsin45°=2AE,AC=ABsin45°=2AB,所以GC=AC-AG=2AB-2AE=2(AB-AE)=2BE=2HD,所以GC∶HD=2∶1.

    解如圖4,連接AG、AC,因為AGAH=ACAD=2,所以AGAC=AHAD.又因為∠GAH=∠CAD=45°,所以∠GAH-∠CAH=∠CAD-∠CAH,即∠GAC=∠HAD,所以△CAG∽△DAH,所以GC∶HD=AC∶AD=2∶1.

    點評本例從正方形AEGH的一般位置旋轉到圖3的特殊位置,發(fā)現(xiàn)了GC∶HD=2∶1,并由此獲得解題的啟發(fā),作出輔助線順利求解.這樣讓一個看似“靜態(tài)”的圖形通過旋轉,打破了思維定勢,實現(xiàn)由隱至顯、由生至熟、由深至淺、由難至易的化歸與轉化,這是把對抽象、一般問題的探究轉向對具體、特殊問題的探究,此謂“退一步,海闊天空”!

    3用“極端化策略”法探求運動變化過程中的最值

    對于某些數(shù)學問題,如果按照題意直接求解(證)有很大的困難,我們可以嘗試變換一個角度去看問題,先找出符合題意的特殊值、特殊圖形、特殊位置來進行試探,往往能得到啟示,找到解題的途徑.

    例3如圖5,兩平行線l1、l2的距離等于6,點A為l1上一定點.以AC為直徑的半圓紙片的半徑等于4.將半圓紙片裁剪得到扇形紙片AOB,圓心角∠AOB=α.將此扇形紙片繞著點A在l1、l2之間順時針旋轉,并要保證點B能落在直線l2上,請求的最大值和最小值.

    (參考數(shù)椐:sin49°=34,cos41°=34,tan37°=34.)

    分析由于以AC為直徑的半圓紙片繞著點A在l1、l2之間順時針旋轉,所以只要考慮兩種特殊情形:當OB⊥l2時,即點B是弧AB與l2相切的切點時,大到最大;當AB⊥l2時,達到最小值.

    解當OB⊥l2時,α最大.如圖6,延長BO交l1于點C.因為l1∥l2,所以∠ACO=90°,所以cos∠AOC=COAO=12,所以∠AOC=60°,所以∠AOB=120°.

    當AB⊥l2時,α最小.如圖7,過O作OH⊥AB交于點H.由垂徑定理,得AH=BH=3,所以sin∠AOH=AHAO=34,所以∠AOH=49°.因為α=2∠AOH,所以∠AOB=98°.

    綜上所述,α的最大值和最小值分別是120°和98°.

    點評本例看似較難入手,但由于扇形紙片繞著點A在l1、l2之間順時針旋轉,所以只要細心觀察、認真分析、積極思考,就能找到兩種特殊情形OB⊥l2或AB⊥l2,進而求得的最大值和最小值,這種解決問題的方法思路稱為極端化策略.極端化策略在進行某些數(shù)學過程的分析時,具有獨特作用,恰當應用極端性原則能提高解題效率,使問題化難為易,化繁為簡,思路靈活,從而達到事半功倍的效果

    4用“極端化策略”法探求運動變化過程中的不變量

    從特殊到一般,從一般到特殊的思維方法是數(shù)學和其他科學領域中進行探索發(fā)現(xiàn)真理的重要途徑.對于那些結論不明或解題思路不易發(fā)現(xiàn)的問題,可先考慮特殊情形,探求解題思路或命題的結論,再給出一般情況下的證明,體現(xiàn)了以退為進,以屈求伸的解題策略.endprint

    例4如圖8,已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為的一個定點,AC⊥軸于點M,交直線于點N.若點P是線段ON上的一個動點,∠APB=30°,BA⊥PA,則點P在線段ON上運動時,A點不變,B點隨之運動,求當點P從點O運動到點N時,點B運動的路徑長是.

    分析首先,用極端化策略考慮以下幾個位置:(1)點A與點M重合;(2)在ON上選取點P的幾個特殊位置(如O點、N點),描出相應的點B位置.從B的幾個位置猜想點B的運動路徑(或軌跡)為如圖9中的B0Bn.再利用相似可以證明.其次,如圖10所示,利用相似三角形△AB0Bn∽△AON,求出線段B0Bn的長度,即點B運動的路徑長.

    解由題意可知,OM=22,點N在直線上,AC⊥x軸于點M,則△OMN為等腰直角三角形,ON=2OM=2×23=6.如圖9所示,設動點P在O點(起點)時,點B的位置為B0,動點P在N點(終點)時,點B的位置為Bn,連接B0Bn.因為AO⊥AB0,AN⊥ABn,所以∠OAC=∠B0ABn,又因為AB0=AO·tan30°,ABn=AN·tan30°,所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°,所以△AB0Bn∽△AON,且相似比為tan30°,所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

    現(xiàn)在來證明線段B0Bn就是點B運動的路徑(或軌跡).

    如圖10所示,當點P運動至ON上的任一點時,設其對應的點B為Bi,連接AP、ABi、B0Bi.因為AO⊥AB0,AP⊥ABi,所以∠OAP=∠B0ABi,又因為AB0=AO·tan30°,ABi=AP·tan30°,所以AB0∶AO=ABi∶AP,所以△AB0Bi∽△AOP,所以∠AB0Bi=∠AOP.又因為△AB0Bn∽△AON,所以∠AB0Bn=∠AOP,所以∠AB0Bi=∠AB0Bn,所以點Bi在線段B0Bn上,即線段B0Bn就是點B運動的路徑(或軌跡).綜上所述,點B運動的路徑(或軌跡)是線段B0Bn,其長度為22.

    點評蘇諄教授曾說:“簡單情形正像是一把鑰匙、一面鏡子,可以為我們解答復雜的數(shù)學問題提供啟示與借鑒”.對于一類以探究“定值”、“定點”、“定線”為特征的數(shù)學題,可以通過“主動尋求與建構特例”,巧妙鎖定思維方向,迅速實現(xiàn)問題解決.“特例探路”實質上是一種“以退為進”的策略——退中悟理,執(zhí)理而進.這樣,就大大避免了探索的盲目性,使思維過程優(yōu)化變短,顯得簡潔明快.所謂“難的不會,想簡單的”,說的就是這個道理.

    以上僅從四個方面談了“極端化策略”法在解題中的運用.事實上,“極端化策略”法遠不止這些.只要我們認真總結,用心感悟,靈活運用,就會將“極端化策略”法變成解決數(shù)學問題的法寶和利器.

    參考文獻

    [1]錢德春.活用解題策略方入思維勝境——例談數(shù)學中考壓軸題的解題策略[J].中學數(shù)學雜志(初中版),2014(2):51-53.endprint

    例4如圖8,已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為的一個定點,AC⊥軸于點M,交直線于點N.若點P是線段ON上的一個動點,∠APB=30°,BA⊥PA,則點P在線段ON上運動時,A點不變,B點隨之運動,求當點P從點O運動到點N時,點B運動的路徑長是.

    分析首先,用極端化策略考慮以下幾個位置:(1)點A與點M重合;(2)在ON上選取點P的幾個特殊位置(如O點、N點),描出相應的點B位置.從B的幾個位置猜想點B的運動路徑(或軌跡)為如圖9中的B0Bn.再利用相似可以證明.其次,如圖10所示,利用相似三角形△AB0Bn∽△AON,求出線段B0Bn的長度,即點B運動的路徑長.

    解由題意可知,OM=22,點N在直線上,AC⊥x軸于點M,則△OMN為等腰直角三角形,ON=2OM=2×23=6.如圖9所示,設動點P在O點(起點)時,點B的位置為B0,動點P在N點(終點)時,點B的位置為Bn,連接B0Bn.因為AO⊥AB0,AN⊥ABn,所以∠OAC=∠B0ABn,又因為AB0=AO·tan30°,ABn=AN·tan30°,所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°,所以△AB0Bn∽△AON,且相似比為tan30°,所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

    現(xiàn)在來證明線段B0Bn就是點B運動的路徑(或軌跡).

    如圖10所示,當點P運動至ON上的任一點時,設其對應的點B為Bi,連接AP、ABi、B0Bi.因為AO⊥AB0,AP⊥ABi,所以∠OAP=∠B0ABi,又因為AB0=AO·tan30°,ABi=AP·tan30°,所以AB0∶AO=ABi∶AP,所以△AB0Bi∽△AOP,所以∠AB0Bi=∠AOP.又因為△AB0Bn∽△AON,所以∠AB0Bn=∠AOP,所以∠AB0Bi=∠AB0Bn,所以點Bi在線段B0Bn上,即線段B0Bn就是點B運動的路徑(或軌跡).綜上所述,點B運動的路徑(或軌跡)是線段B0Bn,其長度為22.

    點評蘇諄教授曾說:“簡單情形正像是一把鑰匙、一面鏡子,可以為我們解答復雜的數(shù)學問題提供啟示與借鑒”.對于一類以探究“定值”、“定點”、“定線”為特征的數(shù)學題,可以通過“主動尋求與建構特例”,巧妙鎖定思維方向,迅速實現(xiàn)問題解決.“特例探路”實質上是一種“以退為進”的策略——退中悟理,執(zhí)理而進.這樣,就大大避免了探索的盲目性,使思維過程優(yōu)化變短,顯得簡潔明快.所謂“難的不會,想簡單的”,說的就是這個道理.

    以上僅從四個方面談了“極端化策略”法在解題中的運用.事實上,“極端化策略”法遠不止這些.只要我們認真總結,用心感悟,靈活運用,就會將“極端化策略”法變成解決數(shù)學問題的法寶和利器.

    參考文獻

    [1]錢德春.活用解題策略方入思維勝境——例談數(shù)學中考壓軸題的解題策略[J].中學數(shù)學雜志(初中版),2014(2):51-53.endprint

    例4如圖8,已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為的一個定點,AC⊥軸于點M,交直線于點N.若點P是線段ON上的一個動點,∠APB=30°,BA⊥PA,則點P在線段ON上運動時,A點不變,B點隨之運動,求當點P從點O運動到點N時,點B運動的路徑長是.

    分析首先,用極端化策略考慮以下幾個位置:(1)點A與點M重合;(2)在ON上選取點P的幾個特殊位置(如O點、N點),描出相應的點B位置.從B的幾個位置猜想點B的運動路徑(或軌跡)為如圖9中的B0Bn.再利用相似可以證明.其次,如圖10所示,利用相似三角形△AB0Bn∽△AON,求出線段B0Bn的長度,即點B運動的路徑長.

    解由題意可知,OM=22,點N在直線上,AC⊥x軸于點M,則△OMN為等腰直角三角形,ON=2OM=2×23=6.如圖9所示,設動點P在O點(起點)時,點B的位置為B0,動點P在N點(終點)時,點B的位置為Bn,連接B0Bn.因為AO⊥AB0,AN⊥ABn,所以∠OAC=∠B0ABn,又因為AB0=AO·tan30°,ABn=AN·tan30°,所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°,所以△AB0Bn∽△AON,且相似比為tan30°,所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

    現(xiàn)在來證明線段B0Bn就是點B運動的路徑(或軌跡).

    如圖10所示,當點P運動至ON上的任一點時,設其對應的點B為Bi,連接AP、ABi、B0Bi.因為AO⊥AB0,AP⊥ABi,所以∠OAP=∠B0ABi,又因為AB0=AO·tan30°,ABi=AP·tan30°,所以AB0∶AO=ABi∶AP,所以△AB0Bi∽△AOP,所以∠AB0Bi=∠AOP.又因為△AB0Bn∽△AON,所以∠AB0Bn=∠AOP,所以∠AB0Bi=∠AB0Bn,所以點Bi在線段B0Bn上,即線段B0Bn就是點B運動的路徑(或軌跡).綜上所述,點B運動的路徑(或軌跡)是線段B0Bn,其長度為22.

    點評蘇諄教授曾說:“簡單情形正像是一把鑰匙、一面鏡子,可以為我們解答復雜的數(shù)學問題提供啟示與借鑒”.對于一類以探究“定值”、“定點”、“定線”為特征的數(shù)學題,可以通過“主動尋求與建構特例”,巧妙鎖定思維方向,迅速實現(xiàn)問題解決.“特例探路”實質上是一種“以退為進”的策略——退中悟理,執(zhí)理而進.這樣,就大大避免了探索的盲目性,使思維過程優(yōu)化變短,顯得簡潔明快.所謂“難的不會,想簡單的”,說的就是這個道理.

    以上僅從四個方面談了“極端化策略”法在解題中的運用.事實上,“極端化策略”法遠不止這些.只要我們認真總結,用心感悟,靈活運用,就會將“極端化策略”法變成解決數(shù)學問題的法寶和利器.

    參考文獻

    [1]錢德春.活用解題策略方入思維勝境——例談數(shù)學中考壓軸題的解題策略[J].中學數(shù)學雜志(初中版),2014(2):51-53.endprint

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